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2011汕头市高三年级统一测试


2010— 汕 头 市 2010 — — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测

文 科 数 学 试 卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 5 页,20 题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答选择题前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回,试卷由考 生自己保管. 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) . 第Ⅰ卷 (选择题 满分 50 分) 选择题 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项 选择题: 中,只有一项是符合题目要求的) 1.若复数 (a 2 ? 3a + 2) + (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 1或2 ) D. -1
1 3

2.设 M = {平面内的点(a, b)} , N = { f ( x) | f ( x) = a cos 2 x + b sin 2 x} ,给出 M 到 N 的映射
f : (a, b) → f ( x) = a cos 2 x + b sin 2 x ,则点 (1, 3) 的像 f ( x) 的最小正周期为(



A.

π
2

B.

π
4

C. π

D. 2π

1

3.在等差数列 {an } 中,已知 a5 + a7 = 10 , Sn 是数列
{an } 的前 n 项和,则 S11 =
5 5



) C . 55
3 正视图 3 4 4 侧视图

A. 45

B. 50

D. 60 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体 的表面积为( ) A 72 B 66 C 60 D 30 5 . 在 边 长 为 1 的 等 边 ?ABC 中 , 设 uuu r uuu r uuu r r r r r r r r r r BC = a, CA = b, AB = c,则a ? b + b ? c + c ? a = ( )
3 A. ? 2 D.3 B.0 3 C. 2

俯视图

6.已知函数 f1 ( x) = a x , f 2 ( x) = x a , f 3 ( x) = log a x (其中 a > 0 且 a ≠ 1 ) ,在同一坐标系
中画出其中两个函数在 x≥0 且 y≥0 的范围内的大致图像,其中正确的是(
y y y y



1

1

1

1 1

O
A

x

O

1

x

O

x

O

1

x

B

C

D

7.某商场在国庆黄金周的促销活动中, 对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行 统计,其频率分布直方图如图所示,已 知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时到 12 时的销售额为( ) 0.40 A.6 万元 B.8 万元 C.10 万元 D.12 万元

频率 组距

0.25 0.10 0 9 10 11 12 13 14 时间

8.若 m 、 n 为两条不重合的直线, α 、 β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命

题个数是(


2

①若 m 、 n 都平行于平面 α ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 α ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 α 、 β 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ⊥ α ,则 n ⊥ β ; ④ m 、 n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直; A.1 B.2 C.3 D.4

1 9.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 为 3 ) 第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形 D.以上都不对 C.等腰直角三角形 Y 10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) = 1 , f ' ( x) 为 f ( x) 的导函

数,已知 y = f ' ( x) 的图像如图所示,若两个正数 a 、 b 满足
b+2 的取值范围是( a+2 1 1 1 A. ( , ) B. (?∞, ) ∪ (3,+∞) 3 2 2 第 II 卷(非选择题 满分 110 分)
f (2a + b) < 1 ,则

O

X


1 C. ( ,3) 2 D. (?∞,3)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11.高三(1)班共有 56 人,学生编号依次为 1,2,3,…,56,现用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本,已知 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一位同学的编号 应为 。 r r r r 12.已知向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,若 a ⊥ b ,则 9 x + 3 y 的最小值为 。 13.曲线 y =

1 3 ? 4? x + x在点 ?1, ? 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 3 ? 3?



14.观察以下等式: 1=1 13 = 1

1+ 2 = 3
1+ 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 可以推测 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

13 + 23 = 9 13 + 23 + 33 = 36
13 + 23 + 33 + 43 = 100 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 (用含有 n 的式子表示, 其中 n 为
3

自然数) 。 三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 答题: 骤) 15. (本题满分 12 分) 已知不等式 ( x ? 1) ≤ a 2 , (a > 0) 的解集为 A,函数 f ( x) = lg
2

x?2 的定义域为 B. x+2

(Ⅰ)若 A ∩ B = φ ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明函数 f ( x) = lg
x?2 的图象关于原点对称。 x+2

