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2[1].3.2平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算


平面向量的正交分解 及坐标表示

复习
平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2

复习

a= λ1 e1+ λ2 e2

(1)我们把

不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。

新课引入
F1 G F2

G=F1+F2 G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地,由平面向量的基本定理,对平面上的 任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1

F1 G

F2

正交分解

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基 底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

y yj j O i a

xi

分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫 做a在y轴上的坐标

a = ( x, y )
y yj j O i a

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

xi

x

y

向量a、b有什么关系? a=b

yj yj j O i

a

b

能说出向量b的坐标吗?

b=( x,y )
xi xi x

相等的向量坐标相同

y

a A (x,y)

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位 置由a唯一确定。

y
j O i

设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标; x
反过来,点A的坐标(x,y)也就是 向量OA的坐标。

x

因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

? (1) a ? (1, 2 )
解:
y

? ( 2 ) b ? ( ? 1, 2 )
B ( ? 1, 2 )
y

. A (1, 2 )
? a
x

.

o

? b

o

x

如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、d ,并 求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1

解: 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,

a=(2,3) 同理,b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)

-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5

i1 2 3 4 x d

d=2i-3j=(2,-3)

例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? ( ? 2 , 3)

? b

y 5 4 3 2 1
-2 -1
O

? a
? j

??? ? ? ? B A B ? 2i ? 3 j ? ( 2 , 3)

A 2 3
? ? d

? ? ? c ? ?2i ? ? ? 3 ? j ? ( ? 2 , ? 3)

-4 -3

? c

-1 -2

? i 1

4

x

? ? ? ? d ? 2i ? ? ? 3 ? j ? ( 2 , ? 3)

? ??? a的 坐 标 等 于 A B 的 终 边 坐 标 减 去 起 点 坐 标 。

问1


? ??? ? ? :设 a ? A B , a

的坐标与 A、 B 的坐标有何关系?

??? ? AB ?

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),

( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 )

问2:相等向量的坐标 有什么关系? 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。

y

B1 P(x,y)
? a

B(x2,y2)

? b

1
O

? j

A (x1,y1) A 1
x

? i 1

向量的坐标与点的坐标关系
4 3

? y j
j
-2

P( x , y )
2 1

2

O
-1 -2

i

-3

??? ? ? ? O P ? xi ? y j ? ( x, y ) ??? ? 向量 O P 一 一 对 应 P(x ,y)

? xi

4

6

小结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标; 当向量的起点在原点时,向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若 a ? b,a ? ( x1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ),
则 ( x1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ), 即 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 .

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

? (1) a ? (1, 2 )
解:
y

? ( 2 ) b ? ( ? 1, 2 )
B ( ? 1, 2 )
y

. A (1, 2 )
? a
x

.

o

? b

o

x

? ? ? ? 问 题 : ( 1 ) 已 知 a ? ( x1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ), 求 a ? b , a ? b的 坐 标 . ? ? ( 2 ) 已 知 a ? ( x , y )和 实 数 ? , 求 ? a 的 坐 标 .

(二)平面向量的坐标运算: ? ?

? ? ? ? ? ? (1) a ? b ? x1 i ? y 1 j ? x 2 i ? y 2 j ?

?

? ?

?

? ? ? x1 ? x 2 ? i ? ? y 1 ? y 2 ? j

? ? 同 理 得 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? ? ? ? ? (2)? a ? ? xi ? y j ? ? xi ? ? y j ? (? x , ? y )

? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

?

?

结论2:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论3:实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.

已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),求 AB的坐标.

??? ? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA
? ( x 2 , y 2 ) ? ( x1 , y 1 )
? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 )

A(x1,y1)

y
B(x2,y2)

O

x

结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度

? ? ? ? ? ? 例 2 : 已 知 a ? ( 2 , 1 ), b ? ( ? 3 , 4 ), 求 a ? b , a ? b , ? ? 3a ? 4b 的 坐 标 .

? 解: ? a ? a ?

