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高中数学选修4-7综合复习优选法与试验设计初步


选修 4-7 综合复习 优选法与试验设计初步 感悟高考 明确考向
(2010· 湖南)已知一种材料的最佳加入量在 100 g 到 200 g 之间.若用 0.618 法安排试验,则第一次试点的加入量可 以是_______________ g. 161.8 或 138.2

解析 用 0.168 法确定第一次试点的加入量由下面公 式算出: 第 一 种

方 法 为 : ( 大 - 小 )×0.618 + 小 = (200 - 100)×0.618+100=161.8. 第二种方法为:大-(大-小)×0.618=200-(200- 100)×0.618=138.2.

考题分析

本题考查了优选法中的最常用的单因素单

峰目标函数的优选法之一的 0.618 法. 试题难度不大, 体现了数学的应用性.
易错提醒 由于思维定势,不少同学认为,本题第一 次试点的加入量为 100+(200-100)×0.618=161.8, 但这只是从小头算起,也可以从大头算起,即 200- (200 - 100)×0.618 = 138.2. 所 以 正 确 的 答 案 应 为 : 161.8 或 138.2.不少考生漏掉了一个答案.

主干知识梳理
1.优选法 优选法是根据生产和科学研究中的不同问题, 利用 数学原理, 合理安排试验, 以最少的试验次数迅速 找到最佳点的科学试验方法. 2.单峰函数 如果函数 f(x)在区间[a,b]上只有唯一的最大值点 (或最小值点)C, 而在最大值点(或最小值点)C 的左 侧,函数单调增加(减少);在点 C 的右侧,函数单 调减少(增加),则称这个函数为区间[a,b]上的单 峰函数. 我们规定, 区间[a, b]上的单调函数也是单峰函数.

3.黄金分割法——0.618 法 (1)定义 试验方法中,利用黄金分割常数 ω 确定试点的方 法叫做黄金分割法. (2)试验点的选取原则 ①每次要进行比较的两个试验点,应关于相应试验 区间的中心对称. ②每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数应相同. (3)试验点的选取方法 设 xn 表示第 n 个试验点,存优范围内相应的好点是 xm,因素范围的两端分别记为小头和大头,则 x1=小 +0.618×(大-小);x2=小+大-x1. 一般:xn=小+大-xm. 可概括为“加两头,减中间”.

4.分数法 (1)定义 优选法中,用渐进分数近似代替 ω 确定试点的方 法叫分数法. (2)分数法的最优性 ①在目标函数为单峰的情形, 通过 n 次试验, 最多 能从(Fn+1-1)个试点中保证找出最佳点, 并且这个 最佳点就是 n 次试验中的最优试验点. ②在目标函数为单峰的情形, 只有按照分数法安排 试验, 才能通过 n 次试验保证从(Fn+1-1)个试点中 找出最佳点. 5.其他几种常用的优选法 (1)对分法; (2)盲人爬山法; (3)分批试验法.

6.多因素方法 解决多因素问题, 往往采用降维法来解决, 而对于 双因素问题的降维法, 具体的有纵横对折法、 平行 线法、 从好点出发法等, 有时也采用双因素盲人爬 山法等其他方法.

热点分类突破
题型一 例1 黄金分割法 用 0.618 法进行优选时,若某次存优范围

3 或 2.618 [2,b]上的一个好点是 2.382,则 b=_________.

解析 根据黄金分割法 2+b-2.382=2+(b-2)×0.618 或 2+(b-2)×0.618 =2.382. ∴b=3 或 b=2.618.

探究提高 存优范围[2, b]上的一个好点是 2.382.这个 好点可能靠近小头,也可能靠近大头.所以应分别考 虑,考生易漏掉一解.

变式训练 1

(2010· 湖南)已知一种材料的最佳加入

量在 110 g 到 210 g 之间.若用 0.618 法安排试验, 则第一次试点的加入量可以是______________ g. 171.8 或 148.2
解析 用 0.168 法确定第一次试点的加入量由下面公 式算出:第一种方法为:(大-小)×0.618+小=(210 -110)×0.618+110=171.8(g). 第二种方法为:大-(大- 小)×0.618=210-(210- 110)×0.618=148.2(g).

题型二 例 2

分数法 某一化工厂准备对某一化工产品进行技术改

良, 现决定优选加工温度, 试验范围定为 60~81℃, 精确度要求± 1℃,现在技术员准备用分数法进行优 选,则第一试点和第二试点分别选在________、 73℃ ________. 68℃
解析 试验区间为[60,81],等分为 21 段,分点为 13 61,62,?,79,80,因为 60+ ×(81-60)=73(℃), 21 所以第一试点安排在 73℃. 由 “加两头, 减中间 ”的方法得: 60+ 81- 73= 68(℃), 所以第二试点选在 68℃.

探究提高

根据题意,将[60,81]等分.确定分数值,

是分数法的关键.第一个试点用分数确定,第二个试 点可用“加两头,减中间”的方法求解.

