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新课程高中数学测试题组(必修1)全套含答案 (1)


(数学 1 必修)第一章(上)
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 C.接近于 0 的数 B.等于 2 的数 D.不等于 0 的偶数 ) )

集合

2.下列四个集合中,是空集的是( A. {x |

x ? 3 ? 3}
2


B. {( x, y ) |
2

y 2 ? ? x 2 , x, y ? R}


C. {x | x ? 0} D. {x | x 3.下列表示图形中的阴影部分的是( A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C 4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ;

? x ? 1 ? 0, x ? R}
A B

C

(2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x
2

1 ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? ,1? ;
) D. 3 个 B. 1 个 C. 2 个

其中正确命题的个数为( A. 0 个 5.若集合 M 则△

? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,
) B.直角三角形 D.等腰三角形 )

ABC 一定不是(

A.锐角三角形 C.钝角三角形 6.若全集 U A. 3 个 二、填空题

? ?0,1, 2,3? 且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有(
B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个

1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ? (3)

5 ______ N ,

16

______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CRQ ( e 是个无理数) 2
2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q

?

?

2. 若集合 A ?

? x | x ? 6, x ? N ? , B ? {x | x是非质数} , C ? A ? B ,则 C 的
1

非空子集的个数为 3.若集合 4.设集合



A ? ? x | 3 ? x ? 7? , B ? ? x | 2 ? x ? 10? ,则 A ? B ? _____________.

A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1} ,且 A ? B ,


则实数 k 的取值范围是 5.已知

A ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , B ? ? y y ? 2 x ? 1? ,则 A ? B ? _________。

?

?

三、解答题

1.已知集合

8 ? ? A ? ?x ? N | ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ? ?

2.已知

A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , B ? A ,求 m 的取值范围。

3.已知集合

A ? ?a 2 , a ? 1, ?3? , B ? ?a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 1? ,若 A ? B ? ??3? ,

求实数 a 的值。

4









U ?R



M ? ?m | 方程mx 2 ? x ? 1 ? 0有实数根?



N ? ?n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实数根? , 求 ? CU M ? ? N .

2

(数学 1 必修)第一章(上)
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合

集合

?y | y ? x

2

? 1 与集合 ??x, y ? | y ? x 2 ? 1?是同一个集合;

?

(3) 1,

3 6 1 , , ? , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合

??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R?是指第二和第四象限内的点集。
B. 1 个 B. ?1 C. 2 个 C. 1 或 ?1 D. 3 个 ) D. 1 或 ?1 或 0

A. 0 个 2.若集合 A. 1 3.若集合 M A. M 4.方程组 ?

A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为(
? ?( x, y ) x ? y ? 0? , N ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 0, x ? R, y ? R
B.

?

? ,则有(
?N ??



?N ?M

M ?N ? N


C.

M ?N ?M

D. M

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

的解集是(

A.

? 5, 4 ?
?

B.

?5,?4?

C. )

??? 5,4??
?

D.

??5,?4??。

5.下列式子中,正确的是( A. R

?R

B. Z

? ?x | x ? 0, x ? Z ?

C.空集是任何集合的真子集 6.下列表述中错误的是( A.若 )

D. ? ?

???
? B,则A ? B

A ? B, 则A ? B ? A

B.若 A ? B D. CU

C. ( A ? B) 二、填空题

A

( A ? B)

? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ?

1.用适当的符号填空 (1) (2)

? 3 ______ x | x ? 2?, ?1,2? ____??x, y ? | y ? x ? 1?
2 ? 5 _______ x | x ? 2 ? 3

?

?,

(3) ? x |

? ?

1 ? ? x, x ? R ? _______ ? x | x3 ? x ? 0? x ?
3

2.设 U 则a

? R, A ? ?x | a ? x ? b?, CU A ? ?x | x ? 4或x ? 3?
。 ? __________ b ? __________ _,

3.某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐, 则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 4.若 人。 。

A ? ?1, 4, x? , B ? ?1, x 2 ? 且 A ? B ? B ,则 x ?

5.已知集合

A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围




若至少有一个元素,则 a 的取值范围 三、解答题 1.设

y ? x 2 ? ax ? b, A ? ? x | y ? x? ? ?a? , M ? ?? a, b ?? , 求M

2.设

A ? {x x 2 ? 4 x ? 0}, B ? {x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,

如果

A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

3.集合 满足

A ? ? x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0?

A ? B ? ? , , A ? C ? ? , 求实数 a 的值。

4.设 U

? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0? ;
A) ? B ? ? ,求 m 的值。

若 (CU

4

(数学 1 必修)第一章(上)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X )

集合

D. ?0? ? X

2. 50 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人,

2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( A. 35 B. 25 C. 28 D. 15
3.已知集合



A ? x | x 2 ? mx ? 1 ? 0 , 若A ? R ? ?, 则实数 m 的取值范围是(

?

?



A. m ?

4

B. m ?

4

C. 0 ? m ? 4

D. 0 ? m ? 4

4.下列说法中,正确的是(



A. 任何一个集合必有两个子集; B. 若

A ? B ? ? , 则 A, B 中至少有一个为 ?
A ? B ? S, 则 A ? B ? S,


C. 任何集合必有一个真子集; D. 若 S 为全集,且

5.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( (1)若 (2)若

A ? B ? ? , 则?CU A? ? ?CU B ? ? U A ? B ? U , 则?CU A? ? ?CU B ? ? ?

(3)若

A ? B ? ?,则A ? B ? ?
B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )

A. 0 个

6.设集合 M ? {x | x ? A. M

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( 4 2 2 4

?N

B. M

N

C. N

M

D. M

? N ??


7.设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则集合 A. 0 二、填空题 1.已知 M 则M B.

A? B ? (

?0?

C. ?

D.

??1, 0,1?
2

? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R

?

?, N ? ?y | y ? ? x

? 2 x ? 8, x ? R

?

。 ? N ? __________

2.用列举法表示集合:

M ? {m|

10 ? Z , m ? Z} = m ?1
5



3.若 I

? ? x | x ? ?1, x ? Z ? ,则 C I N =

。 。

4.设集合

A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2,3? , C ? ?2,3, 4? 则 A ? B) C ? ( ?

5.设全集 U

? y?2 ? ? ?( x, y ) x, y ? R? ,集合 M ? ?( x, y ) ? 1? , N ? ?( x, y ) y ? x ? 4? , x?2 ? ?

那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于________________。 三、解答题 1.若

A ? ?a, b?, B ? ?x | x ? A?, M ? ?A?, 求C B M .

2.已知集合 且C

A ? ? x | ?2 ? x ? a? , B ? ? y | y ? 2 x ? 3, x ? A? , C ? ? z | z ? x 2 , x ? A? ,

? B ,求 a 的取值范围。

3.全集 S

? ?1,3, x3 ? 3 x 2 ? 2 x? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的

实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。

4.设集合

A ? ?1, 2,3,...,10? , 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。

6

(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3 ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ; y1 ?
⑶ ⑷

f ( x) ? x , g ( x ) ?
f ( x) ? 3 x 4 ? x 3
B.⑵、⑶

x2



, F ( x) ?

⑸ f 1 ( x) ? ( 2 x ? 5 ) 2 , A.⑴、⑵ 2.函数 A. 1 3.已知集合 和

x 3 x ?1 ; f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。
C.⑷ D.⑶、⑸ )

y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是(
B. 0 C. 0 或 1

D. 1 或 2

A ? ?1, 2,3, k ? , B ? ?4, 7, a 4 , a 2 ? 3a? ,且 a ? N * , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1
) D. 2,5

A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为(
B. 3, 4 C. 3,5

A. 2,3

4.已知

? x ? 2( x ? ?1) ? f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
B. 1 或



A. 1 5.为了得到函数

3 2

C. 1 ,

3 或? 3 2

D.

3


y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是(

A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位

1 个单位 2 1 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2
B.沿 x 轴向右平移 )

6.设

? x ? 2, ( x ? 10) f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)], ( x ? 10 )
B. 11 C. 12 D. 13

A. 10 二、填空题

7

1.设函数

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0), ? f ( x) ? ? 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 ?1 ( x ? 0). ?x ?



2.函数

y?

x?2 的定义域 x2 ? 4



3.若二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2,0), B(4,0) ,且函数的最大值为 9 ,


则这个二次函数的表达式是 4.函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是_____________________。

5.函数

f ( x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________。

三、解答题

1.求函数

f ( x) ?

3

x ?1 的定义域。 x ?1

2.求函数

y ? x 2 ? x ? 1 的值域。

3. x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x 求

2

? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x12 ? x2 2 ,

y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域。

4.已知函数

f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。

8

(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设函数

f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是(
B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 7



A. 2 x ? 1 2.函数

f ( x) ?

A. 3

cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3



1? x2 1 3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 2 x
A. 15 4.已知函数 B. 1 C. 3 D. 30



y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2 , 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是( 5 A. [ 0, ] B. [ ?1, 4] C. [ ?5,5] D. [ ?3, 7] 2
y ? 2 ? ? x2 ? 4x
的值域是( ) D. [? ) D. ? A. [?2, 2]



5.函数

B. [1, 2]

C. [0, 2]

2, 2]

6.已知 f ( A.

1 ? x 1 ? x 2 ,则 f ( x) 的解析式为( )? 1 ? x 1 ? x2
B. ?

x 1? x2

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

x 1? x2

二、填空题

1.若函数

?3x 2 ? 4( x ? 0) ? ,则 f ( f (0)) = f ( x) ? ?? ( x ? 0) ?0( x ? 0) ?
f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) =
.



2.若函数

3.函数

f ( x) ? 2 ?

1 x ? 2x ? 3
2

的值域是



4.已知

?1, x ? 0 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0



5.设函数

y ? ax ? 2a ? 1 ,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围



三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4 x
2

? 4mx ? m ? 2 ? 0, ( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时, ? 2 ? ? 2 有最小值?

9

求出这个最小值.

