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中学难题选


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、我市一所农村初级中学,常常因为不能及时给水塔注水而停水。小明知道后,想利用图中所示 的器材设计一个自动注水装置。A 是浮子(重约 5N),B 是金属触头(重约 10 牛),C 为水塔上的阿柱 形蓄水池,M 是带水泵的电动机,D 是弹簧,E 是衔铁,F 是电磁铁,K1、K2 分别为触头开关。

(1)请你写出该装置涉及的主要物理知识。

(2)连接电路图。 (3)设计时,需要知道浮子的最小体积,请你帮助他完成这项工作。 (4)若设计要求在 10 分钟内要注满蓄水池,那么,还需要知道或测量哪些物理量,才能得到相匹配电 动机的额定功率?请你用字母表示这些物理量,推导出电动机的额定功率的表达式,。在你的计算过程 中,运用了什么近似条件? (5)按设计要求,小明将设备组装调试,投入使用。几天后,学校又停水了,检察发现:水塔已无水了, 但电路连接无误,电动机、水泵完好无损。请你分析该装置没有实现自动注水的原因,怎样改近?

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1、(1)浮力(阿基米德原理)、电流的磁场(电磁继电器)、电磁铁的应用、杠杆、欧姆定律。 (2)如图

(3)解:由图知,浮子上浮接通电路必须满足:



由阿基米德原理可得



所以浮子的最小体积应大于

才能满足设计要求。

(4)要知道水的密度

,测出蓄水池的半径 R、池高

和蓄水池距井水面的高度

电动机抽水时,通过电动机做功,把电能转化为机械能。

又∵





运用的近似条件:电动机工作时,电能全部转化为机械能(或忽略能量损失) (5)没有实现自动注水的原意是:放水后电动机仍不工作,高压电路断路,说明电磁铁芯是钢性材料, 磁化后不退磁,衔铁仍然被吸引,高压电路未接通。 改进的方法:把电磁铁芯换用软铁材料的铁棒。

23,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,点 E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,AE=GF=GC. (1)求证:四边形 AEFG 是平行四边形 (2)当∠FGC=2∠EFB,求证:四边形 AEFG 是矩形
1) GF=GC,AB=DC 所以:∠GFC=∠B=∠C 所以:GF 平行 AB,又 AE=GF 所以:AGFC 为平行四边形 2) ∠GFC+∠EFB =1/2(180° -∠FGC)+∠EFB

=90° -∠EFB+∠EFB =90° 所以: ∠EFG=180° -∠GFC-∠EFB=90°

所以 AGFC 为矩形

24 如图 在梯形 ABCD 中,AD‖BC,对角线 BD 平分∠ABC,∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E,F,G 分别是 AB,AD 的中点
1.求证:EF=EG 2.当 BE 与 EC 满足什么数量关系时,四边形 CDGE 为平行四边形?并说明理由。

(第一问可以不用说了
(1) 因为 AD‖BC, 所以∠ADB=∠DBC 又因为∠ABD=∠DBC 所以∠ADB=∠ABD, 所以△ABD 为等腰三角形,即 AD=AB, 因为 F,G 分别是 AB,AD 的中点 所以 AF=AG,而∠BAE=∠EAD, 所以△AEF 和△AEG 为全等三角形 所以 EF=EG (2)

当 AB=2EC 时,EG‖CD 因为 AD‖BC,也即 GD‖EC 所以,当 GD=EC 时,图形 GECD 为平行四边形,即 EG‖CD 因为 GD=1/2AD,所以 EC=1/2AD, 而 AD=AB, 所以,当 EC=1/2AB 时,也即 AB=2EC 时,EG‖CD

27 如图,在梯形 ABCD 中,AB 平行 DC,DB 平分∠ADC,过点 A 作 AE 平行 BD,交 CD 的延长线于点 E,且∠C=2∠E
1)求证:梯形 ABCD 是等腰梯形。

(2)若∠BDC=30°,AD=5,求 CD 的长
解: 1、∵BD‖AE ∴∠E=∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠BDC=∠BDA=1/2∠ADC ∵∠C=2∠E ∴∠C=2∠BDC=∠ADC ∴梯形 ABCD 为等腰梯形 2、∵∠BDC=30° ∠C=2∠BDC ∴∠C=60° ∴∠CBD=90° ∴△CBD 为直角三角形,∠BDC=30° (梯形两底角相等则为等腰梯形)

