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第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【2013 年高考会这样考】 考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用. 【复习指导】 复习时要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系, 这是解排列 组合问题的基 础. 基础梳理 1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类 方案中有 m2 种不同的方法,??

,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成 这件事情共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成 第二步有 m2 种不同的方法,??,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事情共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法. 两个原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始 终. 分类加法计数原理中, 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类, 简单的说分类的标准是“不重不漏,一步完成”.而分步乘法计数原理中,各个 步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这件事的一种方法,简单 的说步与步之间的方法“相互独立,多步完成”. 类比加法与乘法的关系, 在特定的情况下分步乘法计数原理可简化运用分类加法 计数原理的过程. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重复数字 的四位数共有( A.238 个 ). B.232 个 C.174 个 D.168 个 解析 可用排除法由 0,1,2,3 可组成的四位数共有 3×43=192(个), 其中无重复的 3 数字的四位数共有 3A3 =18(个),故共有 192-18=174(个). 答案 C 2.(2010· 广州模拟)已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三 个集合中取出两个集合, 再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个 元素的集合,则一共可以组成多少个集合( A.24 个 B.36 个 C.26 个 ). D.27 个 1 1 1 1 1 解析 C1 4C3+C4C2+C3C2=26,故选 C. 答案 C 3.(2012· 滨州调研)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程 中恰有 1 门相同的选法有( A.6 种 B.12 种 ). C.24 种 D.30 种 解析 分步完成.首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次甲 从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2 =24(种),故选 C. 答案 C 4.(2010· 湖南)在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复) 表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( A.10 B.11 C.12 D.15 ). 解析 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1;若恰有 3 个位置的数字不同的 2 信息个数为 C3 4;若恰有 2 个位置上的数字不同的信息个数为 C4,由分类计数原 2 理知满足条件的信息个数为 1+C3 4+C4=11. 答案 B 5.某电子元件是由 3 个电阻组成的回路,其中有 4 个焊点 A、B、C、D,若

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