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2017年陕西单招数学模拟试题附答案解析二


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2017 年陕西单招数学模拟试题附答案解析
一、填空题 1 1.函数 y= + x+4的定义域为________. x 解析 答案 由题意知 x≠0, x+4≥0, 得 x≥-4 且 x≠0.

[-4,0)∪(0,+∞)

2.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1,4),则 a=________. 解析 由函数 f(x)=ax3-2x 过点(-1,4),

得 4=a(-1)3-2×(-1),解得 a=-2. 答案 -2

3.(2015·南京、盐城模拟)函数 f(x)=2ax+1-3(a>0 且 a≠1)的图象经过的定点坐 标是________. 解析 答案 令 x+1=0,得 x=-1,f(-1)=2-3=-1. (-1,-1) 3ex-1,x<3, log3(x2-6),x≥3, 则 f(f(3))的值为

4.(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知 f(x)= ________. 解析

因为 f(3)=log 3(32-6)=log 33=1,

所以 f(f(3))=f(1)=3e0=3,故填 3. 答案 3 x+ π 2 -x2 的零点个数为________. π 2 -x2 =2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.令 f(x)=0,则 sin

5.函数 f(x)=2sin xsin

解析

f(x)=2sin xsin

x+

2x=x2, 则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=sin 2x 与函数 y=x2 的图象的交点个 考单招,上高职单招网 www.danzhaowang.com

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数.作出函数图象知,两函数交点有 2 个,即函数 f(x)的零点个数为 2.

答案

2

6.偶函数 f(x)在[0 ,+∞)上为增函数,若不等式 f(ax-1)<f(2+x2)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________.

解析

由于函数为偶函数,因此 f(ax-1)=f(|ax-1|),f(ax-1)<f(2+x2)?f(|ax

-1|)<f(2+x2), 据已知单调性可得 f(|ax-1|)<f(2+x2)?|ax-1|<2+x2, 据题意 x2-ax+3>0, x2+ax+1>0

可得不等式|ax-1|<2 +x 恒成立,即-(2+x )<ax-1<2+ x ?
2 2 2

恒成立,据二次函数知识可得 答案 (-2,2)

a2-12<0, a2-4<0,

解得-2<a<2.

1 - 7.下列函数:①f(x)= 2;②f(x)=x2+1;③f(x)=x3;④f(x)=2 x.其中既是偶函数 x 又在区间(-∞,0)上单调递增的是________(填序号). 解析 1 ①中 f(x)= 2是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,故①满足题意.②中 x

f(x)=x2+1 是偶函数, 但在(-∞, 0)上是减函数.③中 f(x)=x3 是奇函数.④中 f(x) =2-x 是非奇非偶函数.故②,③,④都不满足题意. 答案 ①

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8.(2015·唐山统一考试)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x3+ln(1+x),则 当 x<0 时,f(x)=________. 解析 当 x<0 时,则-x>0,

∴f(-x)=(-x)3+ln(1-x)=-x3+ln(1-x). 又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=x3-ln(1-x). 答案 x3-ln(1-x)

9.(2015·辽宁五校协作体联考)设函数 f(x)=loga|x|在(-∞, 0)上单调递增, 则 f(a +1)与 f(2)的大小关系是________. 解析 由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,又易知函数 f(x)为偶函数,故可

以判断 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(2). 答案 f(a+1)>f(2)

10.(2015·扬州检测)若函数 f(x)=x2-2kx+1 在[1 ,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是________. 解析 依题意,函数 f(x)=(x-k)2+1-k2 在[1,+∞)上是单调递增函数,于是

有 k≤1,即实数 k 的取值范围是(-∞,1]. 答案 (-∞,1]

11.若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根, 则 k 的取值范围是________. 解析 作出函数 y1= 4-x2和 y2=k(x-2)+3 的图象如图所

示,函数 y1 的图象是圆心在原点,半径为 2 的圆在 x 轴上方 的半圆(包括端点),函数 y2 的图象是过定点 P(2,3)的直线, 点 A(-2,0),kPA= 3-0 3 = .直线 PB 是圆的切线,由 2-(-2) 4 |3-2kPB| k2 PB+1 =2,得 kPB= 5 .由图可知当 kPB<k≤ 12

