南师附中物理竞赛讲义 12.1欧姆定律t

12.1 欧姆定律
一、电阻的大小 1、电阻的计算式（欧姆定律）

R?

U I l S

2、电阻的决定式（电阻定律）

R??

微观解释： 电阻产生的原因，是定向移动的自由电子与原子核碰撞。 长度越长，碰撞概率越大 横截面积越大，碰撞概率越小 3、电阻率与温度的关

系：

? ? ?0 (1 ? ? t )
微观解释： 对于金属：温度高，分子热运动剧烈，碰撞概率大，电阻升高，α 为正值 对于绝缘体：温度高，更多电子挣脱束缚，成为自由电子，电阻降低，α 为负值 二、网络电阻的化简 1、利用电路的对称性进行折叠、翻转、合并拆分 （1）设网络电阻的两端点为 A 和 B。AB 的这根对称轴两侧的对称是“完全对称” 。 可以看成是两条支路并联，因此只需计算一条支路的电阻，并将总电阻除以 2，相当于 将原电路沿 AB 折叠，电阻变粗，电阻值减半。 如果电阻就在对称轴上，相当于是中间一条支路上的电阻，则折叠过程中不受影响 （2）AB 中垂线的两侧具有不完全的对称性。 虽然电阻网络的分布是对称的，但是电路中电势的分布是不对称的，一边高一边低。 由这种不完全的对称性可以得到： <1>中垂线上各点电势相等 ①等电势的点之间，可以用导线任意连接 ②等势点间若存在电阻，则此支路上电流为 0，可将此支路断开 <2>对称的支路上电流大小相等，因此可以将节点处的电路分离 2、利用电路的自相似性进行化简 弄清究竟谁和谁自相似 自相似性一般适用于半无限网络。 注意相似比的大小 3、等效电路 在不改变电路性质的情况下，可以对电路进行变形、翻转，导线可以伸缩移动（节点移 动不能跨过电路元件） ，三维图形可以“压扁”为二维图形。 4、电流注入法

用均匀电阻线做成的正方形回路，如图，由九个相同的小正方形组成．小 正方形每边的电阻均为 r=8 ? ． (1)在 A、 B 两点问接入电池， 电动势 E=5.7V， 内阻不计，求流过电池的电流强度．(2)若用导线连接 C、D 两点，求通过 此导线的电流(略去导线的电阻)．

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电阻丝无限网络如图所示， 每一段金属丝的电阻均为 r， 试求 A、 B 两点间的等效电阻 RAB．

由十二个相同的电阻连接成一个立方体框 电阻的阻值均为 R 问从立方体八个顶点中 顶点测量时立方体的总电阻等于多少？

架，若每个 的任意两个

1. 三个相同的金属圈两两相交地焊接成如图所示的形状， 若每一金属圈的原长电阻 （即它 断开时测两端的电阻）为 R，试求图中 A、B 两点之间的电阻.

A
B 【解析】从图看出，整个电阻网络相对 A、B 两点具有上、下对称性，因此可上、下压 缩成如图所示的等效简化网络，其中 r 为原金属圈长度部分的电阻，即有:

A′
r r r/2 r/2 r r r/2 O r/2 B′

A

B
r=R/4 图网络中从 A 点到 O 点电流与从 O 点到 B 点的电流必相同；从 A′点到 O 点的电流与从
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O 点到 B′点电流必相同.因此可将 O 点断开，等效成图所示简化电路.

A′
r r/2 r r/2 r/2 r B′

A
r

r/2

B
继而再简化成如图所示的电路:

A′ r A
r/2 B 最后可算得: r r/2

B′

（ ? RAB=

2 r

2 ?1 5 ） ? r 5r 12

即有 RAB=5R/48.

如图所示，无限旋转内接正方形金属丝网络由一种粗细一致、材 料相同的金属丝构成，其中每个内接正方形的顶点都在外侧正方 形四边中点上．已知与最外侧正方形边长相同的同种金属丝 A'B' 的电阻为 R0，求网络中： (1)A、C 两端间等效电阻 RAC． (2)E、G 两端间等效电阻 REG．

例1. 如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为 ρ，一连串内接等边三
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角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框 架上 A、B 两点间的电阻为多大？

A

B
RAB 的电 2

从对称性考虑原电路可以用如图所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为

R ? ?? 阻器来代替由无数层 “格子” 所构成的 “内” 三角， 并且电阻是 RAB 这样的， RAB ? Rx ，
因此

R/2

R/2 R/2
B

A

Rx / 2 R/2
R

Rx ? R( R ?

