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高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc


高一数学同步练习

必修四

第一章三角函数(一)

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
A.基础梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)终边相同的角 (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度与角度的换算

:360° =2π 弧度;180° 弧度. =π ③弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

终边与角 α 相同的角可写成 α+k· (k∈Z). 360°

2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、 y x y 正切分别是:sin α= ,cos α= ,tan α= ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. r r x 3.三角函数线 三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

B.方法与要点
1、一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. π ? ? (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合?β|β =2+kπ,k∈Z?;终边落
? ? ? ? kπ 在坐标轴上的角的集合可以表示为?β?β= 2 ,k∈Z ?. ? ? ?

2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 3、三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二
1

类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. =π (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

C.双基自测
9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45° (k∈Z) 9 B.k· + π(k∈Z) 360° 4 C.k· -315° 360° (k∈Z) ( ).

5π D.kπ+ (k∈Z) 4 答案 C

9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用。 4 4 2.若 α=k· +45° 180° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 ). C.第二或第四象限

B.第一或第二象限

D.第三或第四象限

解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· +225° 180° =m· +225° 360° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· +45° 360° ,故 α 为第一象限角. 3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 ). C.第三象限角 D.第四象限角 答案 A

解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α>0 知 α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 2 5 B. 5 2 5 C.- 5 ). 1 D.- 2 答案 A 答案 C

-1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- . 5 5

5.(2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ 2 5 =- ,则 y=________. 5 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限 y 2 5 2=- 5 ?y=-8. 16+y 答案 -8

角,∴y<0,sin θ=

考点二 三角函数的定义
【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ=( 4 A.- 5 B.- ).

5 5

C.

5 5

D.

?

5 5
答案 D

5 解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ=± , 5

考点三 弧度制的应用
2

【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 π (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, ∴α=∠AOB=60° . = 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= × ×10= , 2 2 3 3

π π 10π (2)由(1)可知 α= ,r=10,∴弧长 l=α· ×10= , r= 3 3 3

1 10 3 1 10 3 50 3 π 3 而 S△AOB= · AB· = ×10× = , ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. 2 2 2 2 2 ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来 也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.

二、

同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α, tan(? ? 2k? ) ? tan? 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. π π 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. π π 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ? 其中 k∈Z. sin α (2)商数关系: =tan α. cos α

π 诱导公式可概括为 k· ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的 2 π 奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余 2 名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符 .... . 号.

B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦.
3

(2)和积转换法:利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. ( sin? ? cos? 、 sin? ? cos? 、 sin ? cos? 三个式子知一可求二) π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=…. (4)齐次式化切法:已知 tan? ? k ,则 3、三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤: 去负——脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

a sin ? ? b cos? a tan? ? b ak ? b ? ? m sin ? ? n cos? m tan? ? n mk ? n

C.双基自测
1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2 答案 D ).

1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α= , 2

1 3 ∴sin α=- .∴cos α=± 1-sin2α=± . 2 2 ).

2.点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ),

∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C

cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, 4 3.已知 cos α= ,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 5 4 A. 3 3 B. 4 4 C.± 3 ).

3 D.± 4 答案 B

3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α= ,∴tan α= = . 5 cos α 4 17π 17π 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ? A. 2 B.- 2 C.0 D. 2 2 ).

17π π 17π π 17π π 2 17π π 2 解析 cos?- 4 ?=cos =cos?4π+4?=cos = , ?- 4 ?=-sin =-sin?4π+4?=-sin =- . sin? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 4 2 17π 17π 2 2 ∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= + = 2. ? ? ? ? 2 2 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 答案 A

4

sin α 1 2 5 2 2 解析 由题意知 cos α<0, sin α+cos α=1, α= 又 tan =- .∴cos α=- . cos α 2 5

2 5 答案 - 5

D.考点解析 考点一 利用诱导公式化简、求值
sin?π-α?cos?2π-α? 31π 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? 3 ?. ? ? π sin?2+α?tan?π+α? ? ? [审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. 解 sin αcos α f(α)= =cos α, cos αtan α 31π π 31 π 1 ∴f? 3 ?=cos π=cos?10π+3?=cos = . ? ? ? ? 3 3 2

