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高考数学总复习经典测试题解析版13.4 数学归纳法


13.4 数学归纳法
一、选择题 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二 步时,正确的证法是( ).

A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 D 2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步 证明中的起始值 n0 应取( A.2 B.3 ) C.5 D.6

解析 分别令 n0=2,3,5, 依次验证即可. 答案 C 3.对 于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则当 n=k+1 时 ,

k+
2

2



k+



k2+3k+2 <

k2+3k+



k+



k+

=(k+1)+1, ).

∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D 4.利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a
2 n+1

1-an+2 = (a≠1,n∈N*)”时,在验 1-a

证 n=1 成立时,左边应该是( A 1 C 1+a+a2

) B 1+a D 1+a+a2+a3

解析当 n=1 时,左边=1+a+a2,故选 C. 答案 C 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 的基础上加上( A.k2+1 B.(k+1)2 C. ?k+1?4+?k+1?2 2 ).
2

n4+n2
2

,则当 n=k+1 时左端应在 n=k

D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k +1)2[来源:学科网] 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 答案 D 6.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6·7k C.2(2+7k+1) ) B.2+7k-1 D.3(2+7k)

解析 (1)当 k=1 时 ,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7
n+1

)=21(2+7 )-36.

n

这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立. 答案 D 1 1 1 1 1 1 1 1 7.用数学归纳法证明 1- + - +?+ - = + +?+ ,则 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上( ).

1 A. 2k+2 1 1 C. - 2k+1 2k+2

B.- D.

1 2k+2

1 1 + 2k+1 2k+2

1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1- + - +?+ - ,当 n=k+1 时, 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1- + - +?+ - + - . 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 答案 C 二、填空题 8.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19. 根据上述分解规律, 若 n2=1+3+5+?+19, m3(m∈N* )的分解中最小的数是 21, 则 m+n 的值为________. 解析 依题意得 n2= ∴n=10. 易知 m3=21m+ + 2 =100, ×2,

m m-
2

整理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N*, 所以 m=5, 所以 m+n=15. 答案 15 9.用数学归纳法证明: 12 22 n2 n(n+1) + + ?+ = ;当推证当 n=k+1 等式也成立 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 时,用上归纳假设后需要证明的等式是 解析 当 n=k+1 时, 12 22 k2 (k+1)2 + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1)2 = + [来源:学。科。网] 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) .

k(k+1) (k+1) 故只需证明 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) (k+1)(k+2) = 即可. 2(2k+3) k(k+1) (k+1)2 (k+1)(k+2) 答案 + = 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 10.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N*)行,在这 些数中非 1 的数字之和是__ ______________. 1 1 1 1 1 4 3 6 ? 解析 所有数字之和 Sn=20+2+22+?+2n-1=2n-1, 除掉 1 的和 2n-1-(2n-1)=2n-2n. 答案 2n-2n 1 11.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表 3 达式是________. 1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3,即 a3= 1 1 (a1+a2)= ; 14 35 1 1 (a1+a2+a3)= . 27 63 2 3 4 1 1 1 1

2

当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28a4,即 a4=

1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a2= = ,a3= = ,a4= , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9 故猜想 an= 答案 an= 1

n-
1

n+ n+

.

n-

12.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当第二步 假设 n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证 n =________时,命题亦真. 解析 ∵n 为正奇数,假设 n=2k-1 成立后,需证明的应为 n=2k+1 时成立. 答案 2k+1 三、解答题 13.用数学归纳法证明下面的等式 12-22+32-42+?+(-1)n-1·n2=(-1)n-1
2

n n+
2
0

. + 2 =1,

证明 (1)当 n=1 时,左边=1 =1,右边=(-1) · ∴原等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立, 即有 12-22+32-42+?+(-1)k-1·k2=(-1)k-1 那么,当 n=k+1 时,则有 12-22+32-42+?+ (-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2 =(- 1)
k-1

k k+
2

.

k k+
2

+(-1) ·(k+1)

k

2

=(-1)k· =(-1)k

k+1
2

[-k+2(k+1)]

k+
2

k+

,∴n=k+1 时,等式也成立,

由(1)(2)得对任意 n∈N*有 12-22+32-42+?+(-1)n-1·n2=(-1)n-1

n n+
2
*

.