RRx / 2 RRx / 2 ) ? (R ? R ? ) R ? Rx / 2 R ? Rx / 2
7 ?1 1 R ? ( 7 ? 1)a ? 3 3

解此方程得到：

RAB ? Rx ?

如图所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，各小段的电阻为 R，求 A、B 两 点间的等效电阻.若将 A、 B 间的一小段电阻丝换成电阻为 4R 的另一小段电阻丝.试问换后 A、 B 间的等效电阻是多少?

A

B

解析:设想内阻极大的电源加在 A 和地(或无穷远)之间,使由 A 点流进网络的电流为 I， 则 由对称性可知,流过 AB 的电流为

I .假设拆去此电源,在 B 点和地(或无究远)之间加上另一内 4
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阻极大的电源,使由 B 点流出网络的电流强度为 I,由对称性可知,流过 AB 的电流仍为 上述电源同时加上,则由叠加原理可知,流过 AB 的电流为 RAB，所以：

I .若把 4

I I I ? ? .设 AB 间的等效电阻为 4 4 2

I IRAB ? ? R 2 R RAB ? 2
外的其它电阻丝构成的网络的电阻为 R0，则整个电阻可以看成是除 A、B 间电阻丝与 R0 的并联.则:

RAB ?

R0 R R ? R0 ? R 2

R0 ? R
当 A、B 间的一小段电阻丝换成电阻为 4R 时,则:

R ' AB ?

R0 ? 4 R ? 0.8R . R0 ? 4 R

有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所 示．所有六边形每边的电阻均为 R0． (1)求结点 a、b 间的电阻． (2)如果有电流 I 由 a 点流入网络，由 g 点流出网络，那幺流过 de 段电阻的电流 Ide 为多大?

【解析】 （1）设有电流 I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有 I a 流向 c， 有I

/ 3 电流由 /6

/ 6 电流由 c 流向 b.再假设有电流 I / 3 电流由 c 流向 b.

由四面八方汇集 b 点流出， 那么必有 I

电流由 a 流向 c，有 I

将以上两种情况综合，即有电流 I 由 a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知

I ac ?

I I I ? ? 3 6 2 （由 a 流向 c） I I I ? ? 3 6 2 （由 c 流向 b）

I cb ?

因此，a、b 两点间等效电阻
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U AB I ac R0 ? I cb R0 ? ? R0 I I （2）假如有电流 I 从 a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设 RAB ?

I1 ? I 4 ? I 7 ? I A I 2 ? I 3 ? I 5 ? I 6 ? I8 ? I 9 ? I B
应该有

3I A ? 6I B ? I
1 IA 2

因为 b、d 两点关于 a 点对称，所以

? ? I be ? I de

同理，假如有电流 I 从四面八方汇集到 g 点流出，应该有

?? ? I B I de
最后，根据电流的叠加原理可知 1 1 1 ? ? I de ?? ? I A ? I B ? ?3I A ? 6 I B ? ? I I de ? I de 2 6 6

如图， 有一三角形的无穷长 电路其中每个电阻阻值均为 R， 求 AB 间的等效电阻 RAB。

六个外形相同的电阻，用导线如图连接，已知其中五个电阻的阻值 R 均精确地等于 2 ? ，另一个阻值则与 2 ? 有明显的差异．用欧姆表对 图示电路测量三次，就可以找出这个与众不同的电阻．试扼要说明测 量方法和论据．

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三、图像法解非线性电阻问题 “220V，100W”的白炽灯泡 A 和“220V，60W”的 白炽灯泡 B 的伏安特性曲线如图所示。 （1）将两灯泡串联在 220V 的电源上，求两灯泡的实 际功率 （1）将两灯泡并联在 220V 的电源上，求两灯泡的实 际功率

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