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上海虹口区2012-2013学年度第一学期高一年级数学学科试卷


虹口区 2012 学年度第一学期高一年级数学学科 期终教学质量监控测试试卷
得分 评卷人

一、填空题(本大题满分 30 分)本大题共 10 题,每题 3 分。 1、已知集合 A ? ??1, 0, 1? , B ? x x ? x , 则 A ? B ? ________.
2

?

?

>
2、不等式 x ? 2 ? 1 的解集是_______________.

? x 2 ? 1, x ? 3 , 则 f ( f (9)) ? 3、若函数 f ( x ) ? ? ?log 3 x, x ? 3



4、已知条件 p : 2 ? x ? 4, 条件 q : 3k ? 1 ? x ? ?2k , 且 p是q 的充分条件,则实数 k 的取值范围 是 .

5、 “若实数 a、b满足 a ? 1 且b=3,则 a ? b< 5 ” 命题 的逆否命题是 _________________________. 6、函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ?1 ,x?? , x ?5
3

? 2 ? 的值域是 ?
2



7、 卷题)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 x 的零点是 (A (B 卷题)已知函数 f ( x) ? 5 ? a 的反函数为 y ? f
x ?1



( x) ,若函数 y ? f ?1 ( x) 的图像过

点 (4,1) ,则实数 a 的值为 8、 卷题)已知函数 f ( x) ? 2 (A 是 .
x?a

. 在区间 ?3,+? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围

(B 卷题)已知函数 f ( x) ? log a (2 ? ax) 在区间 ? 0, 1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 .

9、已知函数 y ? f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,若 f ( x) 在区间 (0, ??) 单调递增,且

f (3) 0, ? 则不等式
10、函数

f ( x) ? 0 的解集是 x



f ( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 2 x 2 ? 1 的最大值与最小值的差等于
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第1页



得分

评卷人

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共 5 题,每题 4 分。 11、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , 集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?3, 4,5? , 则 A ? ?U B ? ( (A) ?1, 2,3, 4, 6? ; (B) ?1, 2,3, 4,5? ; ( C) ?1, 2,5? ; (D) ?1, 2? . ( )

?

?



12、设 x, ? R, 则“ x ? 2 或 y ? 3 ”是“ x ? y ? 5 ”的 y (A) 充分不必要条件; (C) 充要条件;
?

( B) 必要不充分条件; ( D ) 既不充分也不必要条件.

13、设 a, b, c ? R ,则“ abc ? 1 ”是“ a ? b ? c ? (A) 充分不必要条件; (C) 充要条件; 14、若 f ( x) ? ?

1 1 1 ”的 ? ? a b c





( B) 必要不充分条件; ( D ) 既不充分也不必要条件.

? x 2 , ( x ? 0) ? x, , g ( x) ? ? 2 ? x, ( x ? 0) ?? x ,

( x ? 0) ( x ? 0)

,则当 x ? 0时,f ? g ( x) ? ? (

)

(A) x; ?

(B) x 2 ?

(C) ; x

(D)x 2 .

15、若定义在 ? ??,1? ? ?1, ?? ? 上的函数 y ? f ? x ? 满足 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,且当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ? 2 x ? 3 ,则下列结论中正确的是 x ?1 (A) 存在 t ? R ,使 f ? x ? ? 2 在 ?t ? 1 , t ? 1 ? 恒成立;
? ? 2 2? ?





( B) 对任意 t ? R , 0 ? f ? x ? ? 2 在 ?t ?

? ?

1 1? , t ? ? 恒成立; 2 2?

(C)存在 t ? ? ??,1? ? ?1, ?? ? ,使函数 f ? x ? 取到最小值 f ? t ? ; (D)若函数 f ? x ? 在 ? ?? , t ? 单调递减,则实数 t 的取值范围是 ? ??,

? ?

1? ?. 2?

三、解答题(本大题共 50 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
得分 评卷人

16、 (本题满分 8 分) 已知集合 A ? ? x x 2 ? px ? q ? 0 ? ,

q B ? ? x x 2 ? x ? r ? 0? , 且 A ? B ? ??1? , A ? B ? ??1, 2? ,求 p、 、r 的值.
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第2页

解:

得分

评卷人

17、 (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,每小题满分 6 分。 (1)解不等式: (2)计算: 解: (1)
x2 ?1 1 ? . 2 x ? 5x ? 6 2

2log 7

35 ? 4log 73 ? 2log 10 ? log 4. 7 7 9

(2)

得分

评卷人

18、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2) 小题满分 4 分。 (A 卷题) 已知函数 f ( x ) ? 本题分为(A 卷题)和(B 卷题) ,请考生务必看清自己应答的试题.

x ?1 x ?1

.

