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几何概型


数学 3 3.3.1 几何概型
——张红霞,山东省德州二中

一、教学目标:
根据新课标要求以及几何概型在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标: (1)知识与技能目标:初步体会几何概型的基本特点,会运用几何概型概率公式求简单的概率问 题,并能初步运用几何概型解决实际问题。 (2)过程与方法目标:通过游戏、案例分析体会几何

概型与古典概型的区别,学会用类比的方法 学习新知识,提高学生分析问题、解决问题的能力。经历将实际问题转化为数学问题的过程,增强学生 应用数学知识的能力。 (3)情感态度价值观目标:通过对几何概型的研究,使学生感知生活中的数学,体会数学文化, 培养学生的数学素养。

二、教学重点难点:
根据上述教学目标,结合学生的认知能力,确定本节课的教学重难点如下 重点:几何概型的概念及几何度量的选择和运算。 难点:将实际问题转化为几何概型求概率的问题。

三、学情分析及教学内容分析:
学情分析:前面学生在掌握一般性随机事件即概率的统计定义基础上,又学习了古典概型已经理 解古典概型的两个基本特征, 初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题来解决。 在古典概型向几何 概型的过渡时, 以及实际问题如何转化为长度比、 面积比、体积比时,会有一些困难。但只要引导得当, 使学生在教师创设的问题情境中,通过观察、类比、思考、概括、归纳和动手尝试相结合,能够掌握几 何概型这一新的概率模型。 教学内容分析:几何概型这一节内容是安排在古典概型之后的第二类概率模型,是对古典概型内 容的进一步拓展,是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更 广泛地满足随机模拟的 需要而在新课本中增加的, 这是与以往教材安排上的最大的不同之处。 这充分体现了数学与实际生活的 紧密关系,来源生活,而又高于生活。 同时也暗示了它在概率论中的重要作用,在高考中的题型的转 变。

四、教学过程:
为实现教学目标,突出重点,突破难点,结合学生的已有的知识基础和认知规律,教学过程设计一下几 个环节:

(一)创设情境,引入新课
情境 1、先后抛掷一颗骰子两次,求出现点数为(6,6)的概率; 情境 2、转盘上有 8 个面积相等的扇形,转动指针,求指针停止转动时落在阴影部分的概率。 情境 3、在一杯 1 升的水中含有一只草履虫,用一个小杯从这杯水中随机取出 0.l 升水,求这杯水中含 有草履虫的概率。

依据学生现有的知识水平,创设情境,提出以下问题: 问题 1: (1)这个试验的基本事件总数是多少?每个基本事件发生的可能性是否相等? 问题 2: (2)和(3)这两个试验的基本事件总数是多少?每个基本事件发生的可能性是否相等? 问题 3:说出(2)和(3)这两个试验的共同点,它们与(1)有什么区别?
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教师演示动画,学生阅读课本思考回答,绝大多数学生都能找到问题的答案。 设计意图: 通过这三个问题的设计使学生学会区别古典概型和几何概型的特征: 古典概型的基本事件具 有有限性和等可能性;而几何概型则是在试验中出现等可能的但是有无限多个结果的情况。通过(2) (3)使学生初步感知几何概型的含义。

(二)提出问题,形成概念
问题 4: 如图中有两个转盘, 甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向 B 区域时, 甲获胜, 否则乙获胜. 如 果你是甲,你会选择哪种玩法?为什么?

设计意图: 这个问题实际上就是让学生明确其是几何概型的前提下, 分别求上述两种情况下甲获胜的概 率。转变问法的目的在于让学生通过实际的参与,初步体会计算几何概型的方法:甲获胜的概率与 B 的位置和形状无关。 为了进一步说明甲获胜的概率与得位置没有关系,提出问题 5 问题 5:如果把 B 和 N 的位置改变,但所占比例不变,你会选择甲吗? 事实上,甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域的面积有关,而与字母 B 所在区域的位置无关,只 要字母 B 所在扇形区域的面积不变,不管区域相邻,还是不相邻,甲获胜的概率不变。 组织学生分组讨论,分析这两个问题,类比古典概型特点,教师引导归纳总结出几何概型定义和概 率公式。 几何概型:事件 A 理解为区域Ω 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或 体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型. 在几何概型中,事件A的概率定义为:P(A)=
?a ??