∴CD=2BC=2AD=2×5=10

在四边形 ABCD 中,点 E,点 F 是 AD,BC 的中点,G,H 是 BD,AC 的中点,AB,CD 满足什么条件时,四边形 EGFH 是

菱形?
当 AB=CD 时,四边形 EGFH 是菱形 证明: 因为 E、H 分别是 AD、AC 的中点 所以 EH 是△ACD 的中位线 所以 EH//CD 且 EH=CD/2 同理可证 GF//CD 且 FG=CD/2 所以 EH//GF 且 EH=GF 所以四边形 EGFH 是平行四边形 因为 EG 是△ABD 的中位线 所以 EG=AB/2 因为 AB=CD 所以 EH=EG 所以根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得: 四边形 EGFH 是菱形

如图,在三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,点 F 在 DE 上,并且 AF=CE

1)求证:四边形 ACEF 是平行四边形; (2)当∠B 的大小满足什么条件时,四边形 ACEF 是菱形?证明你的结论。

(3)四边形 ACEF 有可能是正方形吗为什么?
证明:1)∵∠ACB=90° ∴AC⊥BC,DE 是 BC 的垂直平分线 ∴DE⊥BC,BE=CE ∴FE//AC ∴BE=AE,∠AEF=∠EAC ∵AF=CE ∴AF=AE=EC=BE ∴∠AEF=∠AFE=∠EAC=∠ECA ∴∠FAE=∠AEC ∴AF//EC ∵EF=AC ∴四边形 ACEF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)检举 回答人 的补充 2009-07-02 15:35 解:∠B=30° 时,四边形 ACEF 是菱形,证明如下: 四边形 ABCD 为菱形,则:AC=EC=AE ∴∠EAC=60 度, ∴∠B=30° 3.不可能,理由如下: 若 ACEF 有可能是正方形,则∠ECA=90° 则 DE 就不会是 BC 的垂直平分线(方法二过 A 作 AG⊥DF ∵DE⊥BC,∠ACB=90° ∴四边形 ACDG 是矩形 则有 AC=DG,AG=CD,AC‖DF ∵AF=CE △AFG≌△CED ∴FG=ED ∴FG+GE=GE+ED,即 EF=DG=AC 又∵AC‖EF

∴四边形 ACEF 是平行四边形 (对边平行且相等的四边形是平行四边形)) 证明 2. 角 B=30 度时,四边形 ACEF 是菱形。 角 BAC=60 度, 由 1 得 CE=AE, 三角形 AEC 等边, ED=AC, 四边形 ACEF 是菱形。 证明 3.四边形 ACEF 有不可能是正方形。

如果 ACEF 是正方形,角 ACE=90 度,E 在 BC 上,又 E 是 BC 垂直平分线与 AB 的交点, 不可能与 D 重合。所以四边形 ACEF 有不可能是正方形。

已知△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC 交 B 于 D 点、在线段 AD 上任取一点 P,过 P 点作 EF∥AB,,分别交 AC,BC 于 E,F 点, PM∥AC,并 AB 于 M 点连接 作 ME 1、 求证:四边形 AEPM 为菱形 2、 当 P 点在何处时,菱形 AEPM 的面积为四边形 EFBM 的面积一半

(1)证明∵EF//AB,PM//AC, ∴四边形 AEPM 为平行四边形, ∴∠PAM=∠EPA, 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠PAE=∠PAM ∴∠PAE=∠EPA, ∴AE=EP, ∴平行四边形 AEPM 为菱形

(2)解:∵平行四边形 AEPM 为菱形, ∴AP⊥EM, 又∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AD⊥BC, ∴EM//BC,∴四边形 EFBM 为平行四边形 要使菱形 AEPM 的面积为平行四边形 EFBM 面积的一半, 因为两个平行四边形的高相等,所以 BM=2AM 设 AP 与 EM 交于点 N,∵EM//BC,

即点 P 在线段 AD 的 2/3 处时,菱形 AEPM 的面积为四边形 EFBM 面积的一半。

如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,M,N,E,F 分别为 AD,BC,BD,AC 的中点,求证:四边形 MENF 为菱形