(1)作出函数 y ? f ( x) 的大致 图像; (2)写出函数 y ? f ( x) 的 单调区间、最大值或最小值。
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第3页

解: (1)

(2)

(B 卷题)已知函数 f ( x) ? lo g 2 ( x ? 1) .
2

(1)作出函数 y ? f ( x) 的大致图像; (2)写出函数 y ? f ( x) 的单调区间及零点。 解: (1)

(2)

得分

评卷人

19、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,每小题满分 5 分。

虹口区高一年级数学

本试卷共 6 页

第4页

如图,在矩形 ABCD 中, AB ? a , BC ? 1 (a ? 1) , 点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、 CD、DA 上,且有 BE ? BF ? DG ? DH ? x. (1) 将平行四边形 EFGH 的面积 y 表示成 x 的函 数,并写出其定义域; (2)求出平行四边形 EFGH 面积的最大值. 解: (1)

(2)

得分

评卷人

20、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)

小题满分 4 分。

3x ? 1 . 已知函数 f ( x) ? x 3 ?1

(1)试判断函数 f ( x) 奇偶性、单调性(要证明) ,并求出其值域;
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第5页

(2)解不等式: ? 解: (1)

1 13 ? f ( x 2 ? 2 x) ? . 2 14

(2)

虹口区 2012 学年度第一学期高一年级数学学科 期终教学质量监控测试试卷
(考试时间 90 分钟,满分 100 分)
题号 1~10 11~15 16 17 18 19 20

2013.1
总分

虹口区高一年级数学

本试卷共 6 页

第6页

满分

30

20

8

12

10

10

10

100

本试卷共 20 题,部分题目分为(A 卷题)和(B 卷题) .
得分 评卷人

一、填空题(本大题满分 30 分)本大题共 10 题,每题 3 分。 1、 已知集合 A ? ??1, 0, 1? , B ? x x ? x , 则 A ? B ? ________.
2

?

?

?0, 1?
(??, 1) ? (3, ? ?)

2、不等式 x ? 2 ? 1 的解集是_______________. 3、若函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 3 ?log 3 x, x ? 3

, 则 f ( f (9)) ?



5

4、已知条件 p : 2 ? x ? 4, 条件 q : 3k ? 1 ? x ? ?2k , 且 p是q 的充分条件,则实数 k 的取值范围 是 .

? ??, ?2? (由习题册第 9 页第 4 题改编)

5、 “若实数 a、b满足a ? 1且b=3,则a ? b< 5 ” 命题 的逆否命题是 _________________________. 若实数 a、b满足a ? b ? 5,则a ? 1或b ? 3 (由习题册第 7 页第 3 题第(2)小题改编 6、函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ?1 ,x?? , x ?5
3

? 2 ? 的值域是 ?
2



27 ? ? ? 2 2, 5 ? ? ?
. x ? 0, x ? 1, x ? 2

7、 卷题)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 x 的零点是 (A (B 卷题)已知函数 f ( x) ? 5 ? a 的反函数为 y ? f
x ?1

( x) ,若函数 y ? f ?1 ( x) 的图像过

点 (4,1) ,则实数 a 的值为 8、 卷题)已知函数 f ( x) ? 2 (A 是 .
x?a



?1

在区间 ?3,+? ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围

? ??, 3?

(B 卷题)已知函数 f ( x) ? log a (2 ? ax) 在区间 ? 0, 1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 .

?1, 2 ?

9、已知函数 y ? f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,若 f ( x) 在区间 (0, ??) 单调递增,且

虹口区高一年级数学

本试卷共 6 页

第7页

f (3) 0, ? 则不等式

f ( x) ? 0 的解集是 x



? ?3, 0 ? ? ? 0, 3?
. 3

10、函数
得分

f ( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 2 x 2 ? 1 的最大值与最小值的差等于

评卷人

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共 5 题,每题 4 分。 11、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , 集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?3, 4,5? , 则 A ? ?U B ? ( (A) ?1, 2,3, 4, 6? ; (B) ?1, 2,3, 4,5? ; ( C) ?1, 2,5? ; (D) ?1, 2? .

?

?



答: D ( )

12、设 x, ? R, 则“ x ? 2 或 y ? 3 ”是“ x ? y ? 5 ”的 y (A) 充分不必要条件; (C) 充要条件;

( B) 必要不充分条件; ( D ) 既不充分也不必要条件. 答: B (由习题册第 48 页第 2 题第(3)小题改编)

13、设 a, b, c ? R ,则“ abc ? 1 ”是“ a ? b ? c ?
?