14.已知数列{an}中,a1=a(a>2),对一切 n∈N ,an>0,an+1= 求证:an>2 且 an+1<an. 证明 法一 ∵an+1=

a2 n an-

.

a2 n an- a2 n-1 an-1-

>0, -2=

∴an>1,∴an-2=

an-1- an-1-

2

≥0,

∴an≥2.若存在 ak=2,则 ak-1=2,由此可推出 ak-2=2,?,a1=2,

与 a1=a>2 矛盾,故 an>2. ∵an+1-an=

an

-an an-

<0,∴an+1<an.

法二 (用数学归纳法证明 an>2) ①当 n=1 时,a1=a>2,故命题 an>2 成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立, 即 ak>2,那么,ak+ 1-2=

a2 k ak-

-2=

ak- ak-

2

>0.

所以 ak+1>2,即 n=k+1 时命题也成立. 综上所述,命题 an>2 对一切正整数成立.an+1<an 的证明同上. 1 15.已知数列{an}中,a1=1,an+1=c- .

an

5 1 (1)设 c= ,bn= ,求数列{bn}的通项公式; 2 an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围. 5 1 an-2 1 2an 4 解析 (1)an+1-2= - -2= , = = +2, 2 an 2an an+1-2 an-2 an-2 即 bn+1=4bn+2.

bn+1+ =4?bn+ ?,又 a1=1,故 b1=

2 3

? ?

2? 3?

1 =-1, a1-2

? ? 2? ? 1 所以?bn+ ?是首项为- ,公比为 4 的等比数列, 3? 3 ? ? ?

bn+ =- ×4n-1,bn=-

2 3

1 3

4n-1 2 - . 3 3

(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1,得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1. 1 (ⅰ)当 n=1 时,a2=c- >a1,命题成立;

a1

(ⅱ)设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,ak<ak+1, 则当 n=k+1 时,ak+2=c- 1

ak+1

1 >c- =ak+1.

ak

故由(ⅰ)(ⅱ)知当 c>2 时,an<an+1.

1 1 2 当 c>2 时,因为 c=an+1+ >an+ , 所以 an-can+1<0 有解,

an

an

所以

c- c2-4
2

<an<

c+ c2-4
2

,令 α =

c+ c2-4
2



当 2<c≤ 当 c>

10 时,an<α ≤3. 3

10 1 1 1 时,α >3,且 1≤an<α ,于是 α -an+1= (α -an)< (α -an)< 2 3 anα 3 3

1 (α -an-1)<? n(α -1). 3 当 n>log3 因此 c> α -1 时,α -an+1<α -3,an+1>3,与已知矛盾. α -3

10 不符合要求. 3

10? ? 所以 c 的取值范围是?2, ?. 3? ? 16.是否存在常数 a、b、c 使等式 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=

an(bn2+c)对于一切 n∈N*都成立,若存在,求出 a、b、c 并证明;若不存在,
试说明理由. 解析 假设存在 a、b、c 使 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2 +c)对于一切 n∈N*都成立. 当 n=1 时,a(b+c)=1; 当 n=2 时,2a(4b+c)=6; 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.

解方程组?a

?

a b+c =1, b+c =3, b+c =19.

?3a

1 ? a= , ? 3 解得? b=2, ? ?c=1.

证明如下: ①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. ②假设 n=k(k∈N*)时等式成立,

1 2 2 2 2 2 2 2 2 即 1 +2 +3 +?+k +(k-1) +?+2 +1 = k(2k +1); 3 当 n=k+1 时, 12+22+32+?+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+?+22+12 1 1 1 = k(2k2+1)+(k+1)2+k2= k(2k2+3k+1)+(k+1)2= k(2k+1)(k+1)+(k 3 3 3 1 1 +1)2= (k+1)(2k2+4k+3)= (k+1)[2(k+1)2+1]. 3 3 即 n=k+1 时,等式成立.
1 * 因此存在 a= ,b=2,c=1 使等式对一切 n∈N 都成立. 3


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