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10.1分类计数原理与分步计数原理


10.1 分类计数原理与分步计数原理
教学目标
(一)教学知识点 1.分类计数原理 2.分步计数原理 (二)能力训练要求 1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容;; 2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题; 3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用。 (三)德育渗透目标 要求学生在现实生活中面对复杂的事务和现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进 而拿出完善的处理方案,提高实际的应变能力,从而认识数学知识与现实生活的内在联系及 不可分割性。

教学重点
分类计数原理与分步计数原理

教学难点
正确运用分类计数原理与分步计数原理

教学方法
启发引导式

教具准备
多媒体教室

教学过程
展示幻灯片 1 问题 1 从南阳到北京去旅游,可以乘火车,也可以乘汽车.一天中火车有 3 班,汽车有 2 班. 那么一天中,乘坐这些交通工具从南阳到北京共有多少种不同的走法? 学生思考试答后动画展示
火车1 火车2 火车3 南阳 汽车1 汽车2 北京

从南阳到北京,乘火车有 3 种走法,乘汽车有 2 种走法,且每一种走法都可以从南阳 到北京,所以共有 3+2=5 种不同的走法. 板书原理

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分类计数原理 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法‥‥‥,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N=m1+m2+???+mn 种不同的方法 展示幻灯片 2 注意: 1.首先弄清要完成一件什么事,怎样才算完成这件事; 2.要确定一个分类标准,分类要做到“不重不漏”,即任意完成这件事的两种方法都是不 同的,且完成这件事的每一种方法必属于某一类; 3.各类之间相互独立,且每类里的每种方法都能独立完成这件事; 4.因为各类方法数相加即可得到完成这件事的方法总数,所以分类计数原理又叫加法 原理. 展示幻灯片 3 问题 2 从南阳到海南去旅游,要从南阳先乘汽车到郑州,再于第二天从郑州乘飞机到海南. 一天中从南阳到郑州的汽车有 3 班,从郑州到海南的飞机有 2 班.那么两天中,从南阳到海 南共有多少种不同的走法? 问:两个问题有什么不同? 学生思考试答后动画展示

汽车1 飞机1 南阳 汽车2 郑州 飞机2 海南

汽车3

所有走法: 汽车 1——飞机 1 汽车 2——飞机 1 汽车 3——飞机 1

汽车 1——飞机 2 汽车 2——飞机 2 汽车 3——飞机 2

从南阳到郑州乘汽车有 3 种走法,再从郑州到海南乘飞机有 2 种走法,并且两步依次 完成后,才能到达北京,所以共有 3×2 = 6 种不同的走法

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板书原理 分步计数原理 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不
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同的方法‥‥‥,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2 × ??? × mn 种不同的方法. 展示幻灯片 4 注意: 1.首先弄清要完成一件什么事,怎样才算完成 这件事; 2.确定一个合适的分步标准,注意每个步骤相互依存,缺一不可,只有连续完成每一个 步骤,这件事才算完成; 3.因为每步方法数相乘得到完成这件事的方法总数,所以分步计数原理又叫乘法原理 展示幻灯片 5