1 1 1 ? ? ”的 a b c





(A) 充分不必要条件; (C) 充要条件;

( B) 必要不充分条件; ( D ) 既不充分也不必要条件.

答: A
)

? x 2 , ( x ? 0) ? x, , g ( x) ? ? 2 14、若 f ( x) ? ? ? x, ( x ? 0) ?? x ,
(A) x; ?

( x ? 0) ( x ? 0)

,则当 x ? 0时,f ? g ( x)? ? (

(B) x 2 ; ?

(C) ; x

(D)x 2 .

答:B

15、若定义在 ? ??,1? ? ?1, ?? ? 上的函数 y ? f ? x ? 满足 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,且当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ? 2 x ? 3 ,则下列结论中正确的是 x ?1 (A) 存在 t ? R ,使 f ? x ? ? 2 在 ?t ? 1 , t ? 1 ? 恒成立;
? ? 2 2? ?





( B) 对任意 t ? R , 0 ? f ? x ? ? 2 在 ?t ? 1 , t ? 1 ? 恒成立;
? ? 2 2? ?

(C)存在 t ? ? ??,1? ? ?1, ?? ? ,使函数 f ? x ? 取到最小值 f ? t ? ; (D)若函数 f ? x ? 在 ? ?? , t ? 单调递减,则实数 t 的取值范围是 ? ??, 1 ? . 答:C ? ? 2? ? 三、解答题(本大题共 50 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第8页

得分

评卷人

16、 (本题满分 8 分) 已知集合 A ? ? x x 2 ? px ? q ? 0 ? ,

q B ? ? x x 2 ? x ? r ? 0? , 且 A ? B ? ??1? , A ? B ? ??1, 2? ,求 p、 、r 的值.
(习题册第 11 页第 7 题) 解:由 A ? B ? ??1? 得 ?1? A, ?1? B, 于是 ?

?1 ? p ? q ? 0 ? p ? 1? q ?? ?2 ? r ? 0 ? r ? ?2

(3 分)

B 故由 r ? ?2 得: ? ??1, 2? .
再由 A ? B ? ??1, 2? 得: A ? ??1?, 即知 p ? 2, q ? 1.
得分 评卷人

(5 分) (7 分) (8 分)

17、 (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,每小题满分 6 分。

(1)解不等式:

x2 ?1 1 ? . 2 x ? 5x ? 6 2

(由课本第 40 页例 3 改编)

(2)计算: 2log 7 解: (1)

35 ? 4log 7 3 ? 2log 7 10 ? log 7 4. 9

(习题册第 2 页第 6 题(2) )

x2 ?1 1 x 2? 1 1 x 2? x5 ? 4 ? ? 2 ? ?0? 2 ?0 2 x ? 5x ? 6 2 x ? 5x ? 6 2 x ? 5x ? 6
? ??4 ? x ? 6 ?( x ? 4)( x ? 6) ? 0 ( x ? 1)( x ? 4) ?0?? ?? ( x ? 1)( x ? 6) ?( x ? 1)( x ? 6) ? 0 ? x ? ?1, 且x ? 6
(每步 1 分,共 6 分)

所以原不等式的解集是 ? ?4, ?1? ? ? ?1, 6 ? .

2 (2) 2 log 7 35 ? 4 log 7 3 ? 2 log 7 10 ? log 7 4 ? log ? 35 ? 34 ?10?2 ? 4 ? ? log 7 2 ? 2. ? 7 ? 7 2 9 ? 9 ?

(每次运算 1 分,共 6 分)
得分 评卷人

18、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2) 小题满分 4 分。 (A 卷题) 已知函数 f ( x ) ?

x ?1 x ?1

.
本试卷共 6 页 第9页

虹口区高一年级数学

(1)作出函数 y ? f ( x) 的大致图像; (2)写出函数 y ? f ( x) 的单调区间、最大值或最小值。 (由习题册第 41 页第 4 题改编)

2 ? ?1 ? x ? 1 , x ? ? ??, ?1? ? 解: (1) f ( x) ? ??1 ? 2 , x ? ? ?1, 0 ? (3 分) ? x ?1 ? ?1, x ? ? 0, ? ? ? ? ? 图像如右。 (6 分)
(2)由图可知:函数 f ( x) 在 ? ??, ?1? 单 调递增,在 ? ?1, 0 ? 单调递减; (8 分) (10 分)
2

函数 f ( x) 的最小值为 1,无最大值。 (B 卷题)已知函数 f ( x) ? lo g 2 ( x ? 1) .