变式训练 2

某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头

时, 按照邻居的建议放了 13 克碱后发现馒头发黄且 有碱味,决定自己用分数法找出合适的放碱量,则 她 第 1,2 次 试 点 的 放 碱 量 分 别 为 ________ 克 和 8 ________克. 5
解析 放碱量 1,2,?,12 将试验范围分为 13 格,故 8 第 1 次试点为 x1=0+ (13-0)=8, 13 第 2 次试点为 x2=0+13-8=5.

题型三

分批试验法

例 3 用均分分批试验法来寻找最佳点,若试验范围 是(3,18).若每批做 4 个试验,则(1)第一批的 4 个 试验点分别是____________;(2)第一批试验后的存 6,9,12,15
2 优范围是原来的____________. 5

解析 (1)一批做 4 个试验,则应将存优范围均分为 5 份,即在(3,18)的五等份点中 4 个均分点分别是: 6,9,12,15. 2 (2)第一批试验后的存优范围与原范围之比是 2×2+1 2 =5.

探究提高 在均匀分批试验法中, 假设每批做 2n 个试 验, 则首先把试验范围均分为 2n+1 份. 用这种方法, 2 第一批试验后存优范围为原来的 . 2n+1

变式训练 3 如图,在每批做 2 个试验的比例分割分 批法中,将试验范围 7 等分,第 1 批试验先安排在 左起第 3,4 两个点上,若第 3 个点为好点,则第 2 批试验应安排在______和________两个点上. 1 2

解析 第 3 个点为好点,则存优范围为左端到第 4 个 分点,故第 2 批安排在没有做过试验的第 1,2 两个分 点上.

规律方法总结 1. 优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数 学方法. 2.黄金分割法适用目标函数为单峰的情形. 3.一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考 虑:(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn-1);(2) 所有可能的试点总数大于(Fn-1),而小于(Fn+1- 1),这时需用教材中介绍的方法解决. 4.分批试验法是一种为加快试验进度而采用的方法, 即分批进行试验,每批同时做几个试验. 5.0.618 法、分数法、对分法、盲人爬山法以及分批 试验法都只适用于“单峰”的情形. 对于“多峰” 的情况,可用分区寻找的方法.

知能提升演练
一、选择题 1.关于单峰函数,有下列说法: ①在区间[a,b]上的单峰函数就是只有一个极大值 点的函数; ②在区间[a,b]上的单调函数不是单峰函数; ③区间[a,b]上的单峰函数可以是不连续函数. 其中正确的个数有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ( B ) D.3 个

2.下列函数中在[-1,4]上不是单峰函数的是( D ) A.y=2|x| C.y=sin x B.y=x2-2x+3 D.y=cos x

解析 函数 y=cos x 在[-1,4]上既有最大值,也有最 小值,故不是单峰函数.

3.在应用 0.618 法确定试点时,n 次试验后的精度为 ( C ) 1 n -1 n-1 A.0.382 B.( ) 2 C.0.618n-1 D.0.618n
解析 应用 0.618 法确定试点时, 从第 2 次试验开始, 每次试验都把存优范围缩小为原来的 0.618 倍,故 n 次试验后的精度为 0.618n-1.

4. 在粉笔加工设计中, 每支粉笔都要丢掉一段一定长 的粉笔头, 单就这一点来说, 愈长愈好, 但太长了, 使用起来既不方便,也容易折断,每断一次,必然 多浪费一个粉笔头,反而不合适,因而就出现了 “粉笔多长最合适”的问题, 技术员王工在长度为 10 cm 至 15 cm 范围内经过多次尝试, 最后发现 12 cm 长的粉笔最合适.这个问题的最佳点是( D ) A.10 cm B.15 cm C.12.5 cm D.12 cm
解析 本题是寻找粉笔的合适长度,因此最佳点就是 最合适的粉笔长度数据,即 12 cm,故选 D.

5. 某主要因素对应的目标函数如图所示, c 是最佳 若 点,则下列说法中正确的是 A.d,e 都是好点 B.区间[a,d]是一个存优范围 C.d 不是好点 D.a,b 是分界点
解析 c、d 比较,d 为差点,c 为好点,所以以 d 为

( B )

分界点,含有好点的部分为存优范围.所以区间[a, d]是一个存优范围,故选 B.

6.下列结论中正确的是 次内准确找出最佳点

(

)

A.运用 0.618 法寻找最佳点时,一定可以在有限 B.在目标函数为单峰的情形,运用分数法寻找最 佳点时,一定可以在有限次内准确找出最佳点 C.运用对分法和分数法在确定下一个试点时,都 需要比较前两个试点的试验结果 D.运用盲人爬山法寻找最佳点,在试验范围内取 不同的点作起点,其效果快慢差别不大

解析 运用 0.618 法寻找最佳点时,随着试验次数的 增加,最佳点被限定在越来越小的范围内,故 A 错; 在目标函数为单峰的情形下,按照分数法安排试验, 通过 n 次试验保证能从(Fn +1-1)个试点中找出最佳 点,故 B 正确;运用对分法在确定下一个试点时,只 需要比较试验结果与习已知标准(或要求),故 C 错; 爬山法的效果快慢与起点的关系很大,起点选得好, 可以省好多次试验,故 D 错.
答案 B

7.在下面优选法中,每次(批)试验后都能将存优范围 缩小为相同比例的是 A.0.618 法 C.均分分批试验法 B.对分法 D.比例分割分批试验法 ( B )

解析 对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来 1 的 ,其余三种方法都是从第 2 次(批)起,每次(批)试 2 验后将存优范围缩小为相同比例.