(与古典概型概率公式进行类比,正确理解几何概型概率公式,μ A 表示子区域 A 的几何度量,μ Ω 表 示区域Ω 的几何度量,同时让学生回忆情境 2、情境 3 的几何度量分别是什么,加深对几何度量的理解) 设计意图:感知此类问题求概率的方法,每个事件发生的概率只与构成该事件区域的面积成比例。比较 古典概型和几何概型的定义及其概率公式的描述, 可使学生体会到数学语言的精确性和抽象性, 提高学 习数学的信心。 在形成概念和得出公式之后, 我将带领学生体验利用新知识解决问题的乐趣, 进入本节课的下一个环 节:

(三)例题分析,深化概念
例 1: 如图,取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概 率. 析:所求事件 A: “豆子落在圆内”的概率可以用圆的面积与正方形的面积
P ( A) ?

?
4 。

之比来衡量,即

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设计意图:(1)贴近学生实际,入手比较容易; (2)初步规范学生解决实际问题的思路:第一步,将实际问题抽象成已学过的概率模型;第二步,明 确几何度量;第三步,利用相应的公式进行计算。 为进一步巩固对概念的理解,设计了例 2 例 2:平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这平面上,求硬币不与 任一条平行线相碰的概率。 解决方式:这个题目比例 1 难度大,因此先启发引导学生考虑硬币与直线是否相碰,取决于圆心到直线 的距离,所以虽然是硬币,但是研究的主体是圆心,然后组织学生讨论,让学生交流,通过不断画图, 来达到理解题意的目的。学生写出答案,与课本进行比较。 解:设事件 A: “硬币不与任一条平行线相碰” 。为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠的最近的平行 线引垂线,垂足为 M,由图示,这样线段 OM 长度的取值范围是[0,a],其长度是几何概型中 的区域Ω 的几何度量。只有当 r<∣OM∣≤a 时硬币不与平行线相碰,其长度就是子区域 A 的几何度量。所以 P(A)=
( r , a ]的长度 [ 0 , a ]的长度 ? a?r a

至此学生对几何概型概率的求法已经初步掌握,课本例 3 比较简单,因此给学生 3 分钟时间自主完 成。 例 3、一海豚在水池中自由游弋。水池为长 30m,宽 20m 的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率。 解: 如图所示,区域Ω 是长 30m, 20m 的长方形。 宽 图中阴影部分表示事件 A: “海豚嘴尖离岸边不超过 2m” 。问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影 部分的概率,于是
? ? ? 30 ? 20 ? 600 ( m ), ? A ? 30 ? 20 ? 26 ? 16 ? 184 ( m )
2 2

P ( A) ?

?A ??

?

184 600

?

23 75

设计意图: 这几个例题主要考察学生运用几何概型求解概率的方法, 解决这几个题目的关键是将实际问 题转化为数学问题。 通过学生的自学和互相交流让学生进一步深化对于几何概型概念的理解。 让学生通 过三个具体问题明确几何度量的选择,突破教学难点。教师则主要是引领学生归纳问题求解的步骤。 (1) 确定概型(2)明确几何度量(3)计算求解。 在解决这三个例题时,尤其是例 2,大部分同学明显感觉到有些题目选择几何度量是比较困难的,因此 我设计了一下两个练习:

(四)随堂练习,应用概念
练习 1:向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,求△PBC 的面积小于 S/2 的概率。 练习 2:向面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任投一点 P,求△PBC 的面积小于 S/2 的概率。 分析:练习 1 中,P 点投向△ABC 内,∴P 落在△ABC 内任一点位置都是等可能的,记事件 A:

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S

? ? S ?ABC ? S “ △ PBC 的 面 积 小 于 2 ” 问 题 可 以 理 解 为 P 落 在 阴 影 部 分 的 概 率 , 于 是 ? , ,
?A
? S DEBC ? 3 4 S

P ( A) ?