2.求下列函数的定义域 (1)

y ? x ?8 ? 3? x

(2)

y?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

(3)

y? 1?

1 1 1? 1 x ?x

3.求下列函数的值域 (1)

y?

3? x 4? x

(2)

y?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3)

y ? 1 ? 2x ? x

4.作出函数

y ? x 2 ? 6 x ? 7, x ? ?3,6? 的图象。

10

(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若集合 S A. S 2.已知函数

? ? y | y ? 3x ? 2, x ? R? , T ? ? y | y ? x 2 ? 1, x ? R? ,则 S ? T 是(
B.

)

T

C.

?

D.有限集

y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? (0,??) 时,有 f ( x) ?
) D. ?

1 , 则当 x

x ? (??,?2) 时, f (x) 的解析式为(
A. ?

1 x
y? x x

B. ?

1 x?2

C.

1 x?2

1 x?2

3.函数

? x 的图象是(



4.若函数

y ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [?
B. [

A.

?0,4?

3 ,4] 2

C. [

3 , 3] 2

25 , 4] ,则 m 的取值范围是( ? 4 3 D. [ , ?) ? 2



5.若函数 A.

C.

f ( x) ? x 2 ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( ) x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( 1 f( 1 2)? )? 2 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( f( )? )? 2 2 2 2
? 2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? f ( x) ? ? 2 的值域是( ? x ? 6 x( ?2 ? x ? 0) ?
B. )

6.函数

A. R 二、填空题 1.函数

? ?9, ?? ?

C.

? ?8,1?

D.

? ?9,1?

f ( x) ? (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ??, 0 ? ,则满足条件的


实数 a 组成的集合是 2.设函数

f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域为__________。
11

3.当 x ? _______ 时,函数 4.二次函数的图象经过三点

f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? ... ? ( x ? an ) 2 取得最小值。


1 3 A( , ), B(?1,3), C (2,3) ,则这个二次函数的解析式为 2 4


5.已知函数 三、解答题 1.求函数

? x 2 ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? ? ? 2 x ( x ? 0)
的值域。

y ? x ? 1 ? 2x

2.利用判别式方法求函数

y?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域。 x2 ? x ?1

3.已知 a, b 为常数,若 则求 5a ? b 的值。

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x 2 ? 10 x ? 24,

4.对于任意实数 x ,函数

f ( x) ? (5 ? a) x 2 ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。

(数学 1 必修)第一章(下)
12

函数的基本性质

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.已知函数 A.

1

f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( B. 2 C. 3 D. 4



2.若偶函数

f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(



3 3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 2 3 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 2 3.如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f (x) 在区间 ?? 7,?3? 上是( A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5
A. 4.设



f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是(
B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) D.非奇非偶函数。



A.奇函数 5.下列函数中,在区间

? 0,1? 上是增函数的是(
B.

A.

y? x

y ? 3? x

C. )

y?

1 x

D.

y ? ?x 2 ? 4

6.函数

f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是(

A.是奇函数又是减函数 C.是减函数但不是奇函数 二、填空题 1.设奇函数

B.是奇函数但不是减函数 D.不是奇函数也不是减函数

f (x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ?[0,5] 时, f (x) 的图 f ( x) ? 0 的解是

象如右图,则不等式 2.函数

y ? 2 x ? x ? 1 的值域是________________。
y ? x ? 2 ? 1? x
的值域是 . .

3.已知 x ? [0,1] ,则函数 4.若函数

f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是

5.下列四个命题 (1)

f ( x) ? x ? 2 ? 1 ? x

有意义;

(2)函数是其定义域到值域的映射;

? x2 , x ? 0 ? y?? 2 (3)函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一直线; (4)函数 的图象是抛物线, ?? x , x ? 0 ?
其中正确的命题个数是____________。 三、解答题

13

1.判断一次函数

y ? kx ? b, 反比例函数 y ?

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的单调性。 x

2.已知函数

(1) f ( x) 是奇函数; f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件:

(2)

2 (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围。 f ( x) 在定义域上单调递减;

3.利用函数的单调性求函数

y ? x ? 1 ? 2x

的值域;

4.已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? .

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使

y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

14

(数学 1 必修)第一章(下)
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.下列判断正确的是( )

函数的基本性质

A.函数

f ( x) ?

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

B.函数

f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是偶函数 1? x

C.函数

f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数

f ( x) ? 1既是奇函数又是偶函数


2.若函数 A.

f ( x) ? 4 x 2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(
B. [40, 64] C.

? ??, 40?

? ??, 40? ? ?64, ?? ?

D.

? 64, ?? ?

3.函数

y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域为(
B.



A.

?? ?, 2 ?

?0, 2 ?

C.

?

2 ,??

?

D.

?0,???


4.已知函数 A. a ? ?3

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是(
B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3

5.下列四个命题:(1)函数

f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f (x) 是增函数;

(2)若函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? 2 与 x 轴没有交点,则 b2 ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;
表示相等函数。

(3)

y ? x 2 ? 2 x ? 3 的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ? (1 ? x) 2
) B. 1 C. 2 D. 3

其中正确命题的个数是( A. 0

6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的 距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )

d d0

d d0

d d0

d d0

O A.
二、填空题 1.函数

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

f ( x) ? x 2 ? x

的单调递减区间是____________________。

2.已知定义在 R 上的奇函数 那么 x ? 0 时,

f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ,
.

f ( x) ?

15

3.若函数

f ( x) ?

x?a 在 ? ?1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

4.奇函数

f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 ,最小值为 ?1 , f (?3) ? __________。

则 2 f (?6) ?

5.若函数

f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。

三、解答题 1.判断下列函数的奇偶性 (1)

1 ? x2 f ( x) ? x?2 ?2

(2)

f ( x) ? 0, x ? ? ?6, ?2? ? ? 2, 6?

2.已知函数 且当 x

y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,

(1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,证明:

(2)函数

y ? f ( x) 是奇函数。

3.设函数

f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 1 ,求 f ( x) 和 g ( x ) 的解析式. f ( x) ? g ( x) ? x ?1

4.设 a 为实数,函数 (1)讨论 (2)求

f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R

f (x) 的奇偶性; f (x) 的最小值。

16

(数学 1 必修)第一章(下)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.已知函数

函数的基本性质

?? x 2 ? x ? x ? 0 ? ? f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , h ? x ? ? ? 2 ,则 f ? x ? , h ? x ? 的 x ? x ? x ? 0? ? ?
) B.奇函数,偶函数 C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

奇偶性依次为(

A.偶函数,奇函数 2.若

3 5 f (x) 是偶函数,其定义域为 ?? ?,??? ,且在 ?0,??? 上是减函数,则 f (? )与f (a 2 ? 2a ? ) 2 2


的大小关系是( A.

3 5 3 5 2 B. f (? ) < f (a ? 2a ? ) f (? ) > f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 3 5 3 5 2 2 C. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) D. f (? ) ? f (a ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 3.已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是( ) A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 4.设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是(
A.



?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? ?x | x ? ?3或x ? 3?
B. ?4

B.

?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?
) D. ?10 )

C.

D.

5.已知

f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 其中 a, b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于(
C. ?6

A. ?2 6.函数

f ( x) ? x3 ? 1 ? x 3 ? 1

,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是(

A. (?a, ? f 二、填空题 1.设

(a))

B. (a,

f (?a))

C. (a, ? f

(a))

D. (?a, ? f (?a))

f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) ? _____________________。
2.若函数

f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ? ? 0, ?? ? 上为增函数,则实数 a, b 的取值范围是



3.已知

f ( x) ?

x2 1?x2

,那么

1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =_____。 2 3 4


4.若

f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2
17

5.函数

f ( x) ?

4 ( x ? [3, 6]) 的值域为____________。 x?2

三、解答题 1.已知函数

1 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 , 2
x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y) ,
f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

如果对于 0 ? (1)求

f (1) ;

(2)解不等式

2.当 x ? [0,1] 时,求函数

f ( x) ? x 2 ? (2 ? 6a) x ? 3a 2 的最小值。

3.已知

f ( x) ? ?4 x 2 ? 4ax ? 4a ? a 2 在区间 ? 0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.

4.已知函数

f ( x) ? ax ?

3 2 1 x 的最大值不大于 2 6

,又当 x ? [

1 1 1 , ]时, f ( x) ? ,求 a 的值。 4 2 8

数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1)
[基础训练 A 组]
18

一、选择题 1.下列函数与

y ? x 有相同图象的一个函数是(
B.



A.

y?

x2

y?

x2 x
) ③

C.

y ? a loga x (a ? 0且a ? 1)

D.

y ? log a a x

2.下列函数中是奇函数的有几个( ①

y?

ax ?1 a x ?1



y?

lg(1 ? x 2 ) x?3 ?3

y?

x x



y ? log a

1? x 1? x

A. 1 3.函数 A. x 轴 4.已知 x ? x A. 3
?1

B. 2

C. 3

D. 4 )

y ? 3x 与 y ? ?3? x 的图象关于下列那种图形对称(
B.

y轴
3 2 3 ? 2

C.直线 值为( C. 4

y?x


D.原点中心对称

3

? 3 ,则 x ? x B. 2 5
2

5


D.

?4 5

5.函数

y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是(
B. (

2 2 C. [ ,1] , ??) 3 3 6 0.7 6 log 6.三个数 0.7 , , 0.7 6 的大小关系为( )
A. [1, ??) A.

D. (

2 ,1] 3

0.76 ? log0.7 6 ? 60.7
0.7

B. D.

0.76 ? 60.7 ? log0.7 6
log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

x x

C. log 0.7 6 ? 6 7.若

? 0.76

f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为(
B. 3ln x ? 4 C. 3e

A. 3ln x 二、填空题 1.

D. 3e

?4

2 , 3 2 , 5 4 , 8 8 , 9 16 从小到大的排列顺序是



2.化简

810 ? 410 8 4 ? 411

的值等于__________。

3.计算: 4.已知 x
2

(log 2 5)2 ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2

1 = 5



? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y x ) 的值是_____________。

1 ? 3? x ? 3 的解是_____________。 5.方程 1 ? 3x
6.函数

y ? 8 2 x ?1 的定义域是______;值域是______.
19

1

7.判断函数 三、解答题
x

y ? x 2 lg( x ? x 2 ? 1) 的奇偶性



1.已知 a

? 6 ? 5 (a ? 0), 求

a 3 x ? a ?3 x a x ? a ?x

的值。

2.计算 1 ? lg 0.001

? lg 2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值。 3

3.已知函数

f ( x) ?

