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第四节、比较法证明不等式



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教师姓名:邵虹 教研组长 审批签字 授课班级

数学 授课时数

第 六 章: 不等式 第 4 节:比较法证明不等式 2 授课时间

根据已知条件,正确运用不等式的性质和基本不等式进行不等式的证明,证明

教材分析

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不等式的常用的方法有比较法、综合法、分析法等。本节课以介绍比较法证明 不等式为主 知识目标:1.掌握证明不等式的重要方法——比较法; 2.熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤:作差——变形—— 判断符号.

教学目标

能力目标:综合运用不等式性质将知识转化为能力 思想目标:转化的思想 重点:比较法的基本步骤. 难点:常见的变形技巧. 1 启发引导式.

重点、难点 和关键

教学方法分析

2 类比的教学法进行比较式教学法

课外作业

习题 6.3 学生在掌握了比较两个实数的大小后再进行本节课教学,采用类比的方法,学 生比较容易接受,教学比较顺利,能达到预定的教学目的

教学回顾

教学方法内容和过程
一、组织教学,稳定课堂秩序 二、教学过程 Ⅰ.复习回顾: 前面,我们学习了比较两实数大小的方法,其主要依据是实 数运算的符号法则,首先,我们作一简要的复习. a ? b ? a ?b ? 0 , a ? b ? a ?b ? 0 ,

教学意 时 图 间

a ? b ? a ?b ? 0

利用上述等价形式,也可证明不等式,这将是我们这一节学 习的内容. Ⅱ.讲授新课: 1.比较法: 要证明 a ? b ,只要证明 a ? b ? 0 ;要证明 a ? b ,只要证 明 a ? b ? 0 ,这种证明不等式的方法,通常叫做比较法.我们通 过具体的例子来熟悉比较法在证明不等式中的运用. 2.例题讲解: 例 1 求证 x ? 3 ? 3x
2

证明:∵ ( x ? 3) ? 3x
2

3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 = (x ? ) ? ≥ ? 0 2 4 4 2 ∴ x ? 3 ? 3x
2

= x ? 3x ? ( ) ? ( ) ? 3

作差证明不 等式

10

说明:此题在证明的变形过程中,为了判断差式的正负,采 用了配方法, 使题中出现了 ( x ? ) 的形式, 从而易于判断符号,
2

3 2

作出结论.

a?m a ? . b?m b a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? 证明: b?m b b(b ? m) b(b ? m) 作差证明不 因为 a,b,m 都是正数,且 a ? b ,所以 等式 b ? m ? 0, b ? a ? 0 m(b ? a) 10 ?0 ∴ b(b ? m) a?m a ? 即: b?m b
例 2 已知 a, m 都是正数, b, 并且 a ? b , 求证:

教学方法内容和过程
说明:此题在证明过程中采用了通分的手段,使差式变形为 多个因式的积,从而使差式的正负得以判断. 例 3 已知 a,b 是正数,且 a≠b,求证

教学意 时 图 间

证明:

a 5 ? b 5 ? a 3b 2 ? a 2 b 3 a 5 ? b 5 ? (a 3 b 2 ? a 2 b 3 )

? (a 5 ? a 3 b 2 ) ? (a 2 b 3 ? b 5 ) ? a 3 (a 2 ? b 2 ) ? b 3 (a 2 ? b 2 )
? (a 2 ? b 2 )(a 3 ? b 3 ) ? (a ? b)(a ? b) 2 (a 2 ? ab ? b 2 )

因为 a,b 是正数,所以 a+b>0, a ? ab ? b ? 0 又因为 a≠b,可知
2 2

(a ? b) 2 ? 0 ∴ (a ? b)(a ? b) 2 (a 2 ? ab ? b 2 ) ? 0 即 (a 5 ? b 5 ) ? (a 3 b 2 ? a 2 b 3 ) ? 0 5 5 3 2 2 3 ∴a ?b ? a b ?a b
说明:此题在证明过程中,采用了分组分解因式的方法,将 差式变形为多个因式的积,然后由各个因式的正负得出因式乘积 的正负,从而判断差值正负.

将差式变形 为多个因式 的积

10

例 4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点, 甲有一 半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走;有一 半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如 果 m ? n,问:甲乙两人谁先到达指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为 S, 甲乙两人走完全程所需时间分别是 t1, t2, 则
t1 ?



t1 t m ? 1 n ? S, 2 2

S S ? ? t2 2m 2n







2S S ( m ? n) , t2 ? m?n 2mn



t1 ? t 2 ?

2S S (m ? n) S[4m n ? (m ? n) 2 ] S (m ? n) 2 ? ? ?? m?n 2m n 2(m ? n)m n 2m n(m ? n)

教学方法内容和过程
∵S, m, n 都是正数,且 m ? n,∴t1 ? t2 < 0 即:t1 < t2 从而:甲先到到达指定地点。 变式:若 m = n,结果会怎样? 2、作商法 例 5.设 a, b ? R+,求证: a a b b ? (ab) 证:作商:
a ?b 2
a ?b 2

教学意 时 图 间

? abb a

a abb (ab)
a ?b 2

?a

a ?b 2

b

b?a 2

a ?( ) b

a 当 a = b 时, ( ) b

a ?b 2

?1 a ?b a ? 0, ( ) 2 b
a ?b 2

当 a > b > 0 时,

a ? 1, b

?1
a ?b 2

a 当 b > a > 0 时, 0 ? ? 1, b

a ?b a ? 0, ( ) 2 b

?1

∴ a a b b ? (ab)

a ?b 2

(其余部分布置作业)

作商法步骤与作差法同,不过最后是与 1 比较。
3.比较法证明不等式的步骤: 作差——变形——判断符号 下面我们通过练习来熟悉比较法,证明不等式. Ⅲ.课堂练习: 课本 P14 练习 1,2,3. 补充练习; 1.

已知a, b ? R ? , 且a ? b ? 1, x、、 ? R,

2 求证证:a? by2 ? (ax ? by) 2 2. 若a ? log0.2 0.3, b ? log0.3 0.2, , c ? 1,比较 , b, c的的大

Ⅳ、课堂小结 通过本节学习,要求大家明确比较法是证明不等式最基本、 最重要的方法,掌握比较法证明不等式的步骤:作差——变形— —判断符号.

教学方法内容和过程
Ⅴ.作业 板书设计

教学意 时 图 间

1.比较法 例 1 2.作商法 例 4 3 比较法的步骤

§6.3 例2 例3 例5

学生 练习


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