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2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测卷二 理


专题综合检测(二)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3 3 ,则 cos 2α =(A) 3

解析:sin

α +cos α =

3 , 3

1 2 两边平方可得 1+sin 2α = ? sin 2α =- , 3 3 ∵α 是第二象限角,因此 sin α >0,cos α <0, 所以 cos α -sin α =- (cos α -sin α ) =-
2 2 2

2 15 1+ =- . 3 3 5 . 3

∴cos 2α =cos α -sin α =(cos α +sin α )(cos α -sin α )=-

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C =(A) A. 7 7 B.- 25 25 7 C.± 25 24 D. 25

解析:∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B=5sin C. 又∵C=2B, ∴8sin B=5sin 2B. 所以 8sin B=10sin Bcos B.易知 sin B≠0, 4 7 2 ∴cos B= ,cos C=cos 2B=2cos B-1= . 5 25 π? 2? 3.函数 y=2cos ?x- ?-1 是(A) 4? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

1

π? π? 2π ? 2? 解析:因为 y=2cos ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数,T= =π .故选 4? 2? 2 ? ? A. 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 则 A=(D) A.30° C.60° B.30°或 105° D.60°或 120° 3,b= 2,B=45°,

5. (2014?安徽卷)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得 图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是(C) A. π 8 π B. 4 3π C. 8 3π D. 4

π? ? 解析:由题意 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?,将其图象向右平移 φ 个单位, 4? ? π? π? π π ? ? 得 2sin?2(x-φ )+ ?= 2sin?2x-2φ + ?, 要使图象关于 y 轴对称, 则 -2φ = 4? 4? 4 2 ? ? π kπ 3π +kπ ,解得 φ =- - ,当 k=-1 时,φ 取最小正值 .故选 C. 8 2 8 → → 6.(2015?新课标Ⅰ卷)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC= (A) A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4)

→ 解析:解法一:设 C(x,y),则AC=(x,y-1)=(-4,-3), 所以?
?x=-4, ? ? ?y=-2,

→ 从而BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 A.

→ → → → 解法二:AB=(3,2)-(0,1)=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,- 4).故选 A. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a),

n=(b,c+a),若向量 m⊥n,则角 A 的大小为(B)
A. C. π 6 π 2 π B. 3 2π D. 3

解析:∵m=(b-c,c-a),

n=(b,c+a)且 m⊥n,
∴m?n=(b-c,c-a)?(b,c+a)=b(b-c)+c -a =0,
2 2

2

即 b +c -a =bc, 又∵cos A= π ∴A= . 3 8.设 0≤x<2π ,且 A.0≤x≤π C. π 7π ≤x≤ 4 4 1-sin 2x=sin x-cos x,则 x 的取值范围是(B)

2

2

2

b2+c2-a2 bc 1 = = ,0<A<π , 2bc 2bc 2

π 5π B. ≤x≤ 4 4 π 3π D. ≤x≤ 2 2

→ → 9.(2015?新课标Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(A) 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

1→ 4→ → → → → 1→ → 1 → → 4→ 1→ 解析:AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB)= AC- AB=- AB+ AC.故选 A. 3 3 3 3 3 3 10.(2015?新课标Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点.若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是(A) A.?-

x2

2

? ?

3 3? , ? 3 3?

B.?-

? ?

3 3? , ? 6 6?

? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3

解析:由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴ F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴ MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → ∵ MF1?MF2<0, ∴ (- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0. ∵ 点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴
2 2 2

x2 0
2

-y0=1,即 x0=2+2y0,
2 2

2

2

2

∴ 2+2y0-3+y0<0,∴ -

3 3 <y0< .故选 A. 3 3

3

3 ? 2?π 11.已知 tan α =- ,则 cos ? +α ?=(A) 5 ?4 ? A. 16 15 B. 17 17 C. 9 8 D. 17 17

1 12.若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,且(a+b)?b= ,向量 a、b 的夹角为(B) 2 A. π 3 2π B. 3 π C. 6 5π D. 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab, 2π 则角 C= . 3 解析:由 (a +b - c)(a +b+ c) = ab ? a + b -c =- ab ,根据余弦定理可得 cos C=
2 2 2

a2+b2-c2 1 2π =- ? C= . 2ab 2 3
14.(2015?新课标Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数λ = 1 . 2 解析:∵ λ a+b 与 a+2b 平行,∴ λ a+b=t(a+2b), 1 λ = , ? ? 2 ?λ =t, ? 即 λ a+b=ta+2tb,∴ ? 解得? ?1=2t, 1 ? t= . ? ? 2 5π 15.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π )取得最大值时,x= . 6

? π? 解析:y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?, 3? ?
π π 5π 0≤x<2π ? - ≤x- < , 3 3 3

? π? 可知-2≤2sin?x- ?≤2. 3? ?
π π 5π 当且仅当 x- = 时,即 x= 时取得最大值. 3 2 6 16.(2014?江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小 值是 6- 2 . 4

解析: 由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c, cos C=

a2+b2-c2 2ab

4

a2+b2-?