1 1? x ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。 ? log 2 x 1? x

4. (1)求函数

f ( x) ? log 2 x ?1 3x ? 2 的定义域。 1 x 2 ?4 x (2)求函数 y ? ( ) , x ? [0,5) 的值域。 3

数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1)
[综合训练 B 组]
20

一、选择题 1.若函数

f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为(

)

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2
)

2.若函数

y ? log a ( x ? b)( a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1,0) 和 (0,1) ,则(

A. a 3.已知

? 2, b ? 2

B. a

? 2, b ? 2


C. a

? 2, b ? 1

D. a

? 2, b ? 2

f ( x 6 ) ? log 2 x ,那么 f (8) 等于(

A.

4 3
y ? lg x
(

B. 8 )

C. 18

D.

1 2

4.函数

A. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递增 B. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递减 C. 是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减

5.已知函数 A. b 6.函数

f ( x) ? lg

1? x ) .若f (a) ? b.则f (?a) ? ( 1? x 1 1 B. ?b C. D. ? b b


f ( x) ? log a x ? 1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x) 在 (1, ??) 上(
B.递减且无最小值 C.递增且有最大值

A.递增且无最大值 二、填空题 1.若

D.递减且有最小值

f ( x) ? 2 x ? 2 ? x lg a 是奇函数,则实数 a =_________。

2.函数

f ( x) ? log 1 ? x 2 ? 2 x ? 5? 的值域是__________.
2

3.已知 log14 7 ? a, log14 5 ? b, 则用 a, b 表示 log35 28 ? 4.设

。 ;

A ? ?1, y, lg ? xy ?? , B ? ?0, x , y? ,且 A ? B ,则 x ?

y?



5.计算:

?

3? 2

?

2 log?

3? 2

?

5



21

6.函数 y ? 三、解答题

ex ? 1 的值域是__________. ex ? 1

1.比较下列各组数值的大小: (1) 1.7
3.3

和 0.8

2.1



(2) 3.3

0.7

和 3.4

0.8



(3)

3 , log 8 27, log 9 25 2

2.解方程: (1) 9

?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6

x

? 4x ? 9x

3.已知

y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。

4.已知函数

f ( x) ? log a (a ? a x ) (a ? 1) ,求 f ( x) 的定义域和值域;

数学 1(必修)第二章 基本初等函数(1)
[提高训练 C 组]
22

一、选择题 1.函数

f ( x) ? a x ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为(



1 1 B. C. 2 D. 4 4 2 2.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(
A. A.(0,1) 3.对于 0 ? B.(1,2) a ? 1 ,给出下列四个不等式 C.(0,2) D.

)

[2,+?)
1? 1 a 1? 1 a

① log a (1 ? a)

1 ? log a (1 ? ) a


② log a (1 ? a)

1 ? log a (1 ? ) a

③a

1? a

?a

④a

1? a

?a

其中成立的是( A.①与③ 4.设函数 A. 1

B.①与④

C.②与③ )

D.②与④

1 f ( x) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( x
B. ? 1 C. 10

D.

1 10

5.定义在 R 上的任意函数

f ( x) 都可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个偶函数 h( x) 之和,如果
) B. g ( x) ?

f ( x) ? lg(10 x ? 1), x ? R ,那么(
A. g ( x) ? C. g ( x) ? 6.若 a

x , h( x) ? lg(10 x ? 10? x ? 1)

lg(10 x ? 1) ? x lg(10x ? 1) ? x , h( x ) ? 2 2
lg(10 x ? 1) ? x x , h( x ) ? 2 2

x x , h( x) ? lg(10 x ? 1) ? 2 2
)

D. g ( x) ? ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则( ,b ? ,c ? 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a ?

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

二、填空题 1.若函数

y ? log 2 ax 2 ? 2 x ? 1 y ? log 2 ax 2 ? 2 x ? 1

? ?

? 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________。 ? 的值域为 R ,则 a 的范围为__________。

2.若函数

3.函数

1 y ? 1 ? ( )x 2

的定义域是______;值域是______.

4.若函数

f ( x) ? 1 ?
2

m 是奇函数,则 m 为__________。 a ?1
x

5.求值: 27 3 三、解答题

1 ? 2log2 3 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? __________。 8

23

1.解方程: (1) log 4 (3 ? x) ? log 0.25 (3 ? x)

? log 4 (1 ? x) ? log 0.25 (2 x ? 1)

(2) 10

(lg x )2

? x lg x ? 20

2.求函数

1 1 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 在 x ? ? ?3, 2? 上的值域。 4 2

3.已知

f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小。

4.已知

1? ? 1 f ? x? ? x ? x ? ? ? x ? 0 ? ,⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ? 2 ?1 2 ?

⑵证明

f ? x? ? 0 .

数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数)
[基础训练 A 组]
一、选择题

24

1.若

1 y ? x 2 , y ? ( ) x , y ? 4 x 2 , y ? x 5 ? 1, y ? ( x ? 1) 2 , y ? x, y ? a x (a ? 1) 上述函数是幂函数的 2
) B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )

个数是( A. 0 个 2.已知

f (x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( A.函数 f (x) 在 (1, 2) 或 ? 2, 3 ? 内有零点 B.函数 f (x) 在 (3,5) 内无零点
C.函数

D.函数 f (x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 f (x) 在 (2,5) 内有零点 3.若 a ? 0, b ? 0, ab ? 1 , log 1 a ? ln 2 ,则 log a b 与 log 1 a 的关系是( )
2

2

A. log a b ? log 1
2

a

B. log a b ? log 1
2

a

C. log a b ? log 1
2

a

D. log a b ? log 1
2

a

f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 5.已知函数 y ? f (x) 有反函数,则方程 f ( x) ? 0
4. 求函数 A.有且仅有一个根 6.如果二次函数 A. B.至多有一个根

) D. 4 ( ) D.以上结论都不对 )

C.至少有一个根

y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
B.

?? 2,6?

?? 2,6?

C.

?? 2,6?

D.

? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ?


7.某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则第四年造林( A. 14400 亩 二、填空题 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩

f ? x ? 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f ? x ? = 。 4 ( 2.幂函数 f ( x) 的图象过点 3, 27) ,则 f ( x) 的解析式是_____________。 3 3.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x 0 ? 2.5 ,那么下一个有根
1.若函数 的区间是 4.函数 。 。 ,方程

f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 y ? f (x) 的图象在 ? a, b ? 上连续,若满足

5.设函数

f ( x) ? 0 在 ? a, b ? 上有实根.

三、解答题 1.用定义证明:函数

f ( x) ? x ?

1 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数。 x

2.设 x1 与 x2 分别是实系数方程 ax

2

? bx ? c ? 0 和 ?ax 2 ? bx ? c ? 0 的一个根,且

x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0

,求证:方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2
25

3.函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ? 0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值。

4.某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元, 销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少? .

数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数)
[综合训练 B 组]
一、选择题

26

1。若函数 A.若 B.若 C.若 D.若

y ? f (x) 在区间 ? a, b ? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是(



f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; x ? 0 根的个数为(
B. 3 ) C. 1 D. 0 的解,则 x1 D. ) D. ? 4

2.方程 lg x ? A.无穷多

3.若 x1 是方程 lg x ? x A.

? 3 的解, x 2 是 10 x ? x ? 3

? x2 的值为(



2 C. 3 3 1 ?2 4.函数 y ? x 在区间 [ ,2] 上的最大值是( 2 1 A. B. ? 1 C. 4 4
B. 5.设

3 2

1 3

f ?x ? ? 3 x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得


f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) 6.直线 A. 4 个 7.若方程 a A. (1, ??) 二、填空题
x

B. (1.25,1.5)

C. (1.5, 2) 的图象的交点个数为( C. 2 个

D.不能确定 ) D. 1 个 )

y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x
B. 3 个

? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是(
B. (0,1) C. (0, 2)

D. (0, ??)

1. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x% , 2005 年底世界人口为 的函数关系式为 2. . .

y 亿,那么 y 与 x

y ? xa

2

? 4 a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
1 ? 2

3.函数

y ? (0.5x ? 8)

的定义域是



4.已知函数 5.函数

f ( x) ? x 2 ? 1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________.
2

f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x m

? 2 m ?3

是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上是减函数,则实数 m ? ______.

三、解答题 1.利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根: 27

①x

2

? 7 x ? 12 ? 0 ;② lg( x 2 ? x ? 2) ? 0 ;③ x 3 ? 3x ? 1 ? 0 ;

④3

x ?1

? ln x ? 0 。

2.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2

? 3 x 在区间 (1, 2) 内的近似解(精确到 0.1 ).

