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2014届高三数学辅导精讲精练15


2014 届高三数学辅导精讲精练 15
1.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0= A.e2 ln2 C. 2 答案 B B.e D.ln2 ( )

1 3 2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s=3t3-2t2+2t, 那么速度为零的时刻是 A.0 秒 C.2 秒末 答案 解析 D 1 3 ∵s=3t3-2

t2+2t, B.1 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 ( )

∴v=s′(t)=t2-3t+2. 令 v=0,得 t2-3t+2=0,t1=1 或 t2=2. 3.设函数 f(x)=(1-2x3)4,则 f′(1)等于 A.0 C.-24 答案 解析 D ∵f′(x)=4(1-2x3)3· (-6x2), B.-1 D.24 ( )

∴f′(1)=4(1-2)3· (-6)=24. 4. (2010· 江西)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2, f′(-1)=( 则 A.-1 C.2 答案 解析 B 由 f(x)=ax4+bx2+c,得 f′(x)=4ax3+2bx,又 f′(1)=2,所以 4a B.-2 D.0 )

+2b=2,即 2a+b=1,f′(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2.故选 B. x2 1 5.已知曲线 y= 4 -3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 ( A.3 B.2 )

C.1 答案 解析 A

1 D.2

x 3 1 ∵y′=2-x(x>0),又 k=2,

x 3 1 ∴2-x=2,∴x=3. 6.已知奇函数 y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为 f(x)=x2+x,则切点横 坐标为 1 的切线方程是 A.x+y+1=0 C.3x-y-1=0 答案 解析 B 在[0,+∞)上,由函数 y=f(x)为奇函数, B.x+y-1=0 D.3x-y+1=0 ( )

得 f(x)=-x2+x,切点为(1,0). ∴y′=-2x+1,∴y′|x=1=-1. 故切线方程为 y=-(x-1),即 x+y-1=0. 7.若 P,Q 是函数 f(x)=x2-x(-1≤x≤1)图像上任意不同的两点,则直线 PQ 的斜率的取值范围是 A.(-3,1) C.(0,3) 答案 解析 A f′(x)=2x-1,当 x=-1 时,f′(-1)=-3. B.(-1,1) D.(-4,2) ( )

当 x=1 时,f′(1)=1,结合图像可知,-3<kPQ<1. 8.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积 为 1 A.12 1 C.3 答案 解析 B 求导得 y′=3x2,所以 y′=3x2|x=1=3. 1 B.6 1 D.2 ( )

所以曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1).

2 易知三线所围成的三角形是直角三角形, 三个交点的坐标分别是(3, (1,0), 0), 1 2 1 (1,1),于是三角形的面积为2×(1-3)×1=6,故选 B. 1 9.下列图像中,有一个是函数 f(x)=3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的 导函数 f′(x)的图像,则 f(-1)= ( )

1 A.3 7 C.3 答案 解析 B

1 B.-3 1 5 D.-3或3

f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,

∴y=f′(x)是开口向上,以 x=-a 为对称轴,(-a,-1)为顶点的抛物线. ∴(3)是对应 y=f′(x)的图像. ∵由图像知 f′(0)=0,对称轴 x=-a>0, ∴a2-1=0,a<0 ∴a=-1. 1 ∴y=f(x)=3x3-x2+1. 1 ∴f(-1)=-3,选 B. 1 1 10.已知函数 f(x)=ax3+2x2 在 x=-1 处取得极值,记 g(x)= ,程序框 f′?x? 2 011 图如图所示,若输出的结果 S>2 012,则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件 是 ( )

A.n≤2 011? C.n>2 011? 答案 解析 B 由已知得 f′(x)=3ax2+x.

B.n≤2 012? D.n>2 012?

∵f(x)在 x=-1 处取得极大值, 1 ∴f′(-1)=0,即 3a-1=0,得 a=3. ∴f′(x)=x2+x.∴g(n)= 1 1 1 = - . n?n+1? n n+1 n 2 011 , 要使 S>2 012, n+1

结合框图可知其功能是求和 Sn=g(1)+g(2)+…+g(n)= 则需在判断框中填入 n≤2 012?即可.

11 . (2012· 课 标 全 国 ) 曲 线 y = x(3lnx + 1) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 为 新 ________. 答案 解析 y=4x-3 y′=3lnx+1+3=3lnx+4, 所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4, 所

以切线方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 12.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 答案 解析 -2 由题意,得 f′(x)=2x+3f′(2).

