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二倍角的三角函数


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二倍角的三角函数

A

复习回顾
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?



(? ? ? ? 2 ? k? , ? ? 2 ? k? , ? ? 2 ? k? , (k ? Z ))

?

?

?

B
D

问题情境设置
要把半径为R的半圆形 的木材料截成长方形 (如 图)应怎样截取才能使长 方形的面积最大? A 分析:如图,设圆心为O, B 长方形的面积S, ?AOB=? 则: S ? AB ? BC

C

而AB ? R sin ? , OB ? R cos ?, CB=2Rcos?

S ? (R sin ? ) ? 2(R cos ? ) =2R 2 sin ? cos ?

OK
二倍角的三角函数

制作人:孙彩

?

当α=β呢?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 2 ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ?
(? ? ? ?
?
2 ? k? , ? ?

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? , (k ? Z ))

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

? k? ? ? ? ? 和? ? k? ? ,(k ? Z )) ( 4 2 2

C

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 ? 1 ? 2sin ? 2 ? 2cos ? ?1 2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
? k? ? ? ? ? 和? ? k? ? ,(k ? Z )) ( 4 2 2

S 2?

C2?

T2?

S2?、C2?、T2? 统称为倍角公式

D

知识点的探究
你认为二倍角 公式等号两边的角 有什么关系呢?

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

填数游戏

E

sin(_) ? 2sin(_)cos(_) cos(_) ? cos (_) ? sin (_) ? 2cos (_) ? 1 ? 1 ? 2sin (_)
2 2 2 2

2tan(_) tan(_) ? 2 1 ? tan (_)

F

基础知识形成性训练
1、求下列各式的值。 (1).2sin15? cos15? (2).cos 2 22.5? ? sin 2 22.5?

(3).1 ? 2sin 2 15?
2 tan 75? (5). 1 ? tan 2 75?

(4).2cos 2 22.5? ? 1

2、已知 tan ? ?

1 ,求 tan 2? 的值。 2

3、设 ? 是第二象限角,已知 cos ? ? ?0.6 , cos tan 求 sin 2? 、 2? 、 2? 的值。

G
D

知识点的应用与实际问题的求解 要把半径为R的半圆形 的木材料截成长方形 (如 图)应怎样截取才能使长 方形的面积最大? A
B

C

解:如图,设圆心为O长方形 的面积S,?AOB=? 则

AB ? R sin ? , OB ? R cos ?
CB=2Rcos?
S ? (R sin ? ) ? 2(R cos ? ) =2R 2 sin ? cos ?

? R2 sin 2?
当 sin 2? 取最大值,即 sin 2? ? 1 时,截面积最大,

当? ?

?

4

R2 时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于

说一说

这节课你有哪些收获?

这节课你学到了什么?
二倍角的三角函数
sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

基础知识形成性训练 1、 2、 3、

知识点的应用与实际问题的求解 要把半径为R的半圆形的木 材料截成长方形 (如图) 应怎样截取才能使长方形的 面积最大?
D A

? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?
C O B

作业
P119 2、3、5 作业:课本
课后练习:课本 P116 2、3

A

2、已知 tan ? ?

1 ,求 tan 2? 的值。 2

解:

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

4 ? 3

注意

tan 2? ? 2 tan ?

3、设 ? 是第二象限角,已知 cos ? ? ?0.6 , cos tan 求 sin 2? 、 2? 、 2? 的值。
解: 因为 ? 是第二象限角 所以
sin ? ? 0, tan ? ? 0.

注意
sin 2? ? 2 sin ?

又因为 cos ? ? ?0.6

sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 0.8 cos 2? ? 2 cos ? 所以
则 sin 2? ? 2 sin ? ? cos ? ? ?0.96,
cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? 2 ? (?0.6)2 ? 1 ? ?0.28,
tan 2? ? sin 2? 24 ? . cos 2? 7


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