3.证明函数

f ( x) ? x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数。

4.某电器公司生产

A 种型号的家庭电脑,1996 年平均每台电脑的成本 5000 元,并以纯利润 2% 标定出厂价. 1997 年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低. 2000 年平均每台电脑出厂 价仅是 1996 年出厂价的 80% ,但却实现了纯利润 50% 的高效率. ① 2000 年的每台电脑成本; ②以 1996 年的生产成本为基数,用“二分法”求 1996 年至 2000 年生产成本平均每年降 低的百分率(精确到 0.01 )

数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.函数

y ? x3 (



28

A.是奇函数,且在 R 上是单调增函数 C.是偶函数,且在 R 上是单调增函数 2.已知 a A. a

B.是奇函数,且在 R 上是单调减函数 D.是偶函数,且在 R 上是单调减函数 )

? log 2 0.3, b ? 2 0.1 , c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(
B. c ? a

?b?c

?b

C. a

?c?b
) D. [3, 4]

D. b ? c ? a

3.函数

f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是(
B. [1, 2] C. [2,3]

A. [0,1]

4.在

y ? 2 x , y ? log 2 x, y ? x 2 , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使 f (
) C. 2 个 D. 3 个 B. 1 个

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

恒成立的函数的个数是( A. 0 个 5.若函数

f ( x) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内,那么下列命题中正确的是(
B.函数 D.函数 ) D. 4 )



A.函数 C.函数 6.求

f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点 f ( x) 在区间 ? 2,16 ? 内无零点

f ( x) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 f ( x) 在区间 (1,16) 内无零点

f ( x) ? 2 x3 ? x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3
7.若方程 x A. ?1 二、填空题 1. 函数
3

? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为(
B. ?2 C. ?3 D. ?4

1 1 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这三个实根 2 2


的和为 2.若函数

f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。

3.一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公 司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图) ,根据图中提供的信息可以得出这 三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

29

4.函数 5.若 x
2

y ? x 2 与函数 y ? x ln x 在区间 (0, ??) 上增长较快的一个是



? 2x ,则 x 的取值范围是____________。

三、解答题
x

1.已知 2

? 256 且 log 2 x ?

x 1 ,求函数 f ( x) ? log 2 ? log 2 2

2

x 2

的最大值和最小值.

2.建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米 100 元,池底的造价为每 平方米 300 元,把总造价

y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数。

3.已知 a

? 0 且 a ? 1 ,求使方程 log a ( x ? ak ) ? log a2 ( x 2 ? a 2 ) 有解时的 k 的取值范围。

30

新课程高中数学训练题组参考答案 (数学 1 必修)第一章(上) [基础训练 A 组] 一、选择题 1. 2. C D 元素的确定性; 选项 A 所代表的集合是

?0? 并非空集,选项 B 所代表的集合是 ?(0, 0)? 并非空集,选项 C 所

代表的集合是 3. 4. A A

?0? 并非空集,选项 D 中的方程 x2 ? x ? 1 ? 0 无实数根;

阴影部分完全覆盖了 C 部分,这样就要求交集运算的两边都含有 C 部分; (1)最小的数应该是 0 , (2)反例: ?0.5 ? N ,但 0.5 ? N (3)当 a ? 0, b ? 1, a ? b ? 1 ,(4)元素的互异性

5. 6.

D C

元素的互异性 a ? b ? c ;

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ? 1 ? 7 。

二、填空题 1.

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?,(3) ? 0 是自然数, 5 是无理数,不是自然数, 16 ? 4 ;
( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) 2 ? 6, 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 6, 当 a ? 0, b ? 1 时 6 在集合中

2.

15

A ? ?0 , 1, 2 , 3 , 4 ? ,,C ? ?0,1, 4, 6? ,非空子集有 24 ?1 ? 15 ; ,5 6
? ?? ? ? 2, 3, 7,10 ,显然 A ? B ? ? x | 2 ? x ? 10? ?

3.

? x | 2 ? x ? 10?
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

4.

??? ???? ? ? ?2k ? 1 ? ?3 1 ?3, 2k ? 1, 2k ? 1, 2 ,则 ? 得 ?1 ? k ? ?? ??? ? ? 2 ? 2k ? 1 ? 2

5.

? y | y ? 0?

y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1)2 ? 0 , A ? R 。

三、解答题 1.解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x

? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ;
A ? ?2,4,5?;

当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 2.解:当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时, B

? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;
? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;

当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时, B

当 m ? 1 ? 2m ? 1,即 m ? 2 时,由 B ?

? m ? 1 ? ?2 A ,得 ? 即 2 ? m ? 3; ? 2m ? 1 ? 5

31

∴m ? 3 3.解:∵ A ? B

? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a 2 ? 1 ? ?3 , ? 0, A ? ?0,1, ?3? , B ? ??3, ?1,1? ,

∴当 a ? 3 ? ?3, a 这样 A ? B

? ??3,1? 与 A ? B ? ??3? 矛盾; A ? B ? ??3?

当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 ∴ a ? ?1

4.解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; 当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ?

?

1 ,且 m ? 0 4

∴m ?

?

1? 1 ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4? 4 ?

而对于 N , ?

? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?
1? ? ? ?x | x ? ? ? 4? ?

1? 1 ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4? 4 ?

∴ (CU M ) ? N

(数学 1 必修)第一章(上) 一、选择题 1.

[综合训练 B 组]

A (1)错的原因是元素不确定, (2)前者是数集,而后者是点集,种类不同,

(3)

3 6 1 ? , ? ? 0.5 ,有重复的元素,应该是 3 个元素, (4)本集合还包括坐标轴 2 4 2
当 m ? 0 时, B

2.

D

?1? ? ? , 满足 A ? B ? A ,即 m ? 0 ;当 m ? 0 时, B ? ? ? , ?m?

而 3.

A ? B ? A ,∴

1 ? 1或 ? 1,m ? 1或 ? 1 ;∴ m ? 1, ?1或0 ; m


A

N ?(0,0), N ? M ? ?

4.

D

?x ? y ? 1 ?x ? 5 得? ,该方程组有一组解 (5, ?4) ,解集为 ?(5, ?4)? ; ? ? x ? y ? 9 ? y ? ?4

5.

D

选项 A 应改为 R

?

? R ,选项 B 应改为 " ? " ,选项 C 可加上“非空” ,或去掉“真” ,选项 D 中的 ?? ?
32

里面的确有个元素“ ? ” ,而并非空集; 6. C 当 A ? B 时,

A? B ? A ? A? B

二、填空题 1.

(1) ?,?,(2) ?,(3) ?
(1)

3 ? 2 , x ? 1, y ? 2 满足 y ? x ? 1, 2 ? 5 ? 1.4 ? 2.2 ? 3.6 , 2 ? 3 ? 3.7 ,
2 ? 5) 2 ? 7 ? 40 , (2 ? 3) 2 ? 7 ? 48

(2)估算 或( (3)左边 ?

??1,1? ,右边 ? ??1, 0,1?
A ? CU (CU A ) ? ? x | 3 x ? ?

2. 3.

a ? 3, b ? 4

?4? ?x

a |? x ? b?

26

全班分 4 类人:设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x 人;仅爱好体育的人数为 43 ? x 人;

仅爱好音乐的人数为 34 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的人数为 4 人 。 ∴ 43 ? x ? 34 ? x ? x ? 4 ? 55 ,∴ x ? 26 。 4.

0,2, 或 ? 2

由 A? B ?

B得B ? A ,则 x 2 ? 4或x 2 ? x ,且 x ? 1 。

5.

9 9? ? ? ? ?a | a ? , 或a ? 0 ? , ? a | a ? ? 8 8? ? ? ?

A 中仅有一个元素时, a ? 0 ,或 ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有 0 个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有两个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ;
当 三、解答题 1. 解:由

A ? ?a? 得 x 2 ? ax ? b ? x 的两个根 x1 ? x2 ? a ,
2

即x

? (a ? 1) x ? b ? 0 的两个根 x1 ? x2 ? a ,

∴ x1 ? x2

? 1 ? a ? 2a, 得a ?

1 1 , x1 x2 ? b ? , 3 9

∴M

?? 1 1 ?? ? ?? , ?? ?? 3 9 ??

2.解:由 A ? B ?

B得B ? A ,而 A ? ??4, 0? , ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a 2 ? 1) ? 8a ? 8 ? ? ,符合 B ? A ;

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B

33

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B

? ?0? ,符合 B ? A ;

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? ∴B

A ? ??4, 0? ;

? ??4, 0? 得 a ? 1

∴ a ? 1或a ? ?1 。 3.解:

B ? ?2,3? , C ? ??4, 2? ,而 A ? B ? ? ,则 2,3 至少有一个元素在 A 中,


A ? C ? ? ,∴ 2 ? A , 3 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ,得 a ? 5或 ? 2 ? 5时,A ? B与 A ? C ? ? 矛盾,

而a

∴ a ? ?2 4. 解: A ?

??2, ?1? ,由 (CU A) ? B ? ? , 得B ? A ,
? ??1? ,符合 B ? A ; ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ?m ? ?2 ,即 m ? 2
[提高训练 C 组]

当 m ? 1 时, B

当 m ? 1时, B ∴ m ? 1或 2 。

(数学 1 必修)第一章(上) 一、选择题 1. 2. D B

0 ? ?1, 0 ? X ,?0? ? X
全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数

为 40 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为 4 人 。∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 。 3. 4. C 由 A? R D

? ?得A ? ? , ? ? ( m )2 ? 4 ? 0, m ? 4, 而m ? 0, ∴ 0 ? m ? 4 ;
A, B 无公共元素,
A,即S ? A, 而A ? S ,

选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合

选项 C: ? 无真子集,选项 D 的证明:∵ ( A ? B) ? ∴ 5.

A ? S ;同理 B ? S ,



A? B ? S ;
? CU ? ? U ; ? CUU ? ? ;

D (1) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) (2) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) (3)证明:∵

A ? ( A ? B),即A ? ? , 而? ? A ,∴ A ? ? ;

34

同理 B

?? ,



A ? B ?? ;

6.

B

M:

2k ? 1 奇数 k ? 2 整数 ;N: ,整数的范围大于奇数的范围 , , 4 4 4 4

7.B

A ? ?0,1? , B ? ??1, 0?

二、填空题 1.

? x | ?1 ? x ? 9?
2 M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? ? ? y | y ? x ? 2) ? 1 ? ?1? (

N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R? ? ? y | y ? ? x ? 1 2 ? 9 ? 9? ( )
2.

?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9?

m ? 1 ? ?10, ?5, ?2, 或 ? 1( 10 的约数)

3.

?? 1?

I ? ??1? ? N , CI N ? ??1? A ? B ? ?1, 2?

4.

2 3, ?1,, 4?

5.