∴f′(2)=2×2+3f′(2),∴f′(2)=-2. 13.在曲线 y=x2-3x+2lnx 的切线中,斜率最小的切线方程为________. 答案 解析 x-y-3=0 2 y′=2x+ x-3(x>0)≥2 2 2x·-3=1, x

当且仅当 x=1 时成立. x=1 时,y=1-3+0=-2. ∴切线方程为 y+2=1· (x-1). ∴y=x-3 即 x-y-3=0. 1 14.直线 y=2x+b 是曲线 y=lnx 的一条切线,则实数 b=________. 答案 解析 ln2-1 1 1 ∵切线斜率 k=2,y′= x,∴x=2,y=ln 2.

1 ∴切线方程为 y-ln2=2(x-2). 1 即 y=2x+ln2-1,∴b=ln2-1. 1 15.已知 y=3x3-x-1+1,则其导函数的值域为________. 答案 [2,+∞)

π π 16.已知函数 f(x)=f′(4)cosx+sinx,则 f(4)的值为________. 答案 解析 1 π ∵f(x)=f′(4)cosx+sinx,

π ∴f′(x)=-f′(4)sinx+cosx. π π 2 2 ∴f′(4)=-f′(4)× 2 + 2 . π 1 ∴f′(4)= = 2-1. 1+ 2 π 2 2 故 f(4)=( 2-1)× 2 + 2 =1. 17.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切 于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程及切点坐标. 答案 解析 1 3 3 y=-4x,(2,-8) y0 ∵直线过原点,则 k=x (x0≠0).
0

由点(x0,y0)在曲线 C 上,则 y0=x3-3x2+2x0. 0 0 y0 ∴x =x2-3x0+2.又 y′=3x2-6x+2, 0
0

∴在(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率应为 k=f′(x0)=3x2-6x0+2.∴x2-3x0+2 0 0
2 =3x0-6x0+2.

3 2 整理得 2x0-3x0=0,解得 x0=2(x0≠0). 3 1 这时,y0=-8,k=-4. 1 3 3 因此,直线 l 的方程为 y=-4x,切点坐标是(2,-8). 18.点 P 是曲线 x2-y-2ln x=0 上任意一点,求点 P 到直线 y=x-2 的最 短距离. 答案 解析 2 1 1 y=x2-2ln x=x2-lnx(x>0),y′=2x- x,令 y′=1,即 2x-x =1,

1 解得 x=1 或 x=-2(舍去),故过点(1,1)且斜率为 1 的切线为 y=x,其到直线 y =x-2 的距离 2即为所求.

1 1.物体运动方程为 s=4t4-3,则 t=5 时的瞬时速度为 A.5 C.125 答案 解析 C s′|t=5=t3|t=5=125. B.25 D.625

(

)

2.(2011· 山东文)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标 是 A.-9 C.9 答案 解析 C y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3,故切线方程是 y- B.-3 D.15 ( )

12=3(x-1),令 x=0,得 y=9. 3. a∈R, 设 函数 f(x)=ex-a·-x 的导函数 y=f′(x)是奇函数, e 若曲线 y=f(x) 3 的一条切线斜率为2,则切点的横坐标为 ln 2 A. 2 C.ln 2 答案 解析 C y=f′(x)=ex+a·-x 且函数 y=f′(x)为奇函数.∴f′(0)=0,∴a= e ln 2 B.- 2 D.-ln 2 ( )

3 -1.令 ex-e-x=2,可得 x=ln2. 4.已知函数 f(x)=sinx+ex+x2 011,令 f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),f3(x)= f′2(x),…,fn+1(x)=f′n(x),则 f2 012(x)= A.sinx+ex C.-sinx+ex 答案 解析 A ∵f1(x)=f′(x)=cosx+ex+2 011x2
010

(

)

