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【数学05】高考数学三角函数典型例题 15


三角函数典型例题
1 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

/>
1 , 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

(Ⅱ ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
2 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
【解析】:(I)∵ (2a-c)cosB=bcosC,
2

∴ (2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵ A+B+C=π,∴ 2sinAcosB=sinA. ∵ 0<A<π,∴ sinA≠0.

0

0

7

0

3

1 ∴ cosB= . 2
∵ 0<B<π,∴ B=

1

6

? . 3
2? ) 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A. =-2sin2A+4ksinA+1,A∈ (0, 设 sinA=t,则 t∈(0,1] . 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈(0,1] . ∵ k>1,∴ t=1 时, m ? n 取最大值.

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依题意得,-2+4k+1=5,∴ k=

3 . 2

3 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. sin

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

II. 16 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab ,? ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取等号, 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
4 .在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ?

?

?

3 , 4

(1)求 cosC , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

27 ,求边 AC 的长? 2
2

【解析】:(1) cos C ? cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 2 ?

9 1 ?1 ? 16 8

1 3 7 3 7 由cosC ? , 得 sin C ? ;由cos A ? , 得 sin A ? 8 8 4 4 ? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cosC ?
27 27 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 ① 2 2 a c 3 ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a 又 ② sin A sin C 2
(2) BA ? BC ? 由① ② 解得 a=4,c=6

7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?
? b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

9 ? 25 16

2 5 .已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
【解析】:(Ⅰ )由所给条件,方程 x
2

? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .

∴tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3
?

? (Ⅱ )∵ A ? B ? C ? 180 ,∴C ? 180 ? ( A ? B) .

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由(Ⅰ )知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

∵C 为三角形的内角,∴sin C ?

2 2
3 , 10

∵tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴sin A ?

由正弦定理得: ∴BC ?

AB BC ? sin C sin A

5 3 ? ?3 5. 2 10 2
A . B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量

6

. 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角

B ? ? m? 2 s i Bn ? , ,n ? 3 ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?
【解析】:(1) m / / n ?

?

?

B 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= ,∴ 锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B= 或 3 6

π ① 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴ △ ABC 的面积最大值为 3 5π ② 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ ac≤4(2- 3) 1 1 ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= acsinB= ac≤ 2- 3 2 4 ∴ △ ABC 的面积最大值为 2- 3
7 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

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【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

1 4

sin 2

1 A?C +cos2B= ? 4 2

(2)由 cos B ?

1 15 b=2, , 得 sin B ? . ∵ 4 4
8

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

15 1 S△ ABC= acsinB≤ (a=c 时取等号) 2 3

故 S△ ABC 的最大值为

15 3

sin( ? ? ) 4 8 .已知 tan? ? a, (a ? 1) ,求 ? tan 2? 的值? ? sin( ? ? ) 2
【解析】

?

2a ; 1? a

3? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ? ? 9 .已知 f ?? ? ? 3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?
(I)化简 f

?? ?
? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ?? ? 的值? ? 2 ? 5

(II)若 ? 是第三象限角,且 cos ?
【解析】

10.已知函数 f(x)=sin x+

2

3 sinxcosx+2cos2x,x ? R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈ R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2
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3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

6

,k ? Z,

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 得到 y ? sin(2 x ?

?
6

? 个单位长度, 12
3 个单位长度, 2

) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移

就得到 y ? sin(2 x ?
11.已知 a ? ?

?

3 ) ? 的图象? 6 2

? 3 3? ?x ?x ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f ( x) 的单调递减区间? (2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g ( x) 的最大值?

4 3

【解析】:(1)

f ( x) ?
?[

3 ?x 3 ?x ?x ? sin ? cos ? 3 sin( ? ) 2 4 2 4 4 3
3? ? 2k? ] 时, f ( x) 单调递减 2

∴ 当

?x
4

3 2 10 22 ? 8k ] 时, f ( x) 单调递减? 解得: x ? [ ? 8k , 3 3

?

?

?

? 2k? ,

(2)∵ 函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称 ∴g ( x ) ? f ( 2 ? x ) ?

? ? ( 2 ? x) ? ? 3 sin ? ? ? 3? ? 4

?? ?x ? ? ? ?x ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ?2 4 3? ? 4 3?
∵x ? [0, ] ∴

4 3

?x
4

?

?

? ? 2? ? ?? , ? 3 ?3 3 ? 3 2

∴cos?

1 1 ? ?x ? ? ? ? ? [? , ] 2 2 ? 4 3?

∴x ? 0 时, g max ( x) ?

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12.已知 cos ? ? ?2sin ? ,求下列各式的值;

(1)

2sin ? ? cos ? ; sin ? ? 3cos ?
2

(2) sin ? ? 2sin ? cos ?
【解析】: Q cos ? ? ?2sin ? ,? tan ? ? ?

1 2

? 1? 2 ? ? ? ? ?1 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? 2? ? ?4 (1) ? ? 1 sin ? ? 3cos ? tan ? ? 3 5 ? ?3 2
(2) sin ? ? 2sin ? cos ? ?
2

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ?
2

? 1? ? 1? ? ? ? 2?? ? ? ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? 2 ? ? 2? ? ?3 ? ? 2 2 tan ? ? 1 5 ? 1? ? ? ? ?1 ? 2?
13.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b)

(I)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 f ( x ) ?
【解析】

3 成立的 x 的取值集合? 2

14.已知向量 m

? (cos? ?