??2,?2??

M : y ? x ? 4( x ? 2) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ?2) ;

挖掉点 (2, ?2) , CU M 代表直线

N 代表直线 y ? x ? 4 外, CU N 代表直线 y ? x ? 4 上,
∴ (CU M ) ? (CU N ) 三、解答题 1. 解: x ?

? ?(2, ?2)? 。

A, 则x ? ? , ?a? , ?b? , 或 ?a, b? , B ? ?? , ?a? , ?b? , ?a, b?? ? ?? , ?a? , ?b??

∴ CB M 2. 解: B 而C

? ? x | ?1 ? x ? 2a ? 3? ,当 ?2 ? a ? 0 时, C ? ? x | a 2 ? x ? 4? ,
则 2a ? 3 ? 4, 即a ?

?B

1 , 而 ? 2 ? a ? 0, 2

这是矛盾的;

当 0 ? a ? 2 时, C

? ? x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B ,

则 2a ? 3 ? 4, 即a ?

1 1 ,即 ? a ? 2 ; 2 2
35

当a

? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? a 2 ? ,而 C ? B ,
2

则 2a ? 3 ? a 3.

,即 2 ? a ? 3 ;



1 ?a?3 2

解:由 CS A ?

?0? 得 0 ? S ,即 S ? ?1,3, 0? , A ? ?1,3? ,
,∴ x

∴?

? 2x ?1 ? 3 ?
3 2 ? x ? 3x ? 2 x ? 0 ?

? ?1
9 9

4.

解:含有 1 的子集有 2 个;含有 2 的子集有 2 个;含有 3 的子集有 2 个;…, 含有 10 的子集有 2 个,∴ (1 ? 2 ? 3 ? ... ? 10) ? 2
9
9

9

? 28160 。

(数学 1 必修)第一章(中) 一、选择题 1.

[基础训练 A 组]

C (1)定义域不同; (2)定义域不同; (3)对应法则不同; (4)定义域相同,且对应法则相同; (5)定义域不同; 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x

2. 3.

C

? 1 仅有一个函数值;

D 按照对应法则 而a?N
*

y ? 3x ? 1 , B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? ?4, 7, a 4 , a 2 ? 3a?

, a 4 ? 10 ,∴ a 2 ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a 4 ? 16, k ? 5

4.

D 该分段函数的三段各自的值域为

? ??,1? , ?0, 4 ? , ? 4, ?? ? ,而 3 ? ? 0, 4 ?

∴ 5. D

f ( x) ? x 2 ? 3, x ? ? 3, 而 ? 1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ;

平移前的“ 1 ? 2 x

1 ,平移后的“ ?2x ” , ? ?2( x ? ) ” 2 1 1 1 用“ x ”代替了“ x ? ” ,即 x ? ? ? x ,左移 2 2 2
f (5) ? f ? f (11) ? ? f (9) ? f ? f (15) ? ? f (13) ? 11 。

6.

B

二、填空题 1.

? ??, ?1?

当 a ? 0时,

f (a) ?

1 a ? 1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的; 2

当 a ? 0时, 2. 3.

f ( a) ?

1 ? a, a ? ?1 ; a

?x | x ? ?2, 且x ? 2?
y ? ?( x ? 2)( x ? 4)


x2 ? 4 ? 0 y ? a( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 ,

36

当x

? 1 时, ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1

4.

? ??, 0 ?
? 5 4

?x ?1 ? 0 ? ,x ?0 ? ?x ?x?0 ?

5.

1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? 。 2 4 4

三、解答题 1.解:∵

x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ?1 ,∴定义域为 ? x | x ? ?1?
2

2.解: ∵ x

1 3 3 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? , 2 4 4
3 3 , ??) ,∴值域为 [ 2 2
2



y?

3.解: ? ? 4(m ? 1)

? 4(m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 ,

y ? x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2

? 4 (m ? 12)? 2 (? m ? 4m 2 ? 1 0 ? 2 m


1)

f (m) ? 4m2 ? 10m ? 2, (m ? 0或m ? 3) 。

4. 解:对称轴 x

? 1 , ?1, 3? 是 f ( x) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即 ? a ? b ? 3 ? 2,
∴?

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1
[综合训练 B 组]

(数学 1 必修)第一章(中) 一、选择题 1. B

∵ g ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ? 2( x ? 2) ? 1, ∴ g ( x) ? 2 x ? 1 ;

2.

B

cf ( x) 3x cx ? x, f ( x ) ? ? , 得c ? ?3 2 f ( x) ? 3 c ? 2x 2x ? 3

37

3.

A 令 g ( x) ?

1 1 1 1 1 ? x2 ,1 ? 2 x ? , x ? , f ( ) ? f ? g ( x) ? ? 2 ? 15 2 2 4 2 x

4.

A

?2 ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 4, ?1 ? 2x ? 1 ? 4, 0 ? x ?

5 ; 2

5.

C

? x 2 ? 4 x ? ?( x ? 2) 2 ? 4 ? 4, 0 ? ? x 2 ? 4 x ? 2, ?2 ? ? ? x 2 ? 4 x ? 0 0 ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ? 2, 0 ? y ? 2 ;

6.

C

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 1 ? t ? 2t 令 ? t , 则x ? , f (t ) ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? t 1? ( ) 1? t
f (0) ? ? ;



二、填空题 1.

3? 2 ? 4

2.

?1
( 2,

令 2 x ? 1 ? 3, x

? 1, f (3) ? f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? ?1 ;

3.

3 2 ] 2

x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2, x 2 ? 2 x ? 3 ? 2,

0?
4.

1 x2 ? 2 x ? 3

?

2 3 2 , 2 ? f ( x) ? 2 2

3 (??, ] 2

当 x ? 2 ? 0, 即x ? ?2,

3 f ( x ? 2) ? 1, 则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ? , 2

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2,

f ( x ? 2) ? ?1, 则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2

5.

3 ; 2 1 (?1, ? ) 3
∴x

?

令y ? f ( x), 则f (1) ? 3a ? 1, f (?1) ? a ? 1, f (1) ? f (?1) ? (3a ? 1)(a ? 1) ? 0
得 ?1 ? a ? ? 三、解答题 1. 解: ?

1 3

? 16m2 ? 16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,

38

? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? m2 ? m ? 1
当m ? ?1时, (? 2 ? ? 2 ) min ? 1 2

1 2

2.

解: (1)∵ ?

?x ? 8 ? 0 得 ? 8 ? x ? 3, ∴定义域为 ? ?8,3? ?3 ? x ? 0

? x2 ?1 ? 0 ? 2 2 (2)∵ ?1 ? x ? 0 得x ? 1且x ? 1, 即x ? ?1 ∴定义域为 ??1? ?x ?1 ? 0 ?
? ? ? ? ?x ? 0 ?x ?x?0 ? ? 1? ? 1 ? 1 1 ? ? ? (3)∵ ?1 ? ∴定义域为 ? ??, ? ? ? ? ? , 0 ? ? 0 得 ?x ? ? 2? ? 2 ? x ?x 2 ? ? ? ? ? 1 1 ?0 ? x ?x ?0 ?1 ? ? ? 1? 1 ? x ?x ?
3. 解: (1)∵

y?

3? x 4y ?3 , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? , 得y ? ?1 , 4? x y ?1

∴值域为
2

? y | y ? ?1?

(2)∵ 2 x

? 4 x ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 1 ? 1,

∴0 ?

1 ? 1, 0 ? y ? 5 2x ? 4x ? 3
2

∴值域为

? 0, 5?

4.

1 , 且y是x 的减函数, 2 1 1 1 当 x ? 时,ymin ? ? , ∴值域为 [? , ??) 2 2 2 解: (五点法:顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点以及该点关于对称轴对称的点)
(3) 1 ? 2 x ? 0, x ? [提高训练 C 组] 一、选择题 1. B

(数学 1 必修)第一章(中)

S ? R, T ? ? ?1, ?? ? , T ? S
39

2.

D 设 x ? ?2 ,则 ? x ? 2 ? 0 ,而图象关于 x ? ?1 对称, 得

f ( x) ? f (? x ? 2) ?

1 1 ,所以 f ( x) ? ? 。 x?2 ?x ? 2

3. 4. 5.

D

? x ? 1, x ? 0 y?? ? x ? 1, x ? 0
作出图象

C A

m 的移动必须使图象到达最低点
二次函数

作出图象 图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如

二次函数 6. C

f ( x) ? x 2 的图象;向下弯曲型,例如

f ( x) ? ? x 2 的图象;

作出图象 也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集

二、填空题 1.

??2?

当a

? 2时,f ( x) ? ?4, 其值域为?-4? ? ? ??, 0?

当a

?a ? 2 ? 0 ? 2时,f ( x) ? 0, 则 ? , a ? ?2 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16( a ? 2) ? 0

2.

? 4, 9?

0 ? x ? 2 ? 1, 得2 ? x ? 3,即4 ? x ? 9

3.

4.

a1 ? a2 ? ... ? an 2 f ( x )? nx 2 ? 2 1 (? a 2? ? .an .x ? a) 2? a ( ? ? an .2 . . a . 1 2 n a1 ? a2 ? ... ? an 当x? 时, f ( x) 取得最小值 n 1 3 y ? x2 ? x ? 1 设 y ? 3 ? a( x ? 1)( x ? 2) 把 A( , ) 代入得 a ? 1 2 4

)

5.

?3

由 10 ? 0 得

f ( x) ? x 2 ? 1 ? 10, 且x ? 0, 得x ? ?3

三、解答题

1.