(1)作出函数 y ? f ( x) 的大致图像; (2)写出函数 y ? f ( x) 的单调区间及零点. 解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (2 ? ??, ?1? ? ? ?1, 1? ? ?1, ?? ? , 且为偶函数。 分) 作图时,先作出

y ? f ( x), x ? ? 0,1? ? ?1, ?? ?
的大致图像, (4 分) 然后利用对称性,作 x ? ? ??, ? 1? ? ? ?1,0 ? 部分 的大致图像。 (6 分)

(2)由图可知:函数 f ( x) 在 ? ??, ?1? 、0,1? 单调递减,在 ? ?1,0 ?、 ,+? ? 单调递增; 分) (8 ?1 ? 函数 f ( x) 的零点有三个:x ? ?2, x ? 0, x ? 2.
得分 评卷人

(10 分)

19、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,每小题满分 5 分。 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? a , BC ? 1 (a ? 1) , 点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、 CD、DA 上,且有 BE ? BF ? DG ? DH ? x.
虹口区高一年级数学 本试卷共 6 页 第 10 页

(1)将平行四边形 EFGH 的面积 y 表示成 x 的函数,并写出其定义域; (2)求出平行四边形 EFGH 面积的最大值. 解: (1) y ? S矩形ABCD ? 2S?AEH ? 2S?BEF

1 ? ?1 ? a ? 2 ? (a ? x)(1 ? x) ? x 2 ? 2 ? ?2 ? ?2 x 2 ? (a ? 1) x.
2 又 0 ? x ? 1, 故 y ? ?2 x ? (a ? 1) x, (0 ? x ? 1).

(3分)
(5 分)

(2)由于 y ? ?2 x ? (a ? 1) x ? ?2( x ?
2

a ? 1 2 (a ? 1)2 ) ? , (0 ? x ? 1) 4 8
a ?1 4

(6 分)

? ?

当0 ?

a ?1 ? 1,即1 ? a ? 3 时, ymax ? y 4

x?

?

( a ? 1) 2 ; 8
x ?1

(8 分)



a ?1 ? 1, 即a ? 3 时,函数 y在 ? 0, 1? 递增,故 ymax ? y 4

? a ? 1.

因此 ymax

? (a ? 1) 2 , x ? ?1, 3? ? ?? 8 . ? a ? 1, x ? ? 3, ?? ? ?

(10 分)

得分

评卷人

20、 (本题满分 10 分)本题共 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)

小题满分 4 分。

3x ? 1 . 已知函数 f ( x) ? x 3 ?1

(1)试判断函数 f ( x) 奇偶性、单调性(要证明) ,并求出其值域; (2)解不等式: ?

1 13 ? f ( x 2 ? 2 x) ? . 2 14

解: (1)易知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意 x ? R, 有
? x 3x ? 1 3 x ? 1 3 ? 1 ? x 3 1 f ( x)? f (? x)? x ?? x ?x ?x ?即 f (? x) ? ? f ( x). 0, 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3? 1

故 f ( x) 为奇函数。

(2 分)

虹口区高一年级数学

本试卷共 6 页

第 11 页

对于任意 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , 有 3 1 ? 3 2 , 故
x x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3x1 ? 1 3x2 ? 1 2(3x1 ? 3x2 ) ? x2 ? x1 ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ). 3x1 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1)(3x2 ? 1)
(4 分)

因此 f ( x) 在 R 单调递增. 令y?

1? y 3x ? 1 x , 故由 3x ? 0, 知 1 ? y ? 0, 即 ? 1 ? y ? 1. , 则3 ? x 1? y 3 ?1 1? y
(6 分)

故函数 f ( x) 的值域为 (?1, 1). (2)当 f ( x) ? ?

3x ? 1 1 1 1 时, x ? ? ? x ? ?1, 即f (?1) ? ? ; 3 ?1 2 2 2
当 f ( x) ?

13 3x ? 1 13 13 时, x ? ? x ? 3, 即f (3) ? . (8 分) 14 3 ? 1 14 14

故由 ?

1 13 ? f ( x 2 ? 2 x) ? . 得: f (?1) ? f ( x 2 ? 2 x) ? f (3). 2 14

再由 f ( x) 在 R 单调递增,得:

? x 2 ? 2 x ? ?1 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 2 x ? 3 ? ? 2 ?? ?x ? 2x ? 3 ? ?3 ? x ? 1 ?
2

所以原不等式的解集是 ? ?3, ? 1? ? ? ?1, 1? .

(10 分)

虹口区高一年级数学

本试卷共 6 页

第 12 页


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