因为 M,N,E,F 分别为 AD,BC,BD,AC 的中点 所以 ME=0.5AB=FN,MF=0.5CD=EN 因为 AB=CD 所以 ME=FN=EN=MF

所以四边形 MENF 为菱形
如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E,F,G,H 分别为 AD,BC,BD,AC 的中点,求证:四边形 MENF 为菱形

因为 E,F,G,H 分别为 AD,BC,BD,AC 的中点 所以 EG=0.5AB=FH,EH=0.5CD=FG 因为 AB=CD 所以 ME=FN=EN=MF

所以四边形 MENF 为菱形

1 三角形 ABC 中,D`E`F 分别是 AB,AC,BC 上的中点,求证:四边形 DECF 是平行 四边形

1)三角形 ABC 中,D`E`F 分别是 AB,AC,BC 上的中点,求证:四边形 DFCE 是平 行四边形 2)CG 是三角形的高,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 上的中点,求证:FG=DE 证明: (1)∵D`E`F 分别是 AB,AC,BC 上的中点 ∴DE,DF 三角形的中位线( 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的 一半 。 三角形两边中点的连线(中位线)平行于第 BC 边,且等于第三边的一 半。) ∴DE‖BC,DF‖AC ∴四边形 DFCE 是平行四边形(两组对边互相平行的四边形是平行四边形) (2)∵CG 是三角形的高 ∴三角形 BCG 直角三角形 又∵BF=FC ∴GF=FC 又∵四边形 DFCE 是平行四边形 ∴DE=FC ∴GF=DE

三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 。 三角形两边中点的连线(中位线)平行于第 BC 边,且等于第三边的一半。

如图,已知△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 两边中点。 求证 DE 平行且等于 BC/2 法一: 过 C 作 AB 的平行线交 DE 的延长线于 F 点。 ∵CF∥AD ∴∠A=∠ACF ∵AE=CE、∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴DE=EF=DF/2、AD=CF ∵AD=BD ∴BD=CF ∴BCFD 是平行四边形

∴DF∥BC 且 DF=BC ∴DE=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立 法三:坐标法: 设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2) 这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^ 2 最后化简时将 x3,y3 削掉正好中位线长为其对应边长的一半

如图所示,锐角三角形 ABC 中,BE,CF 是高,点 M,N 分别为 BC,EF 中点,求证 MN 垂直 EF

证明: 连接 ME,MF ∵CF,BE 都是△ABC 的高 ∴CF⊥AB,BE⊥AC ∴△BCF,△BCE 都是直角三角形 ∵M 是 BC 中点 ∴MF=0.5BC,ME=0.5BC[直角三角形斜边中线等于斜边一半] ∴ME=MF ∴△EFM 是等腰三角形 ∵N 是 EF 中点 ∴NM⊥EF[等腰三角形的三线合一]

已知:如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,BE 垂直 DE 于 E.

求证:AE 垂直于 CE.

证明: 连接 OE ∵ABCD 是矩形 ∴AC=BD,OA=OC,OB=OD ∵∠BED=90° ∴OE=1/2BD(直角三角形斜边中线等于斜边一半) ∴OE=1/2AC ∴∠AEC =90° (如果一个三角形一边中线等于这边一半,这个三角形是直角三角形)

∴AE⊥CE

如图所示,在三角形 ABC 中,角 A=90 度,AB=AC,D 为 BC 的 中点.E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BE=AF.试说明:三角形 DEF 为 等腰直角三角形.

圆的定义〗 几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为 圆心,定长称为半径。 轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆 周,简称圆。 集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗

圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是 3.141592653589793 23846…,通常用 π 表示,计算中常取 3.1416 为它的近似值。 圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧, 小于半圆的弧称为劣弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直 径。 圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边 分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角 形的外心。 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆, 其圆心称为内心。 扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是 一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系:以点 P 与圆 O 的为例(设 P 是一点,则 PO 是点到圆心的 距离),P 在⊙O 外,PO>r;P 在⊙O 上,PO=r;P 在⊙O 内,PO<r。 直线与圆有 3 种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交;圆与直线 有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。以 直线 AB 与圆 O 为例(设 OP⊥AB 于 P,则 PO 是 AB 到圆心的距离):AB 与 ⊙O 相离,PO>r;AB 与⊙O 相切,PO=r;AB 与⊙O 相交,PO<r。 两圆之间有 5 种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫 内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共 点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为 R 和 r,且 R ≥r,圆心距为 P:外离 P>R+r;外切 P=R+r;相交 R-r<P<R+r;内切 P=R-r; 内含 P<R-r。 【圆的平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗 圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是 中心对称图形,其对称中心是圆心。 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分 弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两条弧,两条弦中有一组量 相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90 度的圆周角所对的弦是直径。 〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分 线的交点, 到三角形三个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的 交点,到三角形三边距离相等。 〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线, 是这个圆的切线。 切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切 点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等。 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长 C=2πr=πd 2.圆的面积 S=πr&sup2; 3.扇形弧长 l=nπr/180 4.扇形面积 S=nπr&sup2;/360=rl/2 5.圆锥侧面积 S=πrl 【圆的解析几何性质和定理】 〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点 O(a,b)为圆心,以 r 为半径的 圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方 程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实 D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^ 2。 圆的离心率 e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是 r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内,直线 Ax+By+C=0 与圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 的位置关系判断一般方 法是: 1.由 Ax+By+C=0,可得 y=(-C-Ax)/B,(其中 B 不等于 0),代入 x^2+y^ 2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于 x 的一元二次方程 f(x)=0。利用判别式 b^24ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果 b^2-4ac>0,则圆与直线有 2 交点,即圆与直线相交。 如果 b^2-4ac=0,则圆与直线有 1 交点,即圆与直线相切。 如果 b^2-4ac<0,则圆与直线有 0 交点,即圆与直线相离。 2.如果 B=0 即直线为 Ax+C=0,即 x=-C/A,它平行于 y 轴(或垂直于 x 轴), 将 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令 y=b,求出此时的 两个 x 值 x1、x2,并且规定 x1<x2,那么: 当 x=-C/A<x1 或 x=-C/A>x2 时,直线与圆相离; 当 x1<x=-C/A<x2 时,直线与圆相交;

半径 r,直径 d 嘻!有点多,没关系,找一找总会有的。

过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、 直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对 的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一 半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平 分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么 交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形 关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那 么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角 线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的

72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称 中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷ S=L×h 2 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c± d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对 应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成 比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边 与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对 的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角 三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线 L 和⊙O 相交 d<r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d>r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等 134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r) ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含 d<R-r(R>r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180° /n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360° ,因此 k×(n-2)180° /n=360° 化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=n 兀 R/180 145 扇形面积公式:S 扇形=n 兀 R^2/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) (还有一些,大家帮补充吧) 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷ 2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷ 3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b)

S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a 边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2· sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D-对角线长 α-对角线夹角 S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a 边的高 α-两边夹角 S=ah =absinα 菱形 a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2 =a2sinα 梯形 a 和 b-上、下底长 h-高 m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh 圆 r-半径 d-直径 C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形 l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数 S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2· [r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环 R-外圆半径 r-内圆半径

D-外圆直径 d-内圆直径 S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴 S=πDd/4 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 棱台 S1 和 S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积 S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长 S 底—底面积 S 侧—侧面积 S 表—表面积 C=2πr S 底=πr2 S 侧=Ch S 表=Ch+2S 底 V=S 底 h =πr2h 空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径 h-高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3 圆台 r-上底半径 R-下底半径

h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径 d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径 a-球缺底半径 V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台 r1 和 r2-球台上、下底半径 h-高 V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π2Rr2 =π2Dd2/4 桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 ======================= 添辅助线有二种情况: (1)按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为 90° , 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍, 证角的倍半关系也可类似添辅助线 ………… (2)按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们 把它叫做基本图形,添辅助线 往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应 该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。 举例如下: 平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直 线 等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。 出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;

出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要 线段的基本图形。 直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线 出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中 线得直角三角形斜边上中线基本图形。 三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点 没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添 倍线段的平行线得三角形中位线基本图形。 当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点, 则可过带中点线段的端 点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 全等三角形: 全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等 如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对 称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。 当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添 加中心对称形全等三角形加以证明, 添加方法是将四个端点两两连结或过二端点 添平行线 ………… 特殊角直角三角形 当出现 30,45,60,135,150 度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用 45 角直角三角形三边比为 1:1:√2;30 度角直角三角形三边比为 1:2:√3 进行 证明 半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点,添 90 度的圆周角 出现 90 度的圆周角则添它所对弦---直径


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