?A ??

?

3 4



练习 2 中,P 选自边 AB 上,且 P 落在线段 AB 上任一位置都是等可能的,记事件 A: “△PBC 的
S

面积小于 2 ” ,问题可以理解为 P 落在线段 BD 上的概率,于是
P ( A) ?

? ? ? AB



? A ? DB ?

1 2

AB

?A ??

?

1 2



设计意图:这两个类似的小题,采用动画演示的形式,让学生更形象,更直观地了解到几何度量的 选择是解决这类问题的重中之重(练习 1 点 P 的活动范围是△ABC 内部,因此几何度量是面积,练习 2 点 P 的活动范围是边 AB,因此几何度量是长度) ,这样设计练习既突出了重点,又突破了难点,使学 生将感性思维上升到了理性思维,同时,通过观察多媒体动画,让学生享受学习数学的乐趣,感受成功 的喜悦,增强学习数学的信心,提高用数学知识解决实际问题的能力。

(五)课堂小结,归纳反思
课堂小结是一个不容忽视的环节,既可以梳理本节课的学习过程,又可以加深理解。让学生从知识、方 法和能力的角度自己完成这节课的小结。 知识小结:几何概型的概念和两个基本特点(试验结果的无限性和等可能性) 方法小结:运用几何概型求解相关概率问题的方法,具体几何度量(长度、面积、体积、角度等)的选 择 能力小结:将实际问题转化为数学问题的能力 设计意图:帮助学生自行构建知识体系,理清知识脉络,养成良好的学习习惯.

(六)课后作业,巩固提高
1)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率。 2)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,在线段AB上取一点M,求AM<AC的概率?

3)探究题:取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率 有多大? 3m 探究 1:任意位置剪断,剪得的两段绳长恰好相等的概率是多少? 探究 2:任意位置剪断,剪得的两段绳长不相等的概率是多少? 设计意图: (1)通过作业让学生经历将实际问题转化为几何概型的过程,巩固正确应用几何概型的概率 计算公式解决问题的方法。 (2)分必做题和探究题,体现分层次教学。 (3)探究题的设置还有一个目 的:在学习古典概型的时候有一组结论:不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1。学生的潜意识
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里认为它是等价的。为了纠正这个意识,在此设计这个探究题让学生课下经过思考计算并交流,进而得 出结论:概率为 0 的事件不一定是不可能事件,概率为 1 的事件不一定是必然事件。这样,学生可以从 尊重事实的角度理性的理解概率。

五、教学反思
本节课在创设情境及形成概念的环节中主要通过几个问题启发学生自主思考采用了启发式的教学 方法而学生则通过观察、 交流得出结果体现了探索发现式的学习方法; 在深化概念环节教师鼓励学生思 考解决新一类概率问题的方法, 积极与已学过的古典概型做对比, 让学生感受求新一类概率问题的一般 方法,从而化解如何求概率的教学困惑;在应用概念环节中通过设计练习、多媒体动画演示等教学手段 让学生享受学习数学的乐趣,感受成功的喜悦,增强学习数学的信心,提高用数学知识解决实际问题的 能力。 通过本节课的教学总体感觉学生能理解几何概型的特征, 并能运用计算公式进行计算; 在数学建模 方面,有一部分学生会有困惑,需要在以后的教学中引导学生多参与;学生能领悟一些基本的数学思想 与方法,但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯,对有些问题的认识不全面,如“基本事件 发生的等可能性”的理解可能不到位.良好的数学素养有待于进一步的提高;由于学生层次不同,体验 与认识有所不同.对层次较高的学生,还应引导其形成更科学、严谨、谦虚的求学态度;对基础较差的 学生,由于不善于表达,参与性较差,还应多关注,鼓励,培养他们的学习兴趣,多找一些机会让其体 验成功.

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