(本题满分 12 分) 16. v v x x r x x r 已知向量 a = (sin , cos ), b = (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x) = a ?b , 3 3 3 3 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b 2 = ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及 函数 f ( x) 的值域。
17.(本题满分 14 分)

甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他们将 扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张 (Ⅰ) (i, j ) 表示甲乙抽到的牌的数字, 设 (如甲抽到红桃 2, 乙抽到红桃 3, (2, ), 记为 3 ) 请写出甲乙二人抽到的牌的所有情况; (Ⅱ)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少? (Ⅲ)甲乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游 戏是否公平?请说明理由。
18.(本题满分 14 分)
如图,三角形 ABC 中,AC=BC=

2 AB ,ABED 是边长为 1 的 2

E F G B C

D

正方形,平面 ABED⊥底面 ABC,若 G、F 分别是 EC、BD 的中点。 (Ⅰ)求证:GF//底面 ABC; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EBC; (Ⅲ)求几何体 ADEBC 的体积 V。

A

4

19. (本题满分 14 分) 某品牌电视生产厂家有 A、 两种型号的电视机参加了家电下乡活动, B 若厂家对 A、 B 两种型号的电视机的投放金额分别为 p、q 万元,农民购买 A、B 两种电视机获得的 补贴分别为
1 2 p, ln q 万元, 已知 A、 两种型号的电视机的投放总额为 10 万元, A、 B 且 10 5

B 两种型号的电视机的投放金额均不低于 1 万元,请你制定一个投放方案,使得在这次

活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值(精确到 0.1,参考数据: ln 4 ≈ 1.4 ) 。
20. (本题满分 14 分)

已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) = 2n , n ∈ N ? .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)若数列 {an } 满足 (Ⅲ)记 bn =

1 1 = f ′( ) ,且 a1 = 4 ,求数列 {an } 的通项公式; an +1 an 4 ≤ Tn < 2 . 3

an an +1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,求证:

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文科数学参考答案及评分参考意见 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 选择题: 题号 答案
1 B 2 C 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 A 9 B 10 C

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 填空题:
11.20; 12.6 ; 1 n 2 (n + 1)2 13. ; 14.. 。 9 4

解答提示: 解答提示:
1.由 a 2 ? 3a + 2 = 0 且 a ? 1 ≠ 0 得 a = 2 ,选 B; 2.由题意 得 f ( x) = cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 sin(2 x + ),∴T = π ,选 C. 6 a5 + a7 a1 + a11 10 3. S11 = × 11 = × 11 = × 11 = 55 ,选 C. 2 2 2 4.解析:由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱,且底面为直角三角形,直角边长 :

π

分别为 3 和 4,斜边长为 5,三棱柱的高为 5,所以表面积为 3 × 4 + (3 + 4 + 5) × 5 = 72 ,选
A
r r 3 r r r r r r r r r r 5. a ? b + b ? c + a ? c = a ? b ? cos1200 + b ? c ? cos1200 + a ? c cos1200 = ? 2

选A
5

6.由函数的图像可知选 B 7.设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依设有
2.5 0.10 = ? x = 10 ,选 C x 0.40

8.①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,为假命题,④中,

m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。 9.因为 tan A 是以 ?4 为第三项, 为第七项的等差数列的公差, 4 所以 tan A =2; 又因为 tan B 1 是以 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比。所以 tan B =3, 3 tan A + tan B tan C = ? tan ( A + B ) = ? = 1 ,可见 A,B,C 都是锐角,这个三角形是锐角 1 ? tan A tan B 三角形,选 B b 10.观察图像,可知 f (x) 在 (?∞,0] 上是减函数,在 [0,+∞) 上 4
?2 a + b < 4 ? 是增函数,由 f (2a + b) < 1 = f (4) ,可得 ?a > 0 ,画出 ?b > 0 ?
, 以 (a, b) 为坐标的可行域(如图所示阴影部分,不含边界) 而