?a+ 2b?2 ? ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab
= 8ab ≥ 8ab

2ab



6- 2 2 2 ,当且仅当 3a =2b 即 4

a 2 = 时等号成立. b 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)(2015?茂名一模)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c, 且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b. 解析:(1)∵a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,由于 sin A≠0, 1 故有 sin B= ,又∵B 是锐角, 2 ∴B=30°. 1 1 1 15 3 (2)依题意得:S△ABC= acsin 30°= ?3 3?5? = , 2 2 2 4 ∴由余弦定理 b =a +c -2accos B 可得
2 2 2

b2=(3 3)2+52-2?3 3?5?cos 30°
=27+25-45=7, ∴b= 7. 18.(12 分)已知函数 f(x)= (sin x-cos x)sin 2x . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. (sin x-cos x)sin 2x 解析:f(x)= = sin x (sin x-cos x)2sin xcos x = 2(sin x - cos x)cos x = sin 2x - 1 - cos 2x = 2 sin x π? ? sin?2x- ?-1,{x|x≠kπ ,k∈Z} 4? ? (1)原函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},最小正周期为π . 3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为?- +kπ ,kπ ?,?kπ , +kπ ?(k∈Z). 8 ? 8 ? ? ? 19.(12 分)函数 f(x)=6cos
2

ωx + 3cos ω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如图所 2

5

示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?

解析:(1)由已知可得: f(x)=6cos π? ? 2 3sin?ω x+ ?(ω >0). 3? ?

2

ωx + 3cos ω x-3=3cos ω x+ 2

3sin ω x=

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4, 所以,函数 f(x)的周期 T=4?2=8, 即 2π π =8,得ω = . ω 4

所以,函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3 ]. 8 3 (2)因为 f(x0)= ,由(1)有 5

f(x0)=2 3sin?
即 sin?

?π x0+π ?=8 3, 3? ? 4 ? 5

?π x0+π ?=4. ? 3? 5 ? 4

? 10 2? ?π x0+π ?∈?-π ,π ?, 由 x0∈?- , ?,得? ? ? 3? ? 3 3? ? 4 ? ? 2 2?
所以,即 cos?

?π x0+π ?= 3? ? 4 ?

2 ?4? 3 1-? ? = . ?5? 5

故 f(x0+1)=2 3sin? =2 3sin?? =2 3?sin?

?π x0+π +π ? 4 3? ? 4 ?

??π x0+π ?+π ? 3? ? 4? ?? 4 ? ?π x0+π ?cos π +cos?π x0+π ?sin π ? ? 4 ? 3? 3? 4 4? ? 4 ? ? ?

? ?

6

2 3 2? 7 6 ?4 =2 3? ? + ? ?= . ?5 2 5 2 ? 5 → → → → 20.(12 分)在△ABC 中,已知AB?AC=3BA?BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

→ → → → 解析:(1)∵AB?AC=3BA?BC,∴AB?AC?cos A=3BA?BC?cos B,即 AC?cos A= 3BC?cos B. 由正弦定理,得 = , sin B sin A

AC

BC

∴sin B?cos A=3sin A?cos B. 又∵0<A+B<π ,∴cos A>0,cos B>0. ∴ sin B sin A =3? ,即 tan B=3tan A. cos B cos A 5 ,0<C<π , 5 1-?

(2)∵cos C=

∴sin C= ∴tan C=2.

? 5?2 2 5 ? = 5 . ?5?

∴tan[π -(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2. ∴ tan A+tan B =-2. 1-tan A?tan B 4tan A =-2, 2 1-3tan A

由 (1),得

1 解得 tan A=1 或 tan A=- . 3 π ∵cos A>0,∴tan A=1.∴A= . 4

? π ? 21.(12 分)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. 3 ? ?
(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间.

? π ? ? π? 解析:(1)因为函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?,所以 f?- ?=0. 3 ? ? ? 3? ? π? ? π? 即 sin?- ?+acos?- ?=0. ? 3? ? 3?

7

即-

3 a + =0. 2 2

解得 a= 3. (2)由(1)得,

f(x)=sin x+ 3cos x=2? sin x+

?1 ?2

3 ? cos x? 2 ?

? =2?sin xcos ?

π π +cos xsin ? ? 3 3?

? π? =2sin?x+ ?. 3? ?
所以函数 f(x)的最小正周期为 2π . π π 因为函数 y=sin x 的单调递增区间为[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 2 2 π π π 所以当 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, 2 3 2 5π π 即 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增. 6 6 5π π? ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ? 6 6? ? (k∈Z).

? ? ? ? 22.(12 分)已知向量 m=?2cos ,1?,n=?sin ,1?(x∈R),设函数 f(x)=m?n-1. 2 ? ? ? 2 ?
x x
(1)求函数 f(x)的值域; 5 3 (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C) 13 5 的值.

? ? ?sin ,1?-1=2cos sin +1-1=sin x. 解析: (1)f(x)=m?n-1=?2cos ,1?? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ?
x x x x
∵x∈R, ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= , 13 5 5 3 ∴sin A= ,sin B= . 13 5 12 2 ∵A,B 都为锐角,∴cos A= 1-sin A= , 13 4 2 cos B= 1-sin B= . 5
8

5 4 ∴f(C)=sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= ? + 13 5 12 3 56 ? = . 13 5 65 56 ∴f(C)的值为 . 65

9


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