当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答


2013 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答
选择题答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A

填空题答案 1
3 1 2

2 ?1043

3 4

4 128

5 11

6
6 3

/>7 {1979, 1985, 1991, 2003}

8
2m 2 n 2 ( m ? n) 2

一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号 填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均计 0 分) 1.已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5},B={2, 3, 4, 5, 6},则集合 C={(a, b)|a?A, b?B, 且关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实根} 的元素个数为 (A)7. (B)8. (C)9. (D)10. 解 当 a>0,b>0 时,x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件 y 6? y=x 为 a≥b. 5 ? · 设集合 D={(a, b)|a?A, b?B}, D 的元素个数为 5× 5=25 个,而 C 是 D 的子集,因此,集合 C 的元素如右面的整点 4 ? ·· 3? 图中的黑点所示: ··· 2? 因此, C 的元素个数等于 10. ·· · ·
1?

2.已知 24 ? a ? 8 ? a ? 2 ,则 24 ? a + 8 ? a 等于 (A)7. 解 (B)8. (C)9.
24 ? a

? ? ?
1 2

(D)10.
8?a

3

4

? ?

5 x

24 ? a ?

? 8?a ?

? ??
2

?

2

24 ? a ? 8 ? a

?

24 ? 8 ? 8. 2
y H O E

3. 如图所示, 矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 O, 3k ? 1 矩形的边分别平行于坐标轴,点 C 在反比例函数 y ? 的 x B 图像上,若 A 点的坐标为(?2, ?2),则 k 等于 F (A)2. (B)1. (C)0. (D)?1. A 解 因为矩形的对角线平分矩形的面积,所以

y=

3k ? 1 x
C G D x

矩形 CHOG 的面积 = 矩形 OFAE 的面积 = |?2|× |?2|= 4. 即 3k+1=OG× GC= 4,因此 k =1.

2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答

第1页

共5页

4.定义在 R 上的偶函数 f (x),满足 f (x+1)=?f (x),且在区间[?1, 0]上递增,则 (A) f (3) ? f ( 3) ? f (2) . (B) f (2) ? f (3) ? f ( 3) . (C) f (3) ? f (2) ? f ( 3) . (D) f (2) ? f ( 3) ? f (3) . 解 根据题意 f (x)=?f (x+1) =?[?f (x+2)]= f (x+2), 因为 f (x)是偶函数, 即 f (a)= f (?a), 则 f (3) ? f (1) ? f (?1) , f (2) ? f (0) , f ( 3) ? f (? 3) ? f (2 ? 3) ? f ( 3 ? 2) . 而 ?1< 3 ?2<0,f (x)在区间[?1, 0]上递增, 所以 f (3) ? f ( 3) ? f (2) . 5.由 1 开始的连续 n 个正整数相乘,简记为 n!=1× 2× …× n, 如 3!=1× 2× 3=6, 1 2 3 4 5 6 7 10!=1× 2× 3× 4× 5× 6× 7× 8× 9× 10=3628800 等等,则 ? ? ? ? ? ? 等于 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 719 5039 40319 40321 (A) . (B) . (C) . (D) . 720 5040 40320 40320 n ?1 n 1 1 1 ? ? ? ? ,所以 解 因为 n! n ! n ! (n ? 1)! n !
1 2 3 4 5 6 7 ? ? ? ? ? ? 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! ?2 1? ?3 1? ?4 1? ?5 1? ?6 1? ?7 1? ?8 1? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 2! 2! ? ? 3! 3! ? ? 4! 4! ? ? 5! 5! ? ? 6! 6! ? ? 7! 7! ? ? 8! 8! ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2! ? ? 2! 3! ? ? 3! 4! ? ? 4! 5! ? ? 5! 6! ? ? 6! 7! ? ? 7! 8! ? ? 1? 1 1 40319 ? 1? ? . 8! 40320 40320
P D M O B N C

6.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,P 为劣弧 CD 上一点,PA 交 BD 于点 M,PB 交 AC 于点 N,记∠PAC=θ,若 MN⊥PA,则 2cos2θ?tanθ 的值等于

1 2 2 (A)1. (B) . (C) . (D) . θ 2 2 4 A 解 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ACB=45?,DB⊥AC, ∴ ∠APB=∠ACB=45?, ∵ MN⊥PA,∴ ∠MNP=∠APB=45?,∴ MP=MN. ∵ AC 为圆的直径,∴∠APC=90?,∴P、M、O、C 四点共圆.