?2

O ?2

2

a

b+2 可看成 (a, b) 与 (?2,?2) 连线的斜率,可求得 C 为所 a+2 求,故选 C。 11.将高三(1)班 56 人用系统抽样抽取 4 人,每部分应为 14 人,故所选编号均间隔 14, 故还有一位同学编号 20。 r r r r b 12.由已知 a ⊥ b ? a ? = 0 ? ( x ? 1,2) ? (4, y ) = 0 ? 2 x + y = 2

则 9 x + 3 y = 3 2 x + 3 y ≥ 2 3 2 x ? 3 y = 2 3 2 x + y = 2 3 2 = 6, 当且仅当 3 2 x = 3 y , 即 x =
1 , y = 1 时取得等号. 2 4 1 2 13. y′ = x 2 + 1, 切线方程y ? = 2 ? ( x ? 1) ,与两两坐标轴的交点是 ( , 0), (0, ? ) , 所求三角形 3 3 3

1 1 2 1 面积为 × × ? = 。 2 3 3 9 14. 可推测 1 + 2 + 3 + ... + n = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (
n(n + 1) , 2

n(n + 1) 2 n 2 (n + 1) 2 n 2 (n + 1)2 ) = ,故填 。 2 4 4

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分) 解答题:

15.解: (Ⅰ)由 ( x ? 1) ≤ a 2 , (a > 0) ,得 1 ? a ≤ x ≤ 1 + a, A = {x | 1 ? a ≤ x ≤ 1 + a},
2

6



x?2 > 0 得 x < ?2或x > 2, B = {x | x < ?2或x > 2}, x+2
∴0 < a ≤ 1

KK KK 4 分 KK KK 6 分

Q A ∩ B = φ ,∴ ?2 ≤ 1 ? a且1 + a ≤ 2(a > 0),
(Ⅱ)证明:Q f ( x) = lg

x?2 且 x < ?2或x > 2, , KK 7 分 x+2 x?2 ?x?2 x?2 x+2 ∴ f ( x) + f (? x) = lg + lg = lg( × ) = lg 1 = 0 KK KK 9 分 x+2 ?x+2 x+2 x?2

∴ f (? x) = ? f ( x),∴ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( x) 的图象关于原点对称。 16.解:

KK KK 10 分 KK KK 12 分

v v x x x x 1 2x 3 2x ( ) f ( x) = a ? b = sin cos + 3 cos cos = sin Ⅰ + (1 + cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 KK3 分 1 2x 3 2x 3 2x π 3 = sin + cos + == sin( + ) + 2 3 2 3 2 3 3 2 令 2kπ ? 2x π π 5π π ≤ x ≤ 3kπ + , (k ∈ Z ) . KK5 分 + ≤ 2kπ + ,解得, 3kπ ? 2 3 3 2 4 4 5π π 故函数 f (x) 的单调递增区间为 [3kπ ? ,3kπ + ], (k ∈ Z ) .KK KK6 分 4 4 ≤ a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac 1 (Ⅱ) Q b = ac, cos x = = ≥ = . KK KK8 分 2ac 2ac 2ac 2
2

π



1 π π 2 x π 5π ≤ cos x < 1, < x ≤ ,∴ < 0 + ≤ , 2 3 3 3 3 9
π
3 < sin( 2x π + ) ≤1, 3 3

∴ sin

KK KK10 分

∴ 3 < sin(

2x π 3 3 3 + )+ ≤ 1+ 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 3 2 2 2 KK KK12 分

π 3 综上所述, x ∈ (0, ], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 2
17.解:
(I)方片 4 用 4′表示,则甲乙二人抽到的牌的所有情况为:

(2,3)(2,4)(2,4′)(3,2)(3,4)(3,4′)(4,2)(4,3)(4,4′)(4′, , , , , , , , , ,

2)(4′,3)(4′,4)共 12 种不同的情况 KK KK5 分 , ,
(Ⅱ)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′, 2 因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 KK KK9 分 3

