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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体单元检测试题


【红对勾】2016-2017 学年高中数学 第一章 空间几何体单元检测试 题 新人教 A 版必修 2
时间:90 分钟 分值:120 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列关于投影的说法中不正确的是( A.平行投影的投影线是互相平行的 B.中心投影的投影线是互相垂直的 C.线段上的点在中心投影下仍然在线段上 D.平行的直线的中心投影不一定是平行直线 答案:B 2.下列说法中,正确的个数为( ) )

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相 等;③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;④线段的中点在直观图中仍然是线段的 中点. A.1 C.3 解析:①③④正确. 答案:C 3.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物是( ) B.2 D.4

1

解析:根据三种视图的对角线位置关系,容易判断 A 是正确结论. 答案:A

4.如图所示,该直观图表示的平面图形为( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.正三角形

)

解析:直观图中三角形有 2 条边与坐标轴平行,这 2 条边互相垂直. 答案:C 5. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图, 搭成这个几何体的小正方体的 个数是( )

2

A.2 C.4

B.3 D.6

解析:由正视图可知,几何体的最右边有 2 个小正方体,中间和左边各有 1 个小正方体. 答案:C 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12 B.18 C.24 D.30 解析:由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.三棱柱的底面 是一个两直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形,高为 5;截去的锥体的底面是两直角边的长 1 1 1 分别为 3 和 4 的直角三角形, 高为 3, 所以该几何体的体积为 V= ×3×4×5- × ×3×4×3 2 3 2 =24. 答案:C 7.棱台上、下底面面积分别为 16,81,有一平行于底面的截面,其面积为 36,则截面截 得两棱台高的比为( A.1 1 ) B.1 2
3

C.2 3

D.3 4

解析:将棱台还原为棱锥,设顶端小棱锥的高为 h. 两棱台的高分别为 x1,x2,则

? h ?2=16,解得 x =h. ?h+x1? 36 1 2 ? ?
h 3 ? ? 16 ?h+x1+x2?2=81,解得 x2=4h. ? ? x1 2 故 = . x2 3 答案:C 1 8.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式:V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高)( )

A.3 C. 3

B.2 D.1

解析:由图可知,三棱锥的底面为边长为 2 的正三角形,左侧面垂直于底面,且为边长 1 1 1 为 2 的正三角形,所以该三棱锥的底面积 S= ×2× 3,高 h= 3,所以其体积 V= Sh= 2 3 3 × 3× 3=1.故选 D. 答案:D 1 9.若圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 ,则圆锥的体积( 2 )

4

A.缩小到原来的一半 C.不变

B.扩大到原来的两倍 1 D.缩小到原来的 6

解析:设变化前的圆锥的高为 h,底面半径为 r,体积为 V,变化后的圆锥的高为 h′, 1 1 2 2 π r′ h′ r ·2h 4 V′ 3 1 底面半径为 r′,体积为 V′,则 = = 2 = . V 1 r h 2 2 πrh 3 答案:A 10.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三 视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的 体积与原来毛坯体积的比值为( )

A.

17 27

5 B. 9

10 C. 27

1 D. 3
2 2

解析:该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积 V = π ×3 ×2+ π ×2 ×4= 34π (cm ), 原毛坯的体积 V 毛坯=π ×3 ×6=54π (cm ), 被切部分的体积 V 切=V 毛坯-V=54π V切 20π 10 3 -34π =20π (cm ),所以 = = . V毛坯 54π 27 答案:C
3 2 3

11.如图,如果底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,

5

最小值为 b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是( 1 2 A. π r (a+b) 3 C.π r (a+b)
2

) 1 2 B. π r (a+b) 2 D.2r (a+b)
2

解析: 将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为 a+b 的圆柱, 故圆柱被截后 1 2 剩下部分的体积为 π r (a+b). 2 答案:B 32 12.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是 π , 3 那么这个三棱柱的体积是( A.96 3 C.24 3 ) B.16 3 D.48 3