圆心到直线的距离等于半径得,

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kPA 时,两函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.所以 5 3 , 12 4 5 3 <k ≤ . 12 4

答案

12.(2015·苏北四市模拟)已知 f(x)为偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lg x) >f(1),则 x 的取值范围是________. 解析 由题意知 f(|lg x|)>f(1),则|lg x|<1,即-1<lg x<1,解得 1 ,10 10 1 <x<10. 10

答案

13.某公司租地建仓库, 已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比, 而 每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这两 项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. k1 设仓库到车站距离为 x 千米,由题意得,y1= ,y2=k2x,其中 x>0, x 4 当 x=10 时, 代入两项费用 y1, y2 分别是 2 万元和 8 万元, 可得 k1=20, k2= , 5 解析 y1+y2= 答案 5 b,a-b≥1, a,a-b<1. 设 f(x)=(x2-1)?(4+ 20 4 + x≥2 x 5 20 4 20 4 · x=8,当且仅当 = x,即 x=5 时取等号. x 5 x 5

14.对任意实数 a,b 定义运算“?”:a?b=

x) ,若函数 y= f(x) +k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是 ________.

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解析

当 x2 -1≥4+ x+ 1,即 x≤-2 或 x≥3 时,f(x) =4 +x,当 x2 -1 <4

+x+1,即-2<x<3 时,f(x)=x2-1,如图所示,作出 f(x)的图象,由图象 可知,要使-k=f(x)有三个根,需满足-1<-k≤2,即-2≤k<1. 答案 [-2,1)

二、解答题 15.函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值. 解 (1)由 f(8)=2, f(1)=-1, 得 m+log a8=2, m+log a1=-1,

解得 m=-1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x. (2)g(x)=2f(x)-f(x-1) =2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)] x2 =log2 -1(x>1). x-1 ∵ (x-1)2+2(x-1)+1 x2 1 = = (x - 1) + + 2≥2 x-1 x-1 x-1 1 (x-1)· x-1

+2=4. 当且仅当 x-1= 1 ,即 x=2 时,等号成立.而函数 y=log2x 在(0,+∞)上单 x-1

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调递增,则 log2 x2 -1≥log24-1=1, x-1

故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 16.(2016·泰州一检) 已知函数 f(x)=ax2 +(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈( -3 ,2) 时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? 解 由 题 意 得 x = - 3 和 x = 2 是 函 数 f(x) 的 零 点 且 a≠0 , 则

0=a·(-3)2+(b-8)·(-3)-a-ab, 0=a·22+(b-8)·2-a-ab, 解得 a=-3, b=5,

∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,f(0)=18; 当 x=1 时,f(1)=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)法一 令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ,+∞ ∵g(x)在 6 上单调递减, 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立, 则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 法二 不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立,

即 c≤3x2-5x 在[1,4]上恒成立. 考单招,上高职单招网 www.danzhaowang.com

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令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4],且 g(x)在[1,4]上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2, ∴c≤-2. 即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 17.(2015·浙江卷)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间 [-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2 时,M(a,b)≥2; (2)当 a,b 满足 M(a,b)≤2 时,求|a|+|b|的最大值. a x+ 2 a2 a 2 +b- ,得对称轴为直线 x=- . (1)证明 由 f(x)= 4 2 a 由|a|≥2,得|- |≥1,故 f(x)在[-1,1]上单调, 2 所以 M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}. 当 a≥2 时,由 f(1)-f(-1)=2a≥4, 得 max{f(1),-f(-1)}≥2, 即 M(a,b)≥2. 当 a≤-2 时,由 f(-1)-f(1)=-2a≥4, 得 max{f(-1),-f(1)}≥2, 即 M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2 时,M(a,b)≥2. (2)解 由 M(a,b)≤2 得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2, 故|a+b|≤3,|a-b|≤3. 由|a|+|b|= |a+b|,ab≥0, |a-b|,ab<0,

得|a|+|b|≤3. 当 a=2,b=-1 时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为 2. 考单招,上高职单招网 www.danzhaowang.com