7

(Ⅲ)甲抽到的牌比乙大,有(4,2) (4,3) (4′,2) (4′,3) (3,2)共 5 种情况。KK 11


甲胜的概率为 P = 1 ∵
5 7 ,乙胜的概率为 P2 = , 12 12

E H G B C E F G B M C
图2

D F

5 7 < ,所以此游戏不公平 KK 14 分 12 12

18.解: (I)证法一:取 BE 的中点 H,连结 HF、GH, (如图 1)
∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴HG//BC,HF//DE,……………………………2 分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB,从而 HF//AB ∴HF//平面 ABC,HG//平面 ABC, HF∩HG=H, ∴平面 HGF//平面 ABC ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分 证法二:取 BC 的中点 M,AB 的中点 N 连结 GM、FN、MN (如图 2) ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点

A
图1

D

1 BE, 2 …………………2 分 ∴ 1 NF // DA, 且NF = DA 2 GM // BE , 且GM =
又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD,BE=AD ∴GM//NF 且 GM=NF ∴MNFG 为平行四边形 ∴GF//MN,又 MN ? 平面ABC , ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分 证法三:连结 AE, ∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点,…………………2 分 ∴GF//AC, 又 AC ? 平面 ABC, ∴GF//平面 ABC……………………………………5 分

N

A

(Ⅱ)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,∴GF//平面 ABC………………………………5 分 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC …………7 分 ∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2 ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE ……………………………………9 分 (Ⅲ)连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, …………………………10 分 又平面 ABED⊥平面 ABC,CN ? 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED。 ………………11 分
8

∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN = ∵C—ABED 是四棱锥, ∴VC—ABED=

1 1 AB = , 2 2

………………………… 12 分

1 1 1 1 S ABED ? CN = × 1× = 3 3 2 6

……………………14 分

19.解:设 B 型号电视机的投放金额为 x 万元 (1 ≤ x ≤ 9) ,农民得到的补贴为 y 万元,则
A 型号的电视机的投放金额为 (10 ? x) 万元,由题意得

1 2 2 1 (10 ? x) + ln x = ln x ? x + 1KKK 7分 10 5 5 10 2 1 y'= ? KKKKKKKK 8分 5 x 10 y= 令 y'= 0得x = 4 当 x ∈ [1, 4) 时, y ' > 0 ;当 x ∈ (4,9] ,时, y ' < 0 KK KK 10 分
2 所以当 x = 4 时, y 取得最大值, ymax = ln 4 ? 0.4 + 1 ≈ 1.2 KK KK 12 分 5

故厂家投放 A、B 两种型号的电视机的金额分别是 6 万元和 4 万元,农民得到的补贴最 多,最多补贴约 1.2 万元。
20.解:

KK KK 14 分

?b = 2n (1)由f '( x) = 2ax + b ∴ ? 2 ?16n a ? 4nb = 0 1 1 解之得a = , b = 2n, 即f ( x) = x 2 + 2nx n ∈ N *) ( KKK 4分 2 2 (2)由条件得 1 1 1 1 = + 2n,∴ ? = 2n, 累加得 an +1 an an +1 an

1 1 2 + (n ? 1) 2 ? = 2 + 4 + 6 + L + (n ? 1) = 2 (n ? 1) = n 2 ? n an 4 2

?

1 1 1 4 = ( n ? ) 2 ? an = = (n ∈ N * )KKK 9分 1 2 (2n ? 1) 2 an 2 (n ? ) 2 4 1 1 = 2( ? ) (2n ? 1)(2n + 1) 2n ? 1 2n + 1

(3) bn = an an +1 =

Tn = b1 + b2 + L + bn = a1a2 + a2 a3 + L + an an +1 1 1 1 1 1 ) = 2 [ (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? 3 3 5 2n ? 1 2n + 1

] = 2(1 ?

1 ) < 2LL12分 2n + 1
9

Q 2n + 1 ≥ 3, 故2(1 ?

1 4 4 ) ≥ ∴ ≤ Tn < 2KKKKK14分 2n + 1 3 3

10


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