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福建省厦门市2013届高三上学期期末质量检查数学理试题 Word版含答案


福建厦门 2013 届高三上学期质量检查

数学(理)试题
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、 班级、学号、姓名. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 柱体体积公式:V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高; 锥体体积公式:V=

1 sh ,其中 s 为底面面积,^为高. 3

第Ⅰ 卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只 有一个答案是正确的. 1.已知集合 A={ x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0 },集合 B 为函数 y ?

x ? 2 的定义域,则 A ? B 等于
D. {x| x≥3}

A.{x|1≤x≤2} B. {x| 2≤x≤3} C. {x|x≥2} 2.设向量 a= (2,0) ,b=(1,1) ,则下列结论中正确的是 A.a.b=

1 2

B.|a|=|b|

C.a∥ b

D. 一 b)⊥ (a b

3.下列说法正确的是 A.“x=6"是“x2 -5x -6 =0"的必要不充分条件 B.命题“若 x2 =1,则 x=l”的否命题为“若 x2 =1,则 x≠1” C.命题“ ?x ? R ,使得 x2 +x +1 <0"的否定是“ ?x ? R,均有 x2 +x +1 ? 0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆命题为真命题 4.在△ ABC 中,∠ =60°, AB =2,且△ A ABC 的面积为 A. 3 B.3

3 ,则 BC 的长为 2
C. 7 D.7

?x ? 2 ? 5.设 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1,若目标函数 z=ax+by(a >0,b>0)的最小值为 2,则 ?y ? x ?
ab 的最大值为 A.1 B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

6.已知 m,n 是空间两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是

A.若 ? ∥ ,m ? ? ,n ? ? ,则 m∥ n ?

B . 若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, m,∥ , 则 n

? ?∥
C.若 m ? ? , a ? ? , 则 m ? ? D.若 m ? ? , m,∥ ,则 ? ? ? ? ’

7.已知抛物线 y2 =4x 的焦点为 F,准线为 l , l与双曲线 若△ FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是 A. 3 B. 6 C.2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A,B 两点, a2

D.

2 ?1

8.设直线 l 过点(2,0)且与曲线 C:y= 面积为 A.1n2 一

1 相切,则 l 与 C 及直线 x=2 围成的封闭图形的 x
C.2 一 1n2 D.2-21n2

1 2

B.1 一 1n2

9.记 S 为四面体四个面的面积 S1, S2, S3, S4 中的最大者,若 ? ? A. 2< ? <3 B. 2< ? ≤4

S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ,则 S C.3< ? ≤4 D.3.5 < ? <5

10.如图,已知 A,B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ?) 的 a 2 b2

右顶点和上顶点,直线 l ∥ AB, l 与 x 轴、y 轴分别交于 C,D 两点,直线 CE,DF 为椭圆的切线,则 CE 与 DF 的斜率之积 kCE· DF 等于 k A. ?

a2 b2

B. ?

a 2 ? b2 a2

b2 C. ? 2 a

a 2 ? b2 D. ? b2

第Ⅱ 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题分必做题和选做题. (一)必做题(共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 11.已知 tana=2,则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

。 .

12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为 13.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式: 22 =1+3 32 =1+3 +5 42 =1+3 +5 +7 … 23 =3 +5 33 =7 +9 +11 … 24 =7 +9 … 按此规律,54 的分解式中的第三个数为 .

14.已知函数 f ( x ) ? ①f ( x ) 是奇函数 ` ③ x? 当

sin x ,下列命题正确的是 x

。 (写出所有正确命题的序号) ② 对定义域内任意 x, f ( x ) <1 恒成立; ④f (2) ? f (3)

3 ? 时, f ( x) 取得极小值; 2

⑤ x>0 时,若方程| f ( x ) |=k 有且仅有两个不同的实数解 ? , ? (? ? ? )则? · ? =- 当 cos sin ? (二)选做题(本题设有三个选考题,请考生任选 2 题作答,并在答题卡的相应位置填写答 ............. 案,如果多做,则按所做的前两题计分,满分 8 分) . 15. (矩阵与变换选做题)已知矩阵 M= (1)

?

1 0 0 2

?1 2 ,N ??0 ? ?

0 1

? ? ,曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对 ?


应的变换作用下得到曲线 C,则 C 的方程是 15. 2) 极坐标与参数方程选做题) ( ( 在极坐标系中, (2, 点

? ? ) 到直线 psin ? ? ) ? 2 ? 0 ( 4 2

的距离是 . 15. (不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式|x-1 |-|x+2|≥a 的解集为 R,则实数 a 的 (3) 取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=-5,S5=-20. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )求使不等式 Sn>an 成立的正整数 n 的最小值. 17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x2+ y2 +2x +a =0 上存在两点关于直线 l : mx ? y ? 1 ? 0 对称.

(I)求 m 的值; (Ⅱ )直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, OA ·OB =-3(O 为坐标原点) ,求圆 C 的方程. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
| x|?1

??? ??? ? ?

? ax .

(I)若 f(x)是偶函数,求实数 a 的值; (Ⅱ )设 a>0,讨论函数 y ? f ( x) 的单调性, 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x cos
2

?
2

? sin 2 x(0 ?? ? ? ) 图象的一条对称轴为 x ?

?
2



(I)求的 ? 值; (Ⅱ )设函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? f '( x) (其中 f '( x) 为 f ( x ) 的导函数) ,若函数 F (?? x) 的 图象中 至少有一个最高点和一个最低点都落在椭圆 x ?
2

y2 ? 1的内部, 求正数 ? 的取值范围. 9

20. (本小题满分 14 分) 某新兴城市拟建设污水处理厂,现有两个方案: 方案一:建设两个日处理污水量分别为 xl 和 x2(单位:万 m3/d)的污水厂,且 3≤xl≤5, 3≤x2≤5. 方案二:建设一个日处理污水量为 xl+x2(单位:万 m3/d)的污水厂. 经调研知: (1)污水处理厂的建设费用 P(单位:万元)与日处理污水量 x(单位:万 m3/d)的 关 系为 P =40x2; (2) 每处理 1m3 的污水所需运行费用 Q (单位: 元) 与日处理污水量 x (单位: m3/d) 万 的关系为: Q ? ?

?0.4 ?0.6

(6 ? x ? 10) . (3 ? x ? 5)

(I)如果仅考虑建设费用,哪个方案更经济? (Ⅱ )若 xl +x2 =8,问:只需运行多少年,方案二的总费用就不超过方案一的总费用? 注:一年以 250 个工作日计算;总费用=建设费用+运行费用 21. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB =a,AD =b,过点 D 作 DE⊥ 于 E,交直线 AB 于 F。现将△ AC ACD 沿 对角线 AC 折起到△ PAC 的位置,使二面角 P-AC-B 的大小为 60°.过 P 作 PH⊥ 于 EF H。 (I)求证:PH⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )若 a=

2b ,求直线 DP 与平面 PBC 所成角的大小;

(Ⅲ )若 a+b=2,求四面体 P-ABC 体积的最大值.

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