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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体 7 球的体积和表面积课时作业


课时作业 7

球的体积和表面积

——基础巩固类—— 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的( A.2 倍 C. 2倍 B.2 2倍 3 D. 2倍 )

解析: 球的表面积扩大到原来 2 倍, 半径扩大到原来的 2倍, 体积扩大到原来的 2 2倍. 答案:B 2.一个正方体的表面积与一个球的表面积

相等,那么它们的体积比是( A. C. 6π 6 2π 2 B. D. π 2 6π 6
3

)

a 6π a 2 2 解析:设正方体的边长为 a ,球的半径为 R ,则 6a = 4π R . 则 = ,则 = R 3 4 3 πR 3 3 ? 6π ?3 6π ·? ?= 6 . 4π ? 3 ? 答案:A 3.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,若不计损耗,则圆柱的高为 ( ) A.R C.3R B.2R D.4R

4 3 2 解析:设圆柱的高为 h,则 3× π R =π R ·h,所以 h=4R. 3 答案:D 4.设一正方体的表面积为 24 cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( A. 6π cm 8π 3 C. cm 3 解析:球的直径等于正方体的棱长. 答案:D 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的表面积为 6π ,则这个正 四棱柱的体积为( )
1
3 2

)

B. D.

32π 3 cm 3 4π 3 cm 3

A.1 C.3 解析:S 表=4π R =6π ,所以 R= 以 x=1.所以 V 正四棱柱=2.故选 B. 答案:B
2

B.2 D.4 6 ? 2 ?2 2 .设正四棱柱底面边长为 x,则? x? +1=R ,所 2 ?2 ?

6.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.

解析:由三视图还原为实物图为半个球,则表面积为半球面+底面圆,代入数据计算为 1 2 2 S= ×4π ×1 +π ×1 =3π . 2 答案:3π 7.已知三个球的半径 R1,R2,R3 满足 R1+2R2=3R3,则它们的表面积 S1,S2,S3 满足的等 量关系是________. S1 2 解析:S1=4π R1, S1=2 π R1,同理, S2=2 π R2, S3=2 π R3,即 R1= ,R2 2 π S3 ,R3= ,由 R1+2R2=3R3,得 S1+2 S2=3 S3. 2 π 2 π 答案: S1+2 S2=3 S3 8.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm,两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于 水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少? 解:设取出小球后,容器中水面下降 h cm, 两个小球的体积为 V 球=2? S2



?4π ×?5?3?=125π (cm3). ? ?? 3 ? 3 ? 2? ?
2

此体积即等于它们在容器中排开水的体积 V=π ×5 ×h, 125π 5 2 所以 =π ×5 ×h,所以 h= , 3 3 5 即若取出这两个小球,则水面将下降 cm. 3 9.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=18,BC =24,AC=30,求球的表面积和体积. 解:∵AB BC AC=18 24 30=3 4 5, ∴△ABC 是直角三角形,∠B=90°. 又球心 O 到截面△ABC 的投影 O′为截面圆的圆心,

2

也即是 Rt△ABC 的外接圆的圆心, ∴斜边 AC 为截面圆 O′的直径(如图所示), 设 O′C=r,OC=R,则球半径 R,截面圆半径 r, OO′ 1 在 Rt△O′CO 中,由题设知 sin∠O′CO= = , OC 2 r 3 2 ∴∠O′CO=30°,∴ =cos30°= ,即 R= r,(*) R 2 3 又 2r=AC=30?r=15,代入(*)得 R=10 3. ∴球的表面积为 S=4π R =4π (10 3) =1 200π . 4 4 3 3 球的体积为 V= π R = π (10 3) =4 000 3π . 3 3 ——能力提升类—— 10.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器厚度,则球的 体积为( )
2 2

3

A. B. C. D.

500π 3 cm 3 866π 3 cm 3 1 372π 3 cm 3 2 048π 3 cm 3

解析:利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图,作出球的一个截面,则 MC=8-6 1 1 2 2 2 2 2 =2(cm),BM= AB= ×8=4(cm).设球的半径为 R cm,则 R =OM +MB =(R-2) +4 ,∴R 2 2 4 500 3 3 =5,∴V 球= π ×5 = π (cm ). 3 3 答案:A

11.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.

4

解析:设球的半径为 r,则圆柱形容器的高为 6r,容积为 π r ×6r=6π r ,高度为 8 cm 4 3 2, 3 3 2 3 的水的体积为 8π r 3 个球的体积和为 3× π r =4π r ,由题意得 6π r -8π r =4π r ,解 3 得 r=4(cm). 答案:4

2

3

12.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋,请你设 计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰 淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料? 解:设圆锥形杯子的高为 h cm, 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须 V 圆锥≥V 半球, 1 4 1 4π 3 3 而 V 半球= × π r = × ×4 , 2 3 2 3 1 1 π 2 2 V 圆锥= Sh= π r h= ×4 ×h. 3 3 3 π 1 4π 2 3 依题意: ×4 ×h≥ × ×4 ,解得 h≥8, 3 2 3 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=π rl=π r h +r , 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小, 所以高为 8 cm 时,制造的杯子最省材料.
2 2

5


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