∴ AM· AP= AO· AC.因此 2cos2θ ? tanθ ? 2 ?
AO 2 MN 2 ? AO 2 ? AM ? MN ? ? AM 2 AM AM 2 AO ? AC ? AM ? MN AM ? AP ? AM ? MN ? ? AM 2 AM 2 AP ? MN AP ? PM ? ? ? 1. AM AM

2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答

第2页

共5页

二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1.求
sin 2 30 ? sin 2 35 ? sin 2 40 ? sin 2 45 ? sin 2 50 ? sin 2 55 ? sin 2 60 tan 36 ? tan 3 39 ? tan 5 42 ? tan 7 45 ? tan 5 48 ? tan 3 51 ? tan 54

的值.
1 解 注意到 sin2α+sin2(90??α)= sin2α+cos2α=1,sin245?= , 2

n 为正整数时,tannα× tann(90??α)= tannα× cotnα=(tanα× cotα)n=1,tan45?=1,

2 sin 30 ? tan 36 ?

s2i n ? 35 3 tan ? 39

2 5

s i n? 4 02 7 t a n? 4 2

si ?n 42 5 5 ta ?n 4 5

? s i n 2 5 0 ? s i 2n 5 5 s i n 6 0 ?3.5 . ? t a n3 4 8 ? t a n 5 1 t a n 5 4

2.f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f ( x )=2 x +2 x + b (b 为常数),求 f (?10) 的值. 解 因为 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 所以 f ( 0 ) =0 , 即 2 0 +2 ×0+ b =0 , 得 b = ?1. 由 奇函数的性质 f (?x)=?f (x),有 若 x<0,即?x>0,则?f (x)= f (?x)=2?x?2x?1, 即 f (x)= ?2?x+2x+1 (x<0). 所以 f (?10)= ?210?2× 10+1= ?1043.
x? y?z 4

3.若实数 x, y, z 满足方程 x ? 9 ? x ? 7 ? 位数字. 解 易见 x≥7,则
x?9? x? 7 ? x ? y? z 4

? 4 ,试确定(5x+3y?3z)2013 的末

x ? 9 ? x ? 7 ≥4,而

x ? y? z ≥ 0 , 又 x, y, z 满 足 方 程 4 x? y?z =0. 4

? 4,所以 x ? 9 ? x ? 7 = 4,且

所以 x=7,x+y?z=0,(5x+3y?3z)2013 =142013,这个数的末位数字为 4. 4.如右图,正方形 ABCD 被分成了面积相等的 8 个三角形, D 如果 AG= 50 ,求正方形 ABCD 面积的值. 解 过 F 作 KL//DC,取 AB 的中点 N,延长 GN 交 AH 于 P, 设正方形 ABCD 的边长为 a,
1 由于△DCI、△ABH 的面积都是正方形 ABCD 面积的 ,所 D 8 K
A F E P A N G H B E G H B C L I F C I

以 CI=BH=

1 a BC= . 4 4

由△ADF 的面积=△DCL 的面积的 2 倍,得

2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答

第3页

共5页

1 1 AD ? KF ? 2 ? CD ? CI 2 2

所以 KF=2CI ?

1 a. 所以 F 为 DI 中点. 2

易见,E 是 AF 的中点,由△FAG、△FHG 的面积相等,可得 AP=PH,即 FP 为△ FAH 的一条中线,因此 F、P,N 是一条直线. 同理可证,HG 的延长线必过 AE 的中点 E,所以 HE 为△FAH 的另一条中线,中线 FP 与 HE 的交点 G 为△FAH 的重心, GP ?
1 FG . 2

1 a?a HI ? AD 2 3a 注意 FP 为梯形 AHID 的中位线,FP//BC,所以 FP ? ? ? ,所以 2 2 4 1 a a a 3a GP ? FP ? ,所以 GN ? GP ? PN ? ? ? . 3 4 4 8 8
2 a 25a 2 ? a ? ? 3a ? 25a 而 AN= , 根据勾股定理, 有 AG 2 ? ? ? ? ? ? ? , 即 50 ? , 所以 a2=128. 2 64 64 ?2? ? 8 ? 2 2