解:令

1? t2 1? t2 1 1 1 ? 2 x ? t , (t ? 0) ,则 x ? ,y? ? t ? ? t2 ? t ? 2 2 2 2

1 y ? ? (t ? 1)2 ? 1 ,当 t ? 1时, ymax ? 1, 所以y ? ? ??,1? 2
2. 解:

y( x 2 ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 2 x ? 3, ( y ? 2) x 2 ? ( y ? 2) x ? y ? 3 ? 0, (*)
显然

y ? 2 ,而(*)方程必有实数解,则

? ? ( y ? 2)2 ? 4( y ? 2)( y ? 3) ? 0 ,∴ y ? (2,
3. 解:

10 ] 3

f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x 2 ? 10 x ? 24,

40

a 2 x 2 ? (2ab ? 4a) x ? b2 ? 4b ? 3 ? x 2 ? 10 x ? 24,

?a 2 ? 1 ?a ? 1 ? a ? ?1 ? ∴ ? 2ab ? 4a ? 10 得 ? ,或 ? ?b ? ? 7 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ?b ? 3 ? ∴ 5a ? b ? 2 。
4. 解:显然 5 ? a ? 0 ,即 a

?5 ? a ? 0 ? 5 ,则 ? ?? ? 36 ? 4(5 ? a)(a ? 5) ? 0

得?

?a ? 5
2 ? a ? 16 ? 0

,∴ ?4 ? a ? 4 . [基础训练 A 组]

(数学 1 必修)第一章下 一、选择题 1. B

奇次项系数为 0, m ? 2 ? 0, m ? 2

2. 3. 4.

D A A

3 f (2) ? f (?2), ?2 ? ? ? ?1 2
奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性

F ( ? x) ? f ( ? x) ? f ( x ) ? ? F ( x ) y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ?

5.

A

1 在 (0, ??) 上递减, x

y ? ? x 2 ? 4 在 (0, ??) 上递减,
6. A

f (? x) ? x ( ? x ? 1 ? ? x ? 1) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) ? ? f ( x)

为奇函数,而

??2 x, x ? 1 ? 2 ??2 x , 0 ? x ? 1 f ( x) ? ? 2 , 为减函数。 2 x , ?1 ? x ? 0 ? ?2 x, x ? ?1 ?

二、填空题 1.

(?2, 0) ? ? 2,5?

奇函数关于原点对称,补足左边的图象

2. 3.

[?2, ??)

x ? ?1, y 是 x 的增函数,当 x ? ?1 时, ymin ? ?2
该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小; 自变量最大时,函数值最大

? 2 ? 1, 3 ? ? ?

41

4. 5.

? 0, ?? ?
1

k ? 1 ? 0, k ? 1, f ( x ) ? ? x2 ? 3

(1) x ? 2且x ? 1 ,不存在; (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由 离散的点组成的; (4)两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线。

三、解答题 1.解:当 k 当k

? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数; ? 0, y ?

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b 2 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? ] 是减函数,在 [? , ??) 是增函数, 2a 2a b b 2 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? ] 是增函数,在 [? , ??) 是减函数。 2a 2a ??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2 2 2.解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a ) ? f (a ? 1) ,则 ??1 ? 1 ? a ? 1 , ?1 ? a ? a 2 ? 1 ? ? 0 ? a ?1 1 1 1 3.解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , 2 2 2 1 ? y ? [? , ??) 2
4.解: (1)a ∴

? ?1, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37

f ( x)max ? 37, f ( x)m in ? 1

(2)对称轴 x

? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ?a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调
[综合训练 B 组]

∴ a ? 5 或 a ? ?5 。 (数学 1 必修)第一章(下) 一、选择题 1. C 选项 A 中的 x

? 2, 而 x ? ?2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1,

而 x ? ?1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数; 2. C 对称轴 x

?

k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8

3.

B

y?

2 , x ? 1 , y 是 x 的减函数,当 x ? 1, y ? 2, 0 ? y ? 2 x ?1 ? x ?1

42

4.

A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3 A (1)反例

5.

f ( x) ?

1 ; (2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可; (3)画出图象 x

可知,递增区间有 6.

(4)对应法则不同 ? ?1, 0? 和 ?1, ?? ? ;

B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快!

二、填空题 1.

1 1 (??, ? ],[0, ] 2 2
? x2 ? x ? 1


画出图象

2.

设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,

f (? x) ? x 2 ? x ? 1 ,

f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 , f ( x ) ? ? x 2 ? x ? 1

3.

f ( x) ?

x x ?1
2

∵ 即

f (? x) ? ? f ( x) ∴ f (?0) ? ? f (0), f (0) ? 0,

a ? 0, a ? 0 1 x ?1 1 f ( x) ? 2 , f (?1) ? ? f (1), ?? ,b ? 0 x ? bx ? 1 2?b 2?b

4.

?15

f ( x) 在区间 [3, 6] 上也为递增函数,即 f (6) ? 8, f (3) ? ?1 2 f (?6) ? f (?3) ? ?2 f (6) ? f (3) ? ?15

5.

(1, 2)

k 2 ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2

三、解答题

1.解: (1)定义域为

? ?1, 0 ? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ?
1 ? x2 f ( x) ? x
为奇函数。

1 ? x2 , x



f ( ? x) ? ? f ( x) ∴

(2)∵

f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数。
? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)

2.证明:(1)设 x1 ∴

f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 )

∴函数

y ? f ( x) 是 R 上的减函数;

43

(2)由 即 ∴

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0

f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。

3.解:∵

f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)
而 即 ∴

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 , f ( x) ? g ( x) ? ?? ?x ?1 x ?1 1 x , g ( x) ? 2 。 f ( x) ? 2 x ?1 x ?1 f ( x) ? g ( x) ?

4.解: (1)当 a 当a

? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 为偶函数, ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 为非奇非偶函数;

(2)当 x ? a 时,

1 3 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? , 2 4 1 1 3 当 a ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x ) min 不存在; 2 1 2 3 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 2 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f (a ) ? a ? 1 , 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f (? ) ? ?a ? 。 2 2 4
[提高训练 C 组]

(数学 1 必修)第一章(下) 一、选择题 1. D

f ? ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? x ? a ? x ? a ? ? f ( x) ,
画出 h( x ) 的图象可观察到它关于原点对称 或当 x

? 0 时, ? x ? 0 ,则 h(? x) ? x 2 ? x ? ?(? x 2 ? x) ? ?h( x);
2

当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 h(? x) ? ? x

? x ? ?( x 2 ? x) ? ?h( x);

? h(? x) ? ?h( x)
44

2. 3.

C

a 2 ? 2a ?

5 3 3 3 3 5 ? (a ? 1)2 ? ? , f (? ) ? f ( ) ? f (a 2 ? 2a ? ) 2 2 2 2 2 2

B

对称轴 x ? 2 ? a, 2 ? a ? 4, a ? ?2

4.

D

由 x?

?x ? 0 ?x ? 0 或? 而 f (?3) ? 0, f (3) ? 0 f ( x) ? 0 得 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
即?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? f ( x) ? f (?3) ? f ( x) ? f (3)

5.

D 令 F ( x) ?

f ( x) ? 4 ? ax3 ? bx ,则 F ( x) ? ax3 ? bx 为奇函数

F (?2) ? f (?2) ? 4 ? 6, F (2) ? f (2) ? 4 ? ?6, f (2) ? ?10

6.

B

f (? x) ? ? x3 ? 1 ? ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? f ( x) 为偶函数

(a, f (a)) 一定在图象上,而 f (a) ? f (?a) ,∴ (a, f (?a)) 一定在图象上
二、填空题 1.

x(1 ? 3 x )

设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , ∵

f (? x) ? ? x(1 ? 3 ? x ) ? ? x(1 ? 3 x )

f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? ? x(1 ? 3 x )

2.

a ? 0且b ? 0
7 2
f ( x) ?

画出图象,考虑开口向上向下和左右平移

3.

x2 1?x2



1 1 1 f( )? , f ( x) ? f ( ) ? 1 2 x 1? x x

1 1 1 1 f (1) ? , f (2) ? f ( ) ? 1, f (3) ? f ( ) ? 1, f (4) ? f ( ) ? 1 2 2 3 4
4.

1 ( , ?? ) 2
?

设 x1

? x2 ? ?2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 )

ax1 ? 1 ax2 ? 1 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ? x1 ( x1 ? x2 )(2a ? 1) ? ? ? ? 0 ,则 2a ?1 ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

5.

?1, 4?

区间 [3, 6] 是函数

f ( x) ?

4 的递减区间,把 3,6 分别代入得最大、小值 x?2

三、解答题 1. 解: (1)令 x (2)

? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0

1 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( ) 2
45

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2
? x ?? 2 ? 0 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 。 则? 2 ? ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
2. 解:对称轴 x ? 3a ? 1,

1 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x) min ? f (0) ? 3a ; 3 2 2 当 3a ? 1 ? 1 ,即 a ? 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x) min ? f (1) ? 3a ? 6a ? 3 ; 3 1 2 2 当 0 ? 3a ?1 ? 1 ,即 ? a ? 时, f ( x) min ? f (3a ? 1) ? ?6a ? 6a ? 1 。 3 3 a a 3.解:对称轴 x ? ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, 2 2
当 3a ?1 ? 0 ,即 a

?

则 当

f ( x)max ? f (0) ? ?4a ? a 2 ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ;

a ? 1, 即 a ? 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x) max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5 , 2 a 得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ? ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2 a 5 5 5 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ? ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 。 2 4 4 4 3 a 2 1 2 1 2 1 4.解: f ( x) ? ? ( x ? ) ? a , f ( x) ? a ? , 得 ? 1 ? a ? 1 , 2 3 6 6 6
对称轴 x

?

a 3 1 ?1 1? ,当 ?1 ? a ? 时, ? 4 , 2 ? 是 f ( x) 的递减区间,而 f ( x) ? 8 , 3 4 ? ?

1 a 3 1 3 f ( x)min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 与 ?1 ? a ? 矛盾,即不存在; 2 2 8 8 4 1 1 ? 3 a 1 a 1 1 3 当 ? a ? 1 时,对称轴 x ? ,而 ? ? ,且 ? 4 2 ? 4 3 4 3 3 3 2 8 1 a 3 1 3 即 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ,而 ? a ? 1 ,即 a ? 1 2 2 8 8 4 ∴ a ?1
即 46

(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[基础训练 A 组] 一、选择题

1.

