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人教版高中数学函数的单调性教案


基础巩固强化 一、选择题 1.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( A.y=2-3x2 1 C.y= x-2 [答案] C [解析] A 中,y′=-6x,当-1<x<0 时,y′>0,当 0<x<1 时, y′<0,故函数 y=2-3x2 在区间(-1,1)上不是减函数,B 中,y=lnx 1 在 x=0 处无意义;C 中,y′=-

<0 对 x∈(-1,1)恒成立,∴ ?x-2?2 1 函数 y= 在区间(-1,1)上是减函数; D 中, y′=cosx>0 对 x∈(- x-2 1,1)恒成立,∴函数 y=sinx 在(-1,1)上是增函数. 2.函数 f(x)=x+lnx 在(0,6)上是( A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 C.在(0,e )上是减函数,在(e,6)上是增函数 1 1 D.在(0,e)上是增函数,在(e ,6)上是减函数 [答案] A 1 [解析] ∵f ′(x)=1+x>0, ∴函数在(0,6)上单调递增. 3. 已知对任意实数 x, 有 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 且当 x>0, 有 f′(x)>0,g′(x)>0,则当 x<0 时,有( A.f′(x)>0,g′(x)>0 ) ) B.y=lnx D.y=sinx )

B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0′,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 [答案] B [解析] 由已知 f(x)为奇函数, g(x)为偶函数. ∵x>0 时, f′(x)>0, g′(x)>0, ∴f(x),g(x)在(0,+∞)上递增. ∴x<0 时,f(x)递增,g(x)递减. ∴x<0 时 f′(x)>0,g′(x)<0. 1 4.(2012· 辽宁文,8)函数 y=2x2-lnx 的单调递区间为( A.(-1,1] C.[1,+∞) [答案] B [解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间.
2 1 2 1 x -1 ∵y=2x -lnx,∴y′=x-x= x (x>0),

)

B.(0,1] D.(0,+∞)

?x -1≤0 令? x ?x>0

2

,得 0<x≤1.

∴函数的单调递减区间为(0,1]. 需要熟记基本初等函数的求导公式,同时注意区间的端点. 5.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π? ? π? ? A.?-π,-2?和?0,2?
? ? ? ?

)

π? ? π ? ? B.?-2,0?和?0,2?
? ? ? ?

π? ?π ? ? C.?-π,-2?和?2,π?
? ? ? ? ? π ? ?π ? D.?-2,0?和?2,π? ? ? ? ?

[答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<-2时, cosx<0,∴y′=xcosx>0, π 当-2<x<0 时,cosx>0,∴y′=xcosx<0. π 当 0<x<2时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. π 当2<x<π 时,cosx<0,∴y′=xcosx<0,故选 A. 6.已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f ′(x)的图象 大致形状是( )

[答案] B [解析] 因为二次函数在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减, 所以其导函数在(-∞,0)上大于 0,在(0,+∞)上小于 0,故选 B. 二、填空题 7.函数 y=x3-x2-x 的单调递增区间为________. 1 [答案] (-∞,-3),(1,+∞) [解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 1 ∴由 y′>0 得,x>1 或 x<-3. 8.若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调减区间为(-1,3),则 b= ________,c=________. [答案] -3 -9 [解析] f′(x)=3x2+2bx+c,
? ? ?f′?-1?=0 ?3-2b+c=0 由条件知? ,即? , ?f′?3?=9 ?27+6b+c=0 ? ?

解得 b=-3,c=-9. 9.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范 围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax≤0 在区间(0,2)内恒 成立,

3 即 a≥2x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 三、解答题 bx 10.讨论函数 f(x)= 2 (-1<x<1,b≠0)的单调性. x -1 [解析] ∵f(x)= bx (-1<x<1,b≠0), x -1
2

?bx?′?x2-1?-bx?x2-1?′ ∴f ′(x)= ?x2-1?2 bx2-b-2bx2 -b?1+x2? = = 2 ?x2-1?2 ?x -1?2 ∵-1<x<1,∴1+x2>0,(x2-1)2>0, ①当 b>0 时,f ′(x)<0,∴函数 f(x)在(-1,1)上单调递减. ②当 b<0 时,f ′(x)>0,∴函数 f(x)在(-1,1)上单调递增. 能力拓展提升 一、选择题 11.若函数 y=f(x)的导函数 在区间[a,b]上是增函数,则函数 y ... =f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )

[答案] A [解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义. ∵导函数 f ′(x)是增函数, ∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选 A. 12.已知函数 f(x)=x3-ax-1,若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 a 的取值范围为( A.a≥3 C.a≤3 [答案] A [解析] ∵f′(x)=3x2-a, 又 f(x)在(-1,1)上单调递减, ∴f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立, 即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立. ∴a≥3x2 在(-1,1)上恒成立, 又 0≤3x2<3,∴a≥3, 经验证当 a=3 时,f(x)在(-1,1)上单调递减. x 13.函数 f(x)=-ex(a<b<1),则( A.f(a)=f(b) ) ) B.a>3 D.a<3

B.f(a)<f(b) C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)的大小关系不能确定 [答案] C -x [解析] f ′(x)=( ex )′ ?-x?′· ex-?-x?· ?ex?′ = ?ex?2 x-1 = ex . 当 x<1 时,f ′(x)<0,∴f(x)为减函数, ∵a<b<1,∴f(a)>f(b). 14.函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f ′(x)的图象可能是 ( )

[答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+ ∞)上单调递减, ∴在(0, +∞)上 f ′(x)≤0, 在(-∞, 0)上 f ′(x)≥0, 故选 D.