8.如图,用平行线法处理双因素问题时,首 先将难以调整的因素Ⅱ固定在 0.618 处, 得到最佳点在 A1 处,然后再把因素Ⅱ固 定在 0.382 处,得到最佳点 A2,若 A2 处的 试验结果比 A1 处的好,则第三次试验时,将因素Ⅱ 固定在 A.0.764 C.0.500 B.0.236 D.0.309 ( B )

解析 因为 A2 处的试验结果比 A1 处的好,所以好点 在因素Ⅱ的 0~0.618 之间,由 0.618 法,第三次试验 时,将因素Ⅱ固定在 0.618+0-0.382=0.236 处.

9. 在配置一定量的某种清洗液时, 需要加入某种溶剂, 经验表明,加入量大于 5 000 mL 或小于 3 000 mL 时,效果肯定不好,用 0.618 法来确定这种溶剂的 最佳加入量,则前两次试验加入的量分别为( C ) A.4 500,3 500 C.4 236,3 764 B.4 382,3 618 D.4 618,3 618

解析 x1=3 000+0.618×(5 000-3 000)=4 236, x2=3 000+5 000-4 236=3 764.

10.利用纵横对折法解决双因素问题时,先将因素Ⅰ 固定在试验范围的中点 C1 处,对因素Ⅱ进行单因 素优选得到最佳点 A1,同样将因素Ⅱ固定在中点 C2,对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点 A2,若 A1 处的试验结果比 A2 处的好,则下图中阴影部分 能表示好点所在范围的是 ( )

解析 因为 A1 处的试验结果比 A2 处的好,所以存优 范围包含点 A1.
答案 D

二、填空题 11.在配置某种清洗液时,需要加入某种材料,加入 量大于 130 mL 或小于 10 mL 均不好, 若利用均分 分批试验法在(10,130)内优选加入量,每批安排 2 个试验,则第 1 批试验加入的量为________mL 和 50 ________mL. 90
解析 将试验范围分为 3 份,中间两个分点为 50,90.

12.在乙酰胺苯的磺化反应中,为了提高乙酰胺苯的 产率,利用优选法选择合适的工艺,根据分析,主 要因素为反应温度和硫酸浓度,已知其试验范围 为:温度 40℃~60℃;硫酸浓度 60%~80%.某技 术员用从好点出发法对工艺进行优选,过程如下: 先固定温度为 52℃,得最优浓度为 68%,产率为 38%;然后固定浓度为 68%,得最优温度为 47℃, 产率为 43%;再固定温度为 47℃,得最优浓度为 72%,产率为 51%;又固定浓度为 72%,得最优温 度为 47℃,则在实际生产采用的工艺条件中,温 度和浓度分别为________℃和________%.

解析 按照从好点出发法,从第 2 次起,都是将一个 因素固定在上次结果的好点上,然后对另一因素进行 优选试验,当温度和浓度分别为 47℃,72%时,无论 固定温度和浓度,都不能再找到其他好点,试验到此 就结束了.
答案 47 72

13.若函数 f(x)在区间[a,b]上是单峰函数,C 是最佳 点,如果在区间[a,b]上任取 x1,x2,若在试验中 效果较好的点是 x1 ,则必有 C 和 x1 在 x2 的
同侧 ________,若以 x2 为分界点,含 x1 点的区间范围

是函数的一个__________. 存优范围

14.采用纵横对折法,去掉两个坏点后所剩矩形区域 1 4 面积是原矩形区域面积的________.

15.下列关于分数法的叙述中: ①分数法是用分数值代替黄金分割常数,分数法 与 0.618 法并无其他不同; ②分数法在第一试验点确定后,后续试点都可以 用“加两头,减中间”的方法来确定; ③在目标函数为单峰的情形,通过 n 次试验,最 多能从(Fn+1-1)个试点中保证找出最佳点; ④在目标函数为单峰的情形,只有按照分数法安 排试验,才能通过 n 次试验保证从(Fn-1)个试点 中找出最佳点.

②③ 其中正确的叙述有________.

16.某试验的因素范围是[3 000,4 000],现准备用 0.618 法进行试验探求最佳值.以 an 表示第 n 次试验的加入量(结果都取整数).即 a1,a2 的 值分别为_________________. 3 618,3 382
解析 由黄金分割法可知,第一次的加入量为 a1=3 000+(4 000-3 000)×0.618=3 618, ∴a2=3 000+4 000-3 618=3 382.

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