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能 简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. π cos?2+α?sin?-π-α? ? ?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. ?11π-α?sin?9π+α? cos? 2 ? ?2 ? ?-sin α?sin α y 3 解析 原式= =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α= =- . x 4 ?-sin α?cos α 3 答案 - 4

考点二 同角三角函数关系的应用
题型 1:已知一个三角函数值,求其他三角函数值

【例 2-1】?已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( 2



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A

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1? 3 2

B

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C

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D

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1? 3 2

sin ? ? ? 3 1 3? 1 ?tan ? ? ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ? , ? ? ? ? 解析: ? 由 ∵ , cos? ? ? ∴ cos? 4 2 2 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?
∴ sin ? ? ? 1 ? cos
2

? ??

3 ?1? 3 .∴ cos? ? sin? ? .故选 B 2 2

题型 2:齐次化切法 【例 2-2】?已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.

[审题视点] (1)齐次化切法,方法:同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α.
5



2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. sin2α+cos2α tan2α+1 4+1

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=

sin α+3cos α 【训练 2-2】 已知 =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 解析 依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α 22-2 2 ∴sin2α-sin αcos α= = = 2 = . sin2α+cos2α tan2α+1 2 +1 5 答案 2 5

(1)关于 sin α,cos α 的齐次式(分子、分母中的各项的方次相同) ,往往化为关于 tan α 的式子. (2)具体方法:分子分母同除 cos α; (或同除 cos2α.).(必要时添加 1=sin2α+cos2α) 题型 3:sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 三个式子知一求二 【例 2-3】已知 sin ? ? cos? ?
3 3

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求(1) sin? ? cos? ; (2) tan? 5
3 3 2 2

(3) sin ? cos ? (利用乘法公式: a ? b ? (a ? b)( a ? ab ? b )

1 1 24 ,两边平方得: 1 2 sin ? cos? ? + ? 2 sin ? cos? ? ? 5 25 25 49 49 ∴ 1 2 sin ? cos? ? ② - ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 25 25 24 ∵ 2 sin ? cos? ? ? ? 0 且 0 ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0, cos? ? 0 ,即 ? 是第二象限角 25 7 ∴ sin ? ? cos? ? 0 ,∴由②得 sin ? ? cos? ? ③ 5 1 7 4 3 (2) sin ? ? cos? ? 、 sin ? ? cos? ? 两式相加,得 sin ? ? ,两式相减得 cos? ? ? 5 5 5 5 4 ∴ tan ? ? ? 3 7 12 91 3 3 2 2 (3) sin ? cos ? ? (sin ? ? cos? )(sin ? ? sin ? cos? ? cos ? ) ? ? (1 ? )? 5 25 125 1 ? 【训练 2-3】已知 sin ? ? cos? ? ,0 ? ? ? ,求(1) sin? ? cos? ; (2) sin? ? cos? 8 4
解析: (1)∵ sin ? ? cos? ? (3) sin ? ? cos ? ;
2 2



解析: (1) (sin ? ? cos? ) ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? 2 ?
2

5 1 5 ? ,∴ sin ? ? cos? ? 2 8 4

(2) (sin ? ? cos? ) ? 1 ? 2 sin ? cos? ?
2

3 , 4
3 2

∵0 ?? ?

?
4

,由三角函数线知 sin? ? cos? ,∴ sin ? ? cos? ? ?

6

(3) sin ? ? cos ?=(sin ? ? cos? )(sin ? ? cos? ) ? ?
2 2

15 4

(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式 的值可求. (2)转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α.

自我检测题
1.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第__________象限的角. |sinx| cosx |tanx| 2.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 3.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα= 3 ,则 a 的值为________. 4

4.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是______________. 5.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 6.若 α=k· +45° 180° (k∈Z),则 α 是第________象限. 7.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. 10π 8. cos =________. 3 3 π 9.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 4 10.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 π 3 π 11.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 5sinx-cosx 12.已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 13.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 3 π sin2α 14.已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α sinα+cosα 15.若 tanα=2,则 +cos2α=_____________. sinα-cosα π 16.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=______________. 2 17.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. π 1 7π 18.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 19.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________. 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 20.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α)

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