二、填空题 15.函数 f(x)=xlnx 的单调减区间为________. 1 [答案] (0,e) [解析] 函数 f(x)定义域为(0,+∞), f′(x)=lnx+1. 1 解 f′(x)<0 得 x<e ,又 x>0, 1 ∴f(x)的减区间为(0,e). 16.已知函数 f(x)= 值范围是________. 1 [答案] (-∞,2) [解析] f′(x)= a?x+2?-ax-1 2a-1 = , ?x+2?2 ?x+2?2 ax+1 在(-2,+∞)上单调递减,则 a 的取 x +2

由题意得 x<-2 时,f′(x)≤0 恒成立, 1 ∴2a-1≤0,∴a≤2. 1 2x+1 1 1 又当 a=2时,f(x)= = , x+2 2 此时,函数 f(x)在(-2,+∞)上不是减函数, 1 ∴a≠2. 1 综上可知,a 的取值范围为(-∞,2). 三、解答题 17.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相

切于点(1,-11). (1)求 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)f′(x)=3x2-6ax+3b. 因为 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)=-12,
? ?1-3a+3b=-11 即? ,解得 a=1,b=-3. ?3-6a+3b=-12 ?

(2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x +1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3; 又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 故当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 18.已知 f(x)=ex-ax-1. (1)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞) 上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. [解析] (1)∵f(x)=ex-ax-1, ∴f′(x)=ex-a. ∵f(x)在 R 上单调递增, ∴ f′(x) = ex - a≥0( 等号只能在有限个点处取得 ) 恒成立,即 a≤ex,x∈R 恒成立. ∵x∈R 时,ex∈(0,+∞),∴a≤0.

(2)f′(x)=ex-a. 若 f(x)在(-∞,0]上是单调递减函数?ex-a≤0 在 x∈(-∞,0] 时恒成立?a≥(ex)max. 当 x∈(-∞,0]时,ex∈(0,1], ∴a≥1.① 若 f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数 ?ex-a≥0 在 x∈[0,+∞)时恒成立?a≤(ex)min. 当 x∈[0,+∞)时, ex∈[1,+∞),∴a≤1.② 由①②知 a=1,故存在 a=1 满足条件.

1.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f ′(x)的图 象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在 ( ) A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于 f ′(x) 图象是过第一、二、三象限的一条直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a(x b 2 b2 b b2 +2a) -4a,顶点(-2a,-4a)在第三象限,故选 C. 2.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是( ) B.第二象限 D.第四象限

[答案] C [分析] 由导函数 f ′(x)的图象位于 x 轴上方(下方),确定 f(x)的 单调性,对比 f(x)的图象,用排除法求解. [解析] 由 f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为 增函数, x∈(0,2)时, f ′(x)<0, f(x)为减函数, x∈(2, +∞)时, f ′(x)>0, f(x)为增函数. 只有 C 符合题意,故选 C. 3.函数 y=x3+ax+b 在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增 函数,则( ) B.a=1,b∈R D.a=-3,b∈R

A.a=1,b=1 C.a=-3,b=3 [答案] D

[解析] f ′(x)=3x2+a,由条件 f ′(1)=0,

∴a=-3,b∈R. 1 4.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程为 y=2x +2,则 f(1)+f ′(1)=________. [答案] 3 1 [解析] ∵切点 M 在切线 y=2x+2 上, 1 5 ∴f(1)=2×1+2=2, 1 1 又切线斜率 k=2,∴f ′(1)=2, 5 1 ∴f(1)+f ′(1)=2+2=3. 4 5 .若函数 y =- 3 x3 + ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围 ________. [答案] a>0 [解析] 4 y′=-4x2+a,若 y=-3x3+ax 有三个单调区间,则方

程-4x2+a=0 应有两个不等实根,故 a>0. 1 1 6.已知 f(x)=3x3+2ax2+ax-2(a∈R).若函数 f(x)在(-∞,+ ∞)上为单调递增函数,求 a 的取值范围. [解析] 因为 f ′(x)=x2+ax+a(a∈R), 由题意知:f ′(x)≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 所以 Δ=a2-4a≤0,所以 0≤a≤4. 故当 0≤a≤4 时,f(x)在 R 上单调递增.


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