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排列组合与二项式定理精华总结 可用


排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理:分类相加,分步相乘。 二、排列:元素是有顺序的 (1) :对排列定义.:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做 ...... 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2) :排列数公式: 注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!
0 Cn ?C n n?

1

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!
m m m m?1 m m?1 An ? 1 ? A n ? Am ?C n ? A n ?mA n
m m?1 An ? nAn ?1

规定 0! = 1

规定

(3) : 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中有限重 复数为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ?
n! . n1!n2 !...nk !

三、组合:元素没有顺序之分 (1) :组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
A n n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) (2) :组合数公式: C m ? Cm n? n? m
m

Am

m!

n! m!(n ? m)!

n ?m (3) :两个性质:① C m n ?C n;

1 m C m?n ?C m ② n ?C n ?1

(4) :常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ) (利用 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! ( n ? 1)! n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.

m ?1 m 3 3 3 3 Cn ?C n ?4 v. 递推法(即用 C m n ?C n ?C n ?1 递推)如: C 3 ?C 4 ?C 5 ? ? 1.

0 2 1 2 2 n vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n n ) ?C 2 n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ,而右边 ?C 2n Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n )

n

四、排列、组合综合 (1)直接法 (2)间接法 (7)平均法 (8)隔板法 五、二项式定理.

(3)捆绑法 (4)插空法 (5)占位法 (6)调序法 (9)定位问题 (10)指定元素排列组合问题

0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ⑴二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n ab .

展开式具有以下特点:

项数:共有 n ?1项;
0 1 2 r 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n ,?,C n ,?,C n n;

每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.
r n?r r (a ? b) n 展开式中的第 r ?1 项为: T r ?1?C n a b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

⑶二项式系数的性质. ① 在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大.
n I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; 2
n

II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2

n ?1 n ?1 ? 1 项,二项式系数 C 项和第 2 2

n ?1 2 n

?C

n ?1 2 n

最大.

③系数和:

0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1

例题释疑 1:由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 2:现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项 工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是 A. 152 B. 126 C. 90 D. 54 3:将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名 学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 A.18 B.24 C.30 D.36 4:2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女 生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 5:名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为
8 2 (A) A8 A9

(B) A88C92

8 2 (C) A8 A7

(D) A88C72

6:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 7:平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有
8 2 C18 C2 10 C 20 / 2!

C2 4 ? 3 (平均分组就 2!

用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将 20 名运动员平均分成两组,其中两名种子选手 必在一组的概率是多少?:( P ? )

8:隔板法:常用于解正整数解组数的问题.(即共有多少组解) 例如:x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列,在 它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目 依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方程的任何一组
x1 x2 x3 x4

解 ( y1, y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和
3 插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 C 11

9:定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内,
?r 并且都排在某 r 个指定位置则有 A rr A k n?r .

10:组合问题中分组问题和分配问题 (1)均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不 管是否分尽,其分法种数为 A / Ar (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均匀 r 分组应再除以 A k . k
4 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C102C 8 .若分成六组, C 4 / A2 2 ? 1575

2 2 2 2 4 各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C101C 91C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 2 ? A4

(2)均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,
m 其分法种数为 A / Ar . r ? Am

例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 C 10 C 8 C 4 ? A3 3
A
2 2

2

4

4

(3)非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不
mk m2 1 考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A ? C m n C n - m1 … C n -(m1 ? m2 ?... ? mk -1 )

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C102C 83C 5 若从 10 人中选出 6 5 ? 2520 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 73 ? 12600. (4)非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? Am m
2 3 3 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:C10 ?C 8 ?C 5 5 ? A3

种.

二项式 一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当

? A ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? k 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对 ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1
值)的办法来求解. 如 何 来 求 (a ? b ? c) n 展 开 式 中 含 a p b q c r 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把
r 先找出含有 C r 的项 C n 另一方面在 (a ? b) n?r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视为二项式, (a ? b) n?r C r ,

n p q r q p q r q n?r ?q q q p q 中含有 b q 的项为 C n?r a b c .其系 a b ?C n?r a b ,故在 (a ? b ? c) 中含 a b c 的项为 C nrC n?r

数为 C nr C n ?q r?

(n ? r )! n! n! p q r ? ? ?C n C n? p Cr . r! (n ? r )! q! (n ? r ? q)! r! q! p!

8 1:设 (1 ? x) ? a0 ? a1x ?

? a8 x8 , 则 a0, a1 ,
C.4

, a8

中奇数的个数为(
4



A .2

B.3

D.5

2:在 ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4)(x ? 5) 的展开式中,含 x 的项的系数是 (A)-15
3

(B)85

(C)-120 ( )

(D)274

1 2 n 3: Cn 等于 ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n?1 Cn

A. 4 n

B. 3 ? 4 n

C.

4n ?1 3

D.

4n ?1 3

1 n?1 2 n ?2 n?1 4:若 n 为奇数,则 7 n ? Cn 7 ? Cn 7 ? ? ? Cn 7 被 9 除得的余数是





A. 0

B. 2

C. 7

D. 8

练习题 1. (2010 全国一)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现
A D

有 4 种不同的

花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花, 则不同的种 法总数为( ) C B A.96 B.84 C.60 D.48 2.(2011 安徽)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调 整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( ) A. C8 A3
2 2

B. C8 A6

2

6

C. C8 A6

2

2

D. C8 A5

2

2

3.(2008 湖北)将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一 名志愿者的方案种数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 4.(2009 福建)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少 有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 5. (2007 福建) 某通讯公司推出一组手机卡号码, 卡号的前七位数字固定, 从 “ ???????0000 ” 到“ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的 一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为( A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320 )

6. (2011 山东)已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4} ,从这三个集合中各取一个元素构成 空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为 (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 7. (2006 天津)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每 个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 8.(湖北省八校高 2008 第二次联考)某电视台连续播放 6 个广告,其中有三个不同的商业广告, 两个不同的奥运宣传广告,一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告,且奥运宣传广告 与公益广告不能连续播放,两个奥运宣传广告也不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A.48 种 B.98 种 C.108 种 D.120 种 9.(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务,甲需要 2 人承担,乙、丙各 需要 1 人承担,现在从 10 人中选派 4 人承担这项任务,不同的选派方法共有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 1 10.已知(2i x + 2 )n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N。 x
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求 n; (2)对(1)中的 n,求展开式中系数为正实数的项。 21.已知 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N)的展开式中的 x 系数为 19。 (1)求 f(x)展开式中 x2 项系数的最小值; (2)当 x2 项系数最小时,求 f(x)展开式中 x7 项的系数。


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