5.已知实数 m、n 满足 m?n= 10 ,m2?3n2 为质数.若 m2?3n2 的最大值为 a,最小 值为 b.试确定 a?b 的值. 解 设 m2?3n2=p (p 为质数) 由 m?n= 10 ,得 m= 10 + n, ∴ Δ=40?8p+80≥0,∴ p≤15. ∴ p 的最大值 a=13,最小值 b=2 , ∴ a?b=11. 6.在△ABC 的边 BC 上有一点 D,∠ADB 是锐 角,P、Q 分别是△ABD、△ACD 的外心,且四边形 APDQ 面积是△ABC 面积的
3 .求 sin∠ADB 的值. 4

① ②

把②式代入①式得( 10 + n)2?3n2= p,整理得 2n2?2 10 n+p?10=0,

解 连结 PQ,易证△AQP≌△DQP, 由已知得

S?AQP S?ABC

3 ? , 8
S ?AQP S ?ABC ? AQ ? ?? ? , ? AC ?
2

易证:△APQ∽△ABC,所以 所以

AQ 3 . ? AC 2 2
连结 QC,作 QH⊥AC 于 H,则

2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答

第4页

共5页

?ADB ? ?ACD ? ?CAD ?

1 1 1 1 AD ? CD ? ADC ? ?AQC ? ?AQH . 2 2 2 2

所以 sin∠ADB= sin∠AQH=

2 6 . ? 3 3

7.S(x)表示自然数 x 的数字和,试确定方程 x+S(x)+S(S(x))=2013 的解集. 解 显然 x<2013,而 S(x)最大为 28,S(S(x))最大为 10,因此 x 最小为 2013?38=1975.因此 1975≤x<2013,容易试验得 x=2003,S(2003)=5,S(S(2003))=5,2003+5+5=2013; x=1991,S(1991)=20,S(S(1991))=2,1991+20+2=2013; x=1985,S(1985)=23,S(S(1985))=5,1985+23+5=2013; x=1979,S(1979)=26,S(S(1979))=8,1979+26+8=2013. 除此之外的 x 都不满足方程,所以解集是{1979, 1985, 1991, 2003}. 8.直角△ABC 中,内切圆⊙O 切斜边 AB 于 D,切 BC 于 E,切 CA 于 F,作 DK⊥ AC 于 K,DP⊥BC 于 P,已知 AD=m,BD=n,试确定矩形 CKDP 的面积(用 m,n 来表 示) . 解 设内切圆半径为 r,连接 OD,OE,OF,如 图,则 OD=OE=OF= r. 由切线长定理得 AD=AF=m,BD=BE=n,CE=CF=r. 设△ABC 的半周长为 p,面积为 S,则 p=r+m+n, 所以 S ?
(r ? m)(r ? n) . 2
B P E C ? O F K n D m A

即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn. 因为 S=rp,代入上式得 S= mn. 因为 DK//BC,所以 △ADK∽△ABC, 所以 S?ADK ? S?ABC ?

m2 m2 m3n , ? mn ? ? (m ? n)2 (m ? n)2 (m ? n)2

同理可得 S?BDP ? S?ABC ?

n2 n2 mn3 , ? mn ? ? (m ? n)2 (m ? n)2 (m ? n)2 m3n mn3 2m2n2 . ? ? (m ? n)2 (m ? n)2 (m ? n) 2

因此,矩形 CKDP 的面积 = mn ?

2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答

第5页

共5页


更多相关文档:

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛_学科竞赛_高中...

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题 1.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 ...

2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题

www.doc88.com/hanqi2844 2012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文 字母代号填入第 ...

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛试题及参考解答一、选择题(每小题 6 ...

2013年北京市中学生数学竞赛 高一组

2013 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 填空题答案 1 1 2 3 4 128 5 11 6 6 3 7 {1979, ...

2009北京市高一数学竞赛初赛试题及答案

2009北京市高一数学竞赛初赛试题答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2009北京市高一数学竞赛初赛试题答案2009 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛一、选择...

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题解答一、填空题(满分 40 分,每小题...

2014年北京高中数学竞赛(初赛)高一

2014年北京高中数学竞赛(初赛)高一_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014年北京高中数学竞赛(初赛)高一答案班级 姓名 学号 文档贡献者 世界上最远的o 贡献于2015-05...

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答 2010 年 5 月 16 日 8:...
更多相关标签:
北京市中学生数学竞赛 | 2016英语竞赛初赛成绩 | 2016高中物理竞赛初赛 | 2016全国化学竞赛初赛 | 高中化学竞赛初赛试题 | 2015化学竞赛初赛试题 | 2016物理竞赛初赛 | 高中物理竞赛初赛试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com