解析: 由球的体积公式可求得球的半径 R=2.设球的外切正三棱柱的底面边长为 a, 高即 a 3 侧棱长为 h,则 h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,有 × =R=2, 2 3 1 3 2 解得 a=4 3.故此三棱柱的体积 V= × ×(4 3) ×4=48 3. 2 2 答案:D

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.如图所示的螺母是由________和______两个简单几何体构成的. 答案:正六棱柱 圆柱 14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

6

解析:由三视图知该几何体是一个底面半径为 r=2,高为 h=4 的圆柱,中间挖去一个 底面边长为 a=2 的正四棱柱,则其体积是 V=π r h-a h=16π -16. 答案:16π -16 15.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是 3 3,则 a=________.
2 2

解析: 由三视图可知几何体是一个三棱柱, 其底面三角形的一边长为 2, 其边上的高为 a, 1 则 V 三棱柱= ×2×a×3=3 3?a= 3. 2 答案: 3 16.如图是一个棱长为 1 的无盖正方体盒子的平面展开图,A,B,C,D 为其上四个点, 则以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥的体积为________.

7

题图

答图

解析:将展开图还原为正方体如图.故以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥的体积 V=VC-ABD 1 ?1 2? 1 1 = ×? ×1 ?×1= ×1= . 3 ?2 6 6 ? 1 答案: 6 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 40 分)

17.(10 分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是 4 cm 与 2 cm,如图所示,俯视图是一个边长为 4 cm 的正方形. (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的外接球的体积. 解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是 4,高是 2,因此该几 何体的表面积是 2×4×4+4×4×2=64 cm 故该几何体的表面积是 64 cm . (2)由长方体与球的性质可得,长方体的对角线是球的直径. 记长方体的对角线为 d,球的半径是 r,d= 16+16+4= 36=6,所以球的半径 r=3. 4 4 3 3 因此球的体积 V= π r = ×27π =36π cm . 3 3 所以外接球的体积是 36π cm . 18.(10 分)把一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,用余下的四 个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与等腰三角形的底边 边长 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.
3 2 2

8

1 解:在 Rt△EOF 中,EF=5 cm,OF= x cm, 2 则 EO= 1 2 1 2 25- x cm,于是 V= x 4 3 1 2 3 25- x cm . 4

依题意,函数的定义域为{x|0<x<10}. 19.(10 分)某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如图),其中正 视图与侧视图为两个全等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图尺寸如图所示(单位 cm).

(1)求出这个工件的体积; (2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是每平方厘米 1 元,现要制作 10 个这样 的工件,请计算喷漆总费用(精确到整数部分). 解:(1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为 4,母线长为 3,设圆锥高为 h,则 h 1 1 2 1 4 5 2 2 3 = 3 -2 = 5,则 V= Sh= π R h= π ×4× 5= π (cm ). 3 3 3 3 (2)圆锥的侧面积 S1=π Rl=6π , 则表面积=侧面积+底面积=6π +4π =10π (cm ), 喷漆总费用=10π ×10=100π ≈314(元). 20.(10 分)已知圆柱 OO1 的底面半径为 2,高为 4. (1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;
2

9

(2)若平行于轴 OO1 的截面 ABCD 将底面圆周截去四分之一,求截面面积; (3)在 (2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求 VⅠ:VⅡ(体积之比). 解:(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是 4π 和 4,则从下底面 出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长 4 1+π .
2

1 (2)连接 OA,OB,因为截面 ABCD 将底面圆周截去 ,所以∠AOB=90°, 4 因为 OA=OB=2,所以 AB=2 2, 而截面 ABCD 是矩形且 AD=4, 所以 SABCD=8 2. (3)依题知 V 圆柱=Sh=16π , 三棱柱 AOB-DO1C 的体积是 8, 1 则 VⅠ+8= V 圆柱=4π ,所以 VⅠ=4π -8, 4 π -2 而 VⅡ=V 圆柱-VⅠ=12π +8,于是 VⅠ:VⅡ= . 3π +2

10


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