D

y ? x2 ? x

,对应法则不同;

y?

x2 , ( x ? 0) x

y ? a loga x ? x, ( x ? 0) ; y ? log a a x ? x( x ? R)
2. D 对于

y?

ax ?1 a? x ? 1 a x ? 1 , f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ,为奇函数; a x ?1 a ?1 1? a x
显然也为奇函数;

对于

y?

x lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ,显然为奇函数; y ? x ?3 ?3 x x

对于

y ? log a
D 由

1? x 1? x 1? x , f (? x) ? log a ? ? log a ? ? f ( x) ,为奇函数; 1? x 1? x 1? x

3.

y ? ?3? x 得 ? y ? 3? x , ( x, y) ? (? x, ? y) ,即关于原点对称;
?1 1 2 ? 1 2 2 1 2 1 2 ? 1 2

4.

B

x ? x ? ( x ? x ) ? 2 ? 3, x ? x x ?x
3 2 ? 3 2 1 2 ?

? 5

? ( x ? x )( x ? 1 ? x?1 ) ? 2 5
2 ? x ?1 3

5.

D

log 1 (3x ? 2) ? 0 ? log 1 1, 0 ? 3 x ? 2 ? 1,
2 2

6.

D

0.76 ? 0.70 =1,0.7 ? 60 =1, 0.7 6 ? 0 6 log
当 a, b 范围一致时, log a b ? 0 ;当 a, b 范围不一致时, log a b ? 0 注意比较的方法,先和 0 比较,再和 1 比较

7.

D 由

f (ln x) ? 3x ? 4 ? 3eln x ? 4 得 f ( x) ? 3e x ? 4

二、填空题 1.
3

2 ? 8 8 ? 5 4 ? 9 16 ? 2
1 1 2 3 4

2 ? 2 2 , 3 2 ? 23 , 5 4 ? 2 5 , 8 8 ? 28 , 9 16 ? 2 9 ,


1 3 2 4 1 ? ? ? ? 3 8 5 9 2
810 ? 410 230 ? 220 220 (1 ? 210 ) ? 12 ? 12 ? 28 ? 16 4 11 22 10 8 ?4 2 ?2 2 (1 ? 2 )

2.

16

47

3.

?2
0

原式 ?

log 2 5 ? 2 ? log 2 5?1 ? log 2 5 ? 2 ? log 2 5 ? ?2

4.

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 0, x ? 2且y ? 1 , log x ( y x ) ? log 2 (12 ) ? 0

5.

?1

3? x ? 3x ? 3? x ? 3? x ? 3, x ? ?1 1 ? 3x
1 1 2 x ?1 2 x ? 1 ? 0, x ? ; y ? 8 ? 0, 且y ? 1 2

6.

1? ? ? x | x ? ? , ? y | y ? 0, 且y ? 1? 2? ?
奇函数

7.

f (? x) ? x 2 lg(? x ? x 2 ? 1) ? ? x 2 lg( x ? x 2 ? 1) ? ? f ( x )

三、解答题 1.解: a
x

? 6 ? 5, a ? x ? 6 ? 5, a x ? a ? x ? 2 6

a 2 x ? a ?2 x ? (a x ? a ? x )2 ? 2 ? 22

a 3 x ? a ?3 x (a x ? a ? x )(a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) ? ? 23 a x ? a? x a x ? a?x
2.解:原式 ?

1 ? 3 ? lg 3 ? 2 ? lg 300

? 2 ? 2 ? lg 3 ? lg 3 ? 2 ?6
3.解: x

1? x ? 0 , ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 ,即定义域为 (?1,0) ? (0,1) ; 1? x 1 1? x 1 1? x f ( ? x) ? ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) 为奇函数; ?x 1? x x 1? x 1 2 f ( x) ? ? log 2 (1 ? ) 在 (?1,0)和(0,1) 上为减函数。 1 x ?1 x

? 0且

?2 x ? 1 ? 0 2 2 ? 4.解: (1) ? 2 x ? 1 ? 1 , x ? , 且x ? 1 ,即定义域为 ( ,1) ? (1, ??) ; 3 3 ?3 x ? 2 ? 0 ?
(2)令 u

1 1 ? x 2 ? 4 x, x ? [0,5) ,则 ?4 ? u ? 5 , ( )5 ? y ? ( )?4 , 3 3 1 1 ? y ? 81 ,即值域为 ( ,81] 。 243 243

(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[综合训练 B 组] 一、选择题 48

1.

A

1 1 1 2 log a a ? 3log a (2a), log a (2a) ? , a 3 ? 2a, a ? 8a 3 , a 2 ? , a ? 3 8 4
log a (b ? 1) ? 0, 且 log a b ? 1, a ? b ? 2
6

2.

A

3. 4. 令u 5. 6.

D 令x B 令

? 8( x ? 0), x ? 8 ? 2, f (8) ? f ( x6 ) ? log 2 x ? log 2 2

1 6

f ( x) ? lg x , f (? x) ? lg ? x ? lg x ? f ( x) ,即为偶函数
在区间 (??,0) 上单调递减

? x , x ? 0 时, u 是 x 的减函数,即 y ? lg x
B

f (? x) ? lg

1? x 1? x ? ? lg ? ? f ( x).则f (?a) ? ? f (a) ? ?b. 1? x 1? x

A 令u

? x ? 1 , (0,1) 是 u 的递减区间,即 a ? 1 , (1, ??) 是 u 的

递增区间,即 二、填空题 1.

f ( x) 递增且无最大值。

1 10

f ( x) ? f (? x) ? 2 x ? 2? x lg a ? 2? x ? 2 x lg a

? (lg a ? 1)(2 x ? 2? x ) ? 0, lg a ? 1 ? 0, a ?
(另法) x ? R ,由 :

1 10 1 10

f (? x) ? ? f ( x) 得 f (0) ? 0 ,即 lg a ? 1 ? 0, a ?

2.

? ??, ?2?
2?a a?b

x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1)2 ? 4 ? 4, 而 0 ?

1 ? 1, log 1 ? x 2 ? 2 x ? 5? ? log 1 4 ? ?2 2 2 2
log14 28 log14 35

3.

log14 7 ? log14 5 ? log14 35 ? a ? b, log35 28 ?

14 log14 (2 ?14) 1 ? log14 2 7 ? 1 ? (1 ? log14 7) ? 2 ? a ? ? ? log14 35 log14 35 log14 35 log14 35 a?b 1 ? log14
4.

?1, ?1

∵ 0 ? A, y

? 0, ∴ lg( xy) ? 0, xy ? 1

又∵ 1? B, y

? 1, ∴ x ? 1, 而x ? 1 ,∴ x ? ?1, 且y ? ?1
?
3? 2

5.

1 5

?

3? 2

?

2log

?

5

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

?

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

1

?

1 5

49

6.

(?1,1)

y?

ex ? 1 1? y , ex ? ? 0, ?1 ? y ? 1 x e ?1 1? y

三、解答题 1.解: (1)∵ 1.7
3.3

? 1.70 ? 1, 0.82.1 ? 0.80 ? 1 ,∴ 1.73.3 ? 0.8 2.1 ? 3.30.8 ,3.30.8 ? 3.40.8 ,∴ 3.30.7 ? 3.4 0.8

(2)∵ 3.3

0.7

(3) log8 27 ? log 2 3, log 9 25 ? log 3 5,
3 3 3 3 ? log 2 2 2 ? log 2 2 2 ? log 2 3, ? log 3 3 2 ? log 3 3 3 ? log 3 5, 2 2

∴ log 9

25 ?
?x 2

3 ? log8 27. 2

2.解: (1) (3

) ? 6 ? 3? x ? 27 ? 0, (3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 ,

x ? ?2 2 x 4 x 2 2x 2 x (2) ( ) ? ( ) ? 1, ( ) ? ( ) ? 1 ? 0 3 9 3 3
2 2 5 ?1 ( ) x ? 0, 则( ) x ? , 3 3 2 ? x ? log 2
3

5 ?1 2

3.解:由已知得 1 ? 4

x

? 3 ? 2 x ? 3 ? 7,

即?

? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 7 ?(2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0 ? ? ,得? x x x x ?4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?(2 ? 1)(2 ? 2) ? 0 ? ?
x

即0 ? 2

? 1 ,或 2 ? 2x ? 4

∴ x ? 0 ,或 1 ? 4.解: a ? a
x

x ? 2。

? 0, a x ? a, x ? 1 ,即定义域为 (??,1) ;

a x ? 0, 0 ? a ? a x ? a, log a (a ? a x ) ? 1 ,即值域为 (??,1) 。
(数学 1 必修)第二章 基本初等函数(1)[提高训练 C 组] 一、选择题

50

1.

B 当a

1 ? 1 时 a ? log a 2 ? 1 ? a, log a 2 ? ?1, a ? , 与 a ? 1 矛盾; 2 1 当 0 ? a ? 1时 1 ? a ? log a 2 ? a, log a 2 ? ?1, a ? ; 2
? 2 ? ax, a ? 0, ? 0,1? 是的递减区间,∴ a ? 1 而 u ? 0 须

2.

B 令u

恒成立,∴ umin 3. 4. 5. D 由0 ? A

? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ;

1 1 a ? 1 得 a ? 1 ? ,1 ? a ? 1 ? , ②和④都是对的; a a 1 1 f (10) ? f ( ) ? 1, f ( ) ? ? f (10) ? 1, f (10) ? ? f (10) ? 1 ? 1 10 10

C

f ( x) ? g ( x) ? h( x), f (? x) ? g (? x) ? h(? x) ? ? g ( x) ? h( x),

h( x ) ?
6. C

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x ) x ? lg(10 x ? 1), g ( x) ? ? 2 2 2

a ? ln 2, b ? ln 3 3, c ? ln 5 5, 5 5 ? 10 52 , 2 ? 10 25
5

5 ? 2, 2 ? 6 8, 3 3 ? 6 9, 3 3 ? 2

二、填空题 1.