? b ? ( 2 , 1 ) ? ( ? 3 , 4 ) ? ( ? 1, 5 ) ? b ? ( 2, 1) ? ( ? 3, 4 ) ? (5, ? 3 )

? ? 3 a ? 4 b ? 3(2, 1) ? 4( ? 3, 4 ) ? (6, 3) ? (? 12,16)
? (?6,19)

例3已知三个力 F 1 (3, 4),

F 2 (2,

?5),

F3

(x, y)的合力

F 1 + F 2 + F 3 = 0 求 F 3的坐标。

解:由题设 F 1 + F 2 + F 3 = 0 得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
?3 ? 2 ? x ? 0 即:? ?4 ? 5 ? y ? 0

? x ? ?5 ∴? ? y ?1



F3

(?5,1)

??? ? 例 4 、1 ? 已 知 A ( 2, 3), B ? ( ? 3, 5), 求 B A的 坐 标 . ? ??? 解 :A ? ? 2, 3 ? ? ? ? 3, 5 ? ? ? 5, ? 2 ? . B ??? ? ? 2 ?已 知 A B ? (1, ? 2 ), A ( 2,1), 求 B的 坐 标 .
解 : 设 B ? x,y ? ,

??? ? ? A B ? ? 1, ? 2 ? ? ? x , y ? ? ? 2,1 ? ,
? 1? x?2 即? ??2 ? y ? 1

? x ?3 ?? ? y ? ?1

即 B ?3,-1? .

例5:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标。
y B(-1,3))
4 3

C(3,4)

2

A(-2,1)
-6 -4 -2

D(x,y)

1

O
-1 -2

x
2 4 6

-3

-4

例5:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是(- 2,1)、(- 1,3)、(3,4),求 y 顶点D的坐标.
解 : 设 顶 点 D的 坐 标 为 ( x , y )
? AB ? ( ? 1 ? ( ? 2 ), 3 ? 1) ? (1, 2 )

C
B D O x

A DC ? ( 3 ? x , 4 ? y ) ??? ? ???? 有 A B ? D C 得 : (1 ,)? 3 - x , 4 ? y ) 2 (
?x ? 2 ?1 ? 3 ? x ?? ? ? ?2 ? 4 ? y ?y ? 2 ? 顶点 D 的坐标是(

2,) 2

变式: 已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点 D2 y 构成平行四边形四个顶点。
B 解:当平行四边形为ADCB时, 由 AB ? DC 得D1=(2, 2) A C D1
O

当平行四边形为ACDB时, 得D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时, 得D3=(?6, 0)

D3

x

课堂总结:

? ? ? 1.向量的坐标的概念: a ? x i ? y j ? ( x , y )

2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系; (3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算:

? ? ? ? ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ), ? ? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ), ? a ? ( ? x1 , ? y 1 )
(2)若 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),
??? ? ? A B ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 )

4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思

? ? ? ? 1 、 = ? 4 ,6 ? , 且 a = 2b , 那 么b 的 坐标是 a

随堂练习

B

A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) ? ? 2 、 若 向 量 a = ? x-2 ,3 ? 与 向 量 b = ? 1 ,y + 2 ? 相 等 , 那 么 B A、x=1,y=3 B、x=3,y=1

C、x=1,y=-3

D、x=5,y=-1
C

??? ? ???? 3 、 已 知 A B = ? x,y ? , B 的 坐 标是 ? -2 ,1 ? , 那 么O A 的 坐标为

A、(x-2,y+1)

B、(x+2,y-1)

C、(-2-x,1-y)

D、(x+2,y+1)

? ? ? ? 4 、 若 向 量 a = ? 1 , 1 ? ,b = ? 1 , -1 ? ,c = ? -1 , 2 ? , 那 么c 等 于

B

1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? A、 a+ b B 、 a- b C 、 a- b D 、 a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 5 、 已 知 a = ? 3 ,-1 ? ,b = ? -1 ,2 ? , 那 么-3 a -2 b 等 于 B
A 、 7 ,1 ? ? B 、 -7 , ? ? -1 C 、 -7 ,1 ? ? D 、7 , ? ? -1

??? ? 6 、 已 知 B 的 坐 标是 ? m ,n ? ,A B

的坐标为(i,j),则点A

的坐标为

A

A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)

B、(i-m,j-n)
D、(m+n,i+j)

小结 平面向量的正交分解

平面向量的坐标表示


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