B. cosx+ex D.-cosx+ex

,f2(x)=f′1(x)=-sinx+ex+2

011×2 010x2 009,f3(x)=f′2(x)=-cosx+ex+2 011×2 010×2 009x2 008,f4(x)= f′3(x)=sinx+ex+2 011×2 010×2 009×2 008x2 007,…,∴f2 012(x)=sinx+ex. 5. (2011· 湖南文)曲线 y= 1 A.-2 2 C.- 2 答案 解析 1 数值为2. 6.已知曲线 S:y=3x-x3 及点 P(2,2),则过点 P 可向 S 引切线,其切线条 数为 A.0 B.1 ( ) B y′= cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π = ,把 x=4代入得导 2 ?sinx+cosx? 1+sin2x sinx 1 π -2在点 M(4, 0)处的切线的斜率为( sinx+cosx 1 B.2 2 D. 2 )

C.2 答案 解析 D

D.3

显然 P 不在 S 上,设切点为(x0,y0), =3-3x2. 0

由 y′=3-3x2,得

切线方程为 y-(3x0-x3)=(3-3x2)(x-x0). 0 0 ∵P(2,2)在切线上,
3 ∴2-(3x0-x0)=(3-3x2)(2-x0). 0 3 2 即 x0-3x2+2=0,(x0-1)(x0-2x0-2)=0. 0

由 x0-1=0,得 x0=1.
2 由 x0-2x0-2=0,得 x0=1± 3.

∵有三个切点,∴由 P 向 S 作切线可以作 3 条. 7.(2011· 大纲全国)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 1 A.3 C. 2 3 A 依题意得 y′=e-2x×(-2)=-2e-2x,y′|x=0=-2e-2×0=-2,曲线 1 B.2 D.1 ( )

答案 解析

y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线方程是 y-2=-2x, y=-2x+2.画出直线 y=- 即 2 2 2x+2、y=0 与 y=x,注意到直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标是(3,3),直 线 y=-2x+2 与 x 轴的交点坐标是(1,0),结合图形不难得知,这三条直线所围 1 2 1 成的三角形的面积等于2×1×3=3,选 A. 8.(2012· 辽宁理)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分 别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标 为________. 答案 解析 -4 由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2),

∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上,
2 ?4 =2y1, ∴? 2 ??-2? =2y2.

?y1=8, ∴? ?y2=2.

∴P(4,8),Q(-2,2). 1 又∵抛物线可化为 y=2x2,∴y′=x. ∴过点 P 的切线斜率为 y′|x=4=4. ∴过点 P 的切线为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 又∵过点 Q 的切线斜率为 y′|x=-2=-2, ∴过点 Q 的切线为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2. ?y=4x-8, 联立? 得 x=1,y=-4. ?y=-2x-2, ∴点 A 的纵坐标为-4. 1 9.(2012· 全国新课标)设点 P 在曲线 y=2ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则 |PQ|的最小值为 A.1-ln2 C.1+ln2 答案 解析 B 1 1 y=2ex 与 y=ln(2x)互为反函数,图像关于 y=x 对称.y=2ex 上的点 B. 2(1-ln2) D. 2(1+ln2) ( )

1 |2ex-x| 1 P(x,2ex)到直线 y=x 距离为 d= . 2 1 1 设 g(x)=2ex-x?g′(x)=2ex-1 ?g(x)min=1-ln2?dmin= 1-ln2 . 2

由图像关于 y=x 对称,得|PQ|最小值为 2dmin= 2(1-ln2)

1 1 亦可用 y=2ex 在 P(x0,2ex)处切线斜率为 1 来建立等式关系.进而求解. 10.曲线 y=x(x+1)(2-x)有两条平行于 y=x 的切线,求两切线之间距离. 答案 解析 16 27 2 y=x(x+1)(2-x)=-x3+x2+2x,

y′=-3x2+2x+2,令-3x2+2x+2=1,得 1 x1=1 或 x2=-3. 1 14 ∴两个切点分别为(1,2)和(-3,-27). 5 切线方程为 x-y+1=0 和 x-y-27=0. 5 |1+27| 16 2 = 27 . 2

d=

11.已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1、C2 都相切,求 直线 l 的方程. 答案 解析 y=0 或 y=4x-4 设直线 l 与 C1 切于(x1,x2)与 C2 切于点(x2,-(x2-2)2),∴分别对应 1

2 的切线方程为 y-x2=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x1和 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x- 1

x2),即 y=-2(x2-2)x+(x2-2)(x2+2). ?2x1=-2?x2-2?, ∴? 2 ∴x1=0 或 x1=2. ?-x1=?x2-2??x2+2?, ∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.


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