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射阳县陈洋中学2012年秋学期期中考试高一数学试题


射阳县陈洋中学 2012 年秋学期期中考试高一数学试题
命题人:何乃军 时间:120 分钟 分值:160 分 ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. 1.若集合 M={1,2},P={1,3},则 M∩P 等于 2.函数 y= x ? 1 的定义域为_____▲___. 3.下列四个对应中,从 A

到 B 的映射是_____▲___. ▲

4.已知 f(x)= ?

? x ? 1 ( x ? 1) ,则 f(2)等于 ?? x ? 3 ( x ? 1)

▲ ▲ ▲

5.设指数函数 f ( x) ? (m ? 1) x 是 R 上的减函数,则 m 的取值范围是 6.已知 f ( x) 是 R 上增函数,若 f (a) ? f (1 ? 2a) ,则 a 的取值范围是 7.写出函数 f ( x) ? x ? 1 的单调减区间 8.若函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 2 是偶函数,则 m ? ▲ ▲

9.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1, a, b ? R ,若 f (?2) ? ?1 ,则 f (2) ? 10.已知 f ( x) ?



1 , x ? [1, 3] ,则函数 f ( x) 的最小值为 x

▲ ▲

11.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 12. M ? {1}={1,2,3}的集合 M 的个数是 ▲ 。

13.已知集合 A ?

?x | log2 x ? 2? , B ? (??, a) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c, ??) ,其中 c ?

▲ ▲

14.已知 f(x)是 (??,0) ? (0,?? ) 上偶函数,当 x ? (0,+∞)时,f(x)是单调增函数,且 f (1) ? 0, 则 f ( x ? 1) <0 的解集为 ........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(本小题满分 14 分)设全集 I = {2,3,x + 2x – 3},A = {5}, C I A = {2,y },求 x,y 的值. 16、 (本小题满分 14 分)计算下列各题:
2

?1? ① ? ? ? 81?

?

3 4

3 + 3 ( ?2)

② log3 45 ? log3 5

17、 (本小题满分 14 分)已知集合 A ? ? x 3 ? x ? 6? , B ? ? x 2 ? x ? 9? . (1)求: CR ? A ? B? , ; (2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ,求实数 a 的取值集合 18. (本小题满分 16 分)设 a 是实数, f ( x) ? a ?

?

?

(1)试确定 a 的值,使 f (? x) ? f ( x) ? 0 成立. (2) 求证:不论 a 为何实数, f ( x) 均为增函数;

2 . 2 ?1
x

19.(本小题满分 16 分)某汽车生产企业,上年度生产汽车的投入成本为 8 万元/辆, 出厂价为 10 万元/辆,年销售量为 12 万辆.本年度为节能减排,对产品进行升级换代. 1 若每辆车投入成本增加的比例为 x (0 ? x ≤ ) ,则出厂价相应提高的比例为 0.75 x , 同 2 时预计年销售量增加的比例为 0.5 x . (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;? (2)当投入成本增加的比例 x 为何值时,本年度比上年度利润增加最多?最多为多少?

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x) (a>0,a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并给出证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

射阳县陈洋中学 2012 年秋学期期中考试高一数学答案
1. {1} 2. {x|x≥1 } 11. 2 3(4). 12. 4. 1 (2,1) 5. 1< m <2 13. 4 6. a ?

1 3

7. ( ??, 1) 写成 (??, 1] 也可 8.0 14. (?2,?1) ? (?1,0)

9.3

10

1 3
15、解:∵A

I,∴5∈I,∴x2 + 2x – 3 = 5 即 x2 + 2x – 8 = 0,
…………………………………………………………7 分

解得 x = –4 或 x = 2.

∴I = {2,3,5},∵y∈ C I A ,∴y∈I,且 y ? A,即 y≠5, 又知 C I A 中元素的互异性知:y≠2, ∴y = 3. 综上知:x = –4 或 x = 2;y = 3 为所求. 16.解:① 原式=27-2=25. ② 原式=2 ……………………………14 分

………………………………7 分 …………………………………………14 分

17 解: (1)? A ? B ? x 3 ? x ? 6

?

?

?CR ? A ? B? ? x x ? 3或x ? 6

?

?

……………………………………………………7 分 (2)

?C ? B

?a ? 2 ?? ? ?a ? 1 ? 9 ?

?2 ? a ? 8

……………………………14 分

18.证明: (1)解:由题知, f (? x) ? f ( x) ? 2a ?

a?

) f ( x) 为奇函数,再由 f (0) ? 0 求出 a 的值。 (2)由题知 x ? R ,在 R 任取两个值 x1, x2 ( x1 ? x2 ) ,则 (或先说明

1 1 2? x ? 2x ? 2 ? ? ? 1 ,故 a 的值为 1。 2? x ? 1 2x ? 1 2? x ? 2x ? 2

2 2 ? x ? 0 ,则有 2 ?1 2 ?1
?x

……………………8 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
由 x1 ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
1 2 1 2

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故不论 a 为何实数, f ( x ) 均为增函数。…16 分 19.(1)由题可知,本年度每辆车的利润为 10(1 ? 0.75 x) ? 8(1 ? x) 本年度的销售量是 12(1 ? 0.5 x) ,故年利润

x2 且 y ? 2x 为 R 上的增函数得 2x ? 2x ? 0,(2x ? 1)(2x ? 1) ? 0

y ? 12(1 ? 0.5x)?10(1 ? 0.75x) ? 8(1 ? x)?
? 1? ? ?3x 2 ? 6 x ? 24, x ? ? 0, ? .……………………………………………………8 分 ? 2? (2)设本年度比上年度利润增加为 f ( x ) ,则
? 1? f ( x) ? ( ? 3x2 ? 6 x+24) ? 24 ? ?3( x ? 1)2 ? 3 , 因为 x ? ? 0, ? , ? 2? 1 9 ? 1? 在区间 ? 0, ? 上 f ( x) 为增函数,所以当 x ? 时,函数 y ? f ( x) 有最大值为 . 2 4 ? 2? 1 故当 x ? 时,本年度比上年度利润增加最多,最多为 2.25 亿元 .…………16 分 2

?x+1>0, 20 解 (1)因为? 所以-1<x<1,所以 f(x)的定义域为(-1,1).……5 分 ?1-x>0, (2)f(x) 为 奇 函 数 . 因 为 f(x) 定 义 域 为 ( - 1,1) , 且 f( - x) = loga( - x + 1) - loga(1 + x) = - f(x) , 所 以 f(x) 为 奇 函 数.
……10 分

(3)因为当 a>1 时,f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f(x)>0? 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是(0,1).

x+1 >1,解得 0<x<1. 1-x
……16 分


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