两个原理的比较:
1.共同点: 都是计数原理,即统计完成某件事不同方法种数的原理,因此都要先弄清是怎样一件 事,如何才算完成这件事. 2.不同点: 分类计数原理中的 n 类办法相互独立, 且每类里的每种方法都可独立完成该事件; 分步计数原理中的 n 个步骤缺一不可,每一步都不能独立完成该件事,只有这 n 个步 骤都完成之后,这件事才算完成. 典题共研 展示幻灯片 6 例 1.书架的第一层放有 4 本不同的计算机书,第二层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层 放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? 解: (1)从书架上任取 1 本书,有 3 类办法: 第 1 类办法是从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种取法; 第 2 类办法是从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种取法; 第 3 类办法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种取法. 根据分类计数原理,不同取法的种数是: N=m1+m2+m3= 4+3+2=9 答:从书架上取 1 本书有 9 种不同的取法. (2)从书架的 1、2、3 层各取 1 本书,分 3 个步骤完成: 第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种取法; 第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种取法; 第 3 步从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种取法.
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根据分步计数原理,不同取法的种数是: N=m1×m2 × m3=4×3×2=24 答:从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有 24 种不同的取法. 板书用两个原理解题的步骤 用两个原理解题的步骤 第一步:指明要完成一件什么事,并依事件特点确定是分“n 类”还是分“n 步” ; 第二步:求每 “类”或每“步”中不同方法的种数; 第三步:利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数; 第四步:作答. 展示幻灯片 7 例 2.集合{1,2,3}有多少个子集? 解:要得到{1,2,3}的子集,按子集中元素的个数分 4 类: 第一类是 0 元子集: Ф 共 1 个; 第二类是 1 元子集: {1},{2},{3}共 3 个; 第三类是 2 元子集: {1,2},{1,3},{2,3} 共 3 个; 第四类是 3 元子集: {1,2,3} 共 1 个. 根据分类计数原理子集共有 N=1+3+3+1=8 答:集合{1,2,3}共有 8 个子集. 解 2:分析:要得到集合{1,2,3}的子集,可由集合中的三个元素 1,2,3 选取而得到, 不同的选取方法得到不同的子集,而每个元素都有被选取和不被选取两种可能,因此确定 集合{1,2,3}的子集按依次选取 1,2,3 分三个步骤. 解:要得到集合{1,2,3}的子集,分三个步骤: 第一步 1 的选取,有 2 种; 第二步 2 的选取,有 2 种, 第三步 3 的选取,有 2 种, 依据分步计数原理,不同的选取方法种数是: N=2×2×2=8 答:集合{1,2,3}有 8 个子集 n 思考问题:集合{1,2,3, · · ·,n}有多少个子集?(2 个) 评析:两个原理是我们解决复杂计数问题的工具,要善于从不同角度进行分析和研究. 展示幻灯片 8 例 3. 如图是广场中心的一个大花坛,国庆期间要在 A、B、C、D 四个区域摆放鲜花, 有 4 种不同颜色的鲜花可供选择,规定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花,相邻区域鲜花颜 色不同,问共有多少种不同的摆花方案? 解:给图中四个区域摆放鲜花,有 4 类办法: 第 1 类四个区域鲜花颜色全不相同,依 A、B、C、D 的顺序依次摆 B 放,共有 4×3×2×1=24 种; 第 2 类 AC 同色,BD 不同色,共有 4×3×2=24 种; C 第 3 类 BD 同色,AC 不同色,共有 4×3×2=24 种; 第 4 类 AC 同色,BD 同色,共有 4×3=12 种. 依据分类计数原理,共有不同的摆花方案种数为:
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A D

N=24+24+24+12=84 答:共有 84 种不同的摆花方案 评析:解决复杂计数问题时,两个原理一般都是联合运用的,有时“类”里有“步” , 有时“步”里有“类”. 展示幻灯片 9 随堂练习 P86 1 填空: (1)一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人会第一种方法完成,另有 4 人会用第 2 种 方法完成,从中选出 1 人来完成这件工作,不同的选法的种数是 9 . (2)从 A 村去 B 村的道路有 3 条, B 村去 C 村的道路有 2 条, A 村经 B 村去 C 村, 从 从 不同走法的种数是 6 . 2.现有高中一年级的学生 3 名,高中二年级的学生 5 名,高中三年级的学生 4 名. (1)从中选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?12 (2)从 3 个年级各选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?60 3.把( a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4+b5) (c1+c2+c3+c4)展开后不合并时共有多少项?60 展示幻灯片 10 思考与练习 1.集合 A={1,2,3},B={a,b,c,d},求从 A 到 B 可建立 43 个映射? 2.电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱, 其中存放着前后两次竞猜中成绩优秀的 观众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖决定幸运观众,若先确 定 1 名幸运之星,再从两信箱中各确定 1 名幸运伙伴,有多少种不同的结果?28800 展示幻灯片 11 回顾小结 1.分类计数原理 2.分步计数原理 3.两个原理的比较 4.用两个原理解题的步骤 布置作业 P87 习题 10.1 1,2,3 题

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