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即 M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为 3. 18.(2015·扬州检测)从旅游景点 A 到 B 有一条 100 公里的水路, 某轮船公司开设 一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例, 其他费用为每小时 3 240 元, 游轮最大时速为 50 km/h, 当游轮速度为 10 km/h 时,燃料费用为每小时 60 元,若单程票价定为 150 元/人. (1)一艘游轮单程以 40 km/h 航行,所载游客为 180 人,轮船公司获得的利润是 多少? (2)如果轮船公司要获取最大利润,游轮的航速为多少? 解 设游轮以每小时 v km/h 的速度航行,游轮单程航行的总费用为 f(v)元. 3 , 50

∵游轮的燃料费用每小时 k·v3 元,依题意得 k·103=60,则 k= ∴f(v)= 100 324 000 3 3 100 v · +3 240· =6v2+ ,0<v≤50. 50 v v v 324 000 =17 700(元), 40

(1)当 v=40 km/h 时,f(v)=6×402+

轮船公司获得的利润是 150×180-17 700=9 300 元. (2)f′(v)=12v- 324 000

v2



12(v3-27 000)

v2



令 f′(v)=0,得 v=30, 当 0<v<30 时,f′(v)<0,此时 f(v)单调递减; 当 30<v≤50 时,f′(v)>0,此时 f(v)单调递增; 故当 v=30 时,f(v)有极小值,也是最小值,f(30)=16 200, 所以,轮船公司要获得最大利润,游轮的航速应为 30 km/h. 19.(2015·镇江模拟)某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决 定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分), 水塘可近似看作一个等腰直角三 考单招,上高职单招网 www.danzhaowang.com

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角形,其中 AD=60 m,AB=40 m,且△EFG 中,∠EGF=90 °,经测量得到 AE=10 m,EF=20 m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个 保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M, N, 从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场,设 DN=x(m).

(1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积. 解 (1)作 GH⊥EF,垂足为 H,

∵DN=x,∴NH=40-x,NA=60-x,∵ ∴ 600-10x 40-x 60-x = ,∴AM= , 10 AM 40-x

NH NA = , HG AM

过 M 作 MT∥BC 交 CD 于点 T, 1 则 SMBCDN=SMBCT+SMTDN=(40-AM)×60+ (x+60)×AM, 2 600-10x 40- 1 (x+60)(600-10x) 40-x ×60+ × ∴y= 2 40-x =2 400- 5(60-x)2 . 40-x

由于 N 与 F 重合时,AM=AF=30 适合条件,故 x∈(0,30]. (2)y=2 400- 5(60-x)2 40-x

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=2 400-5 (40-x)+ 400 +40 40-x ,

∴当且仅当 40-x=

400 ,即 x=20∈(0,30]时,y 取得最大值 2 000, 40-x

∴当 DN=20 m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2 000 m2. 20.(2015·苏北四市模拟)小王大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业.经过 市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件, 1 需另投入流动成本为 W(x)万元.在年产量不足 8 万件时,W(x)= x2+x(万元); 3 100 在年产量不小于 8 万件时,W(x) =6x+ -38( 万元 ).每件产品售价为 5 元. x 通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式(注: 年利润=年销售 收入-固定成本-流动成本); (2)年产量为多少万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是 多少? 解 (1)因为每件商品售价为 5 元, 则 x 万件商品销售收入为 5x 万元.依题意得,

当 0<x<8 时, 1 2 x +x 1 L(x)=5x- 3 -3=- x2+4x-3; 3 当 x≥8 时, L(x)=5x- 6x+ 100 100 -38 x+ x x . -3=35-

所以 L(x)=

1 - x2+4x-3,0<x<8, 3 35- x+ 100 x ,x≥8.

(2)当 0<x<8 时, 考单招,上高职单招网 www.danzhaowang.com

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1 L(x)=- (x-6)2+9, 3 此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值 L(6)=9(万元). 当 x≥8 时; L(x)=35- x+ 100 x ≤35-2 x· 100 =35-20=15(万元). x

此时,当且仅当 x=

100 ,即 x=10 时,L(x)取得最大值 15 万元. x

∵9<15, 所以当年产量为 10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大, 最大利润为 15 万元.

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