(1, ??)

?a ? 0 ,得 a ? 1 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则 ? ? ? ? 4 ? 4a ? 0

2.

? 0,1?

ax 2 ? 2 x ? 1 须取遍所有的正实数,当 a ? 0 时, 2 x ? 1 符合
?a ? 0 ,得 0 ? a ? 1,即 0 ? a ? 1 ? 0 时,则 ? ? ? ? 4 ? 4a ? 0

条件;当 a

3.

?0, ?? ? , ?0,1?
2

4.

1 1 1 1 1 ? ( ) x ? 0, ( ) x ? 1, x ? 0 ; ( ) x ? 0, 0 ? 1 ? ( ) x ? 1, 2 2 2 2 m m f ( ? x) ? f ( x) ? 1 ? ? x ?1? x ?0 a ?1 a ?1
2? m(1 ? a x ) ? 0, m ? 2 ? 0, m ? 2 a x ?1

5.

19

9 ? 3 ? (?3) ? lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 2 ? 18 ? lg10 ? 19

三、解答题 1.解: (1) log 4 (3 ? x) ? log 0.25 (3 ? x)

? log 4 (1 ? x) ? log 0.25 (2 x ? 1)

51

log 4

3? x 2x ?1 x?3 ? log 0.25 ? log 4 , 1? x 3? x 2x ?1 3? x x ?3 ,得 x ? 7 或 x ? 0 ,经检验 x ? 0 为所求。 ? 1? x 2x ?1
(lg x )2

(2) 10

? x lg x ? 20, (10lg x )lg x ? x lg x ? 20

xlg x ? xlg x ? 20, xlg x ? 10, (lg x)2 ? 1, lg x ? ?1,

1 1 ,经检验 x ? 10, 或 为所求。 10 10 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2.解: y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? [( ) ] ? ( ) ? 1 4 2 2 2 1 x 1 2 3 ? [( ) ? ] ? , 2 2 4 1 1 x 而 x ? ? ?3, 2? ,则 ? ( ) ? 8 4 2 1 x 1 3 1 x 当 ( ) ? 时, ymin ? ;当 ( ) ? 8 时, ymax ? 57 2 2 4 2 3 ∴值域为 [ ,57] 4 3 3.解: f ( x) ? g ( x) ? 1 ? log x 3 ? 2log x 2 ? 1 ? log x , 4 3 4 当 1 ? log x ? 0 ,即 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 4 3 3 4 当 1 ? log x ? 0 ,即 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 4 3 3 4 当 1 ? log x ? 0 ,即 1 ? x ? 时, f ( x) ? g ( x) 。 4 3 x ? 10, 或
4.解: (1)

1 1 x 2x ? 1 f ( x) ? x( x ? )? ? x 2 ?1 2 2 2 ?1 x 2? x ? 1 x 2 x ? 1 f (? x) ? ? ? ? x ? ? ? f ( x) ,为偶函数 2 2 ?1 2 2x ?1

(2)

f ( x) ?

x 2x ? 1 x ? ,当 x ? 0 ,则 2 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ; 2 2x ?1
x

当 x ? 0 ,则 2

? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 。

数学 1(必修)第三章 函数的应用 [基础训练 A 组] 一、选择题

52

1. 2. 3.

C C A

y ? x 2 , y ? x 是幂函数
唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在

?3, 5 ?
2

log 1 a ? ln 2 ? 0, 得0 ? a ? 1, b ? 1 , log a b ? 0,log 1 a ? 0
2

4.

C

f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 1 ? 2 x3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x( x2 ? 1) ? ( x ? 1)

? ( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) , 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;
5. B 可以有一个实数根,例如

y ? x ? 1 ,也可以没有实数根,

例如 6. 7.

y ? 2x

D

? ? m2 ? 4(m ? 3) ? 0, m ? 6 或 m ? ?2 10000(1 ? 0.2)3 ? 17280

C

二、填空题 1.

1 x



f ( x) ? x? , 则 ? ? ?1 f ( x) ? x? , 图象过点(3, 4 27) , 3? ? 4 27 ? 3 4 , ? ? f ( x) ? x3 ? 2 x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.53 ? 10 ? 0
3

2.

f ( x) ? 4 x3

3 4

3. 4.

[2, 2.5)



2

分别作出

f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象;
见课本的定理内容

5.

f (a) f (b) ? 0

三、解答题 1.证明:设 1 ?

x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ?

1 )?0 x1 x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

∴函数

f ( x) ? x ?

1 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数。 x

2.解:令

a 2 x ? bx ? c, 由题意可知 ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax2 2 ? bx2 ? c ? 0 2 a a a bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax2 2 , f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a 2 a 2 3a 2 f ( x2 ) ? x2 ? bx2 ? c ? x2 ? ax2 2 ? x2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 f ( x) ?
53



f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程

3.解:对称轴 x ? a , 当a 当a

a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2

? 0, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1 ;

? 1, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 ;

当0?

a ? 1时 f ( x) max ? f (a) ? a 2 ? a ? 1 ? 2, a ?

1? 5 , 与 0 ? a ? 1矛盾; 2

所以 a ? ?1 或 2 。 4.解:设最佳售价为 (50 ? x) 元,最大利润为

y 元,

y ? (50 ? x)(50 ? x) ? (50 ? x) ? 40 ? ? x2 ? 40 x ? 500
当 x ? 20 时,

y 取得最大值,所以应定价为 70 元。

(数学1必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组] 一、选择题 1. 2. C 对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一

C 作出

y1 ? lg x, y2 ? 3 ? x, y3 ? 10 x 的图象, y2 ? 3 ? x, y ? x
交点横坐标为

3 3 ,而 x1 ? x2 ? 2 ? ? 3 2 2

3.

D

作出

y1 ? lg x, y2 ? x 的图象,发现它们没有交点

4.

C

y?

1 1 , [ ,2] 是函数的递减区间, ymax ? y | 1 ? 4 x? x2 2 2

5. 6. 7.

B

f ?1.5 ? ? f ?1.25 ? ? 0

A 作出图象,发现有 4 个交点 A 作出图象,发现当 a

? 1 时,函数 y ? a x 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点

二、填空题 1.

y ? 54.8(1 ? x%)13

增长率类型题目

2.

1,3,5 或 ?1 a 2 ? 4a ? 9 应为负偶数,

54

即a 当k 3.

2

? 4a ? 9 ? (a ? 2)2 ? 13 ? ?2k , (k ? N * ) , (a ? 2)2 ? 13 ? 2k ,

? 2 时, a ? 5 或 ?1 ;当 k ? 6 时, a ? 3 或 1
0.5x ? 8 ? 0, 0.5x ? 0.5?3 , x ? ?3

(?3, ??)

4.

0, 2

f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 0, x ? 0, 或 x ? 2

5.

2

?m 2 ? m ? 1 ? 1 ? ,得 m ? 2 ? 2 ? m ? 2m ? 3 ? 0 ?
2.解:略

三、解答题 1.解:作出图象

3.证明:任取 x1 , x2 ? [?2, ??) ,且 x1

? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 2 ? x2 ? 2
? x1 ? x2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

?

( x1 ? 2 ? x2 ? 2)( x1 ? 2 ? x2 ? 2) x1 ? 2 ? x2 ? 2

因为 x1 ? x2 所以函数 4.解:略

? 0, x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数。

(数学 1 必修)第三章 函数的应用 [提高训练 C 组] 一、选择题 1. 2. 3. 4. A

f (? x) ? (? x) 3 ? ? x 3 ? ? f ( x) 为奇函数且为增函数 a ? log 2 0.3 ? 0, b ? 2 0.1 ? 1, c ? 0.21.3 ? 1
f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 31 ? 0, f (1) ? f (2) ? 0
作出图象,图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如 指数函数

C B B

f ( x) ? 2 x 的图象;向下弯曲型,例如对数函数 f ( x) ? lg x 的图象;

5.

C

唯一的一个零点必然在区间 (0, 2)
3

6. 7.

A 令 2x

? x ? 1 ? ( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根

C 容易验证区间 (a, b) ? (?2, ?1)

二、填空题 1.

3 2

对称轴为 x

?

1 1 1 ,可见 x ? 是一个实根,另两个根关于 x ? 对称 2 2 2
55

2. 3.

4
85

作出函数

y ? x2 ? 4x

与函数

y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点

2000 年: 30 ?1.0 ? 30 (万) ;2001 年: 45 ? 2.0 ? 90 (万) ; 2002 年: 90 ?1.5 ? 135 (万) x ;

?

30 ? 90 ? 135 ? 85 (万) 3

4.

y ? x2

幂函数的增长比对数函数快 在同一坐标系中画出函数

5.

[2, 4]

y ? x 2 与 y ? 2 x 的图象,可以观察得出

三、解答题 1. 解:由 2

2.

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x) max ? 2 2 4 4 解: y ? 4 ? 300 ? 2 x ? 2 ?100 ? 2 ? ? 2 ?100 x 1600 y ? 400 x ? ? 1200 x
x

? 256 得 x ? 8 , log 2 x ? 3 即

3.解: log

a2

( x ? ak ) 2 ? log a2 ( x 2 ? a 2 )

? ? ? x ? ak ? x ? ak ? x ? ak ? ? ? ? ? 2 2 ,即 ? x ? a ①,或 ? x ? ? a ② ?x ? a ? ? 2 2 ?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? ? x ? a ( k ? 1) ? x ? a ( k ? 1) ? ? 2k 2k ? ?

a(k 2 ? 1) ? ak , k 2 ? 1 ,与 k ? 1 矛盾;②不成立 当 k ? 1 时,①得 2k
当0? k

? 1时,①得

a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,恒成立,即 0 ? k ? 1;②不成立 2k a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,不成立, 2k ? a(k 2 ? 1) ? ? a, 得 k ? ?1 2k

显然 k

? 0 ,当 k ? 0 时,①得

②得 ak ∴0 ? k

? 1或 k ? ?1
56


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