? 2 ,?1) , n ? (sin? ,1) , m 与 n 为共线向量,且 ? ? [ ? ,0] 2 3

(Ⅰ )求 sin ? ? cos ? 的值;

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(Ⅱ )求

sin 2? 的值.? sin ? ? cos ?

【解析】:(Ⅰ )

? m 与 n 为共线向量, ? (cos? ?
2 3
2

2 ) ? 1 ? ( ?1) ? sin ? ? 0 , 3

即 sin ? ? cos? ?

(Ⅱ ) ? 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ?

2 7 ,? sin 2? ? ? 9 9

? (sin ? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ,
? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ? (
又? ? ? [ ?

2 2 16 ) ? 3 9
4 3

?

2 sin 2? 7 ? 因此, sin ? ? cos ? 12

,0] ,? sin ? ? cos ? ? 0 , sin ? ? cos ? ? ?

15.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座

灯塔的塔顶?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km?试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等 , 然后求 B,D 的距离 ( 计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
【解析】:在 ?ACD 中, ?DAC =30° , ?ADC =60° - ?DAC =30° ,
0

0

0

所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180° -60° -60° =60° , 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中,

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B.D 的距离约为 0.33km?
16.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个

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交点之间的距离为

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ )当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 【解析】 : (1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2) x ? [ , ],      12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深

17 . 如 图 , 为 了 解 某 海 域 海 底 构 造 , 在 海 平 面 内 一 条 直 线 上 的 A,B,C 三 点 进 行 测 量 , 已 知

CF ? 110m ,求∠ DEF 的余弦值?
【解析】:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150
在 ?DEF 中,由余弦定理,

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 cos ?DEF ? ? ? 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65
18.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? ,? ? ( , ? ) , 5 2
第 8 页 共 15 页

3 3 4 4 求(1) sin ? ? cos ? (2) sin ? ? cos ? (3) sin ? ? cos ?

7 91 337 (2) sin 3 ? ? cos 3 ? ? (3) sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5 125 625 19.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的一段图象
【解析】 : (1) sin ? ? cos ? ?

如图所示, (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。

2 ? ? ?2 ? 【解析】 : (1)由图象可知: T ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2? ? 2 ; A ? ?2 ? ?? ?8 2 T ? 8 ?? ?

? ? ? , 2 ? 为“五点画法”中的第二点 ? 8 ? ? 3? ? ?? 3? ? ∴2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 所求函数解析式为: y ? 2sin ? 2x ? ? ? 2 4 4 ? ? 8? ?
∴ y ? 2sin ? 2x ? ? ? ,又∵? ?

? ? ? (2)∵ 当 2 x ? 3? ? ? ? ? ? 2k?, ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, f ? x ? 单调递增 4 ? 2 2 ? 5 ? ? 5? ? ? ? ? ? ∴2 x ? ? ? ? 2k?, ? ? 2k? ? ? x ? ? ? ? k?, ? ? k? ? ? k ? Z ? 4 8 ? 4 ? ? 8 ?
20.已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量 m ? (1 ? cos( A ? B), cos

5 A? B 9 n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? . 8 2 8 (Ⅰ )求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ )求 2 的最大值. a ? b2 ? c2 9 5 9 2 A? B ? 【解析】 (Ⅰ )由 m ? n ? ,得 [1 ? cos( A ? B)] ? cos 8 8 2 8 5 1 ? cos( A ? B) 9 ? 即 [1 ? cos( A ? B)] ? 8 2 8
也即 4 cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B) ∴4 cos A cos B ? 4 sin A sin B ? 5 cos A cos B ? 5 sin A sin B ∴9 sin A sin B ? cos A cos B
21.已知函数 f ( x) ? (1 ? tan x)[1 ?

A? B ), 2

∴tan A tan B ?

2 sin( 2 x ?

?
4

1 9

)] ,求:

(1)函数 f ( x) 的定义域和值域;

(2)写出函数 f ( x) 的单调递增区间。

【解析】:

? ?? ? sin x ?? f ( x) ? ?1 ? ??1 ? 2 sin 2 x cos ? 2 cos2 x sin ? 4 4? ? cos x ??

? sin x ? 2 ? ?1 ? ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 2?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ? cos x ? ?
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?

?

? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 cos 2 x
(Ⅰ )函数的定义域 ? x | x ? R, x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

? 2 x ? 2k? ? ? , k ? Z
函数 f ( x) 的值域为 ?? 2,2?

? 2 cos 2 x ? ?2,

(Ⅱ )令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? , (k ? Z ) 得 k? ? ∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

?
2

? x ? k? (k ? Z )

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) 2 ?

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距

离为 0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针 转动 ? 角到 OB .设 B 点与地面距离为 h . (1)求 h 与 ? 的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 80 秒到达 OB ,求 h .

【解析】 : (1)∵h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) ,

∴h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0) (2)∵? ?
23.设函数

? ? 8? 8? 2? ? t ,∴? ? ? 80 ? ? 8 (m) ,? h ? 5.6 ? 4.8 cos ? ,? ? 30 30 3 3 60 30

f ( x) ? a ? b, 其中向量 a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x ? m).

[0, ? ] 上的单调递增区间; (1)求函数 f ( x)的最小正周期和在
(2)当 x ? [0,

?
6

]时,?4 ? f ( x) ? 4恒成立 , 求实数 m 的取值范围。
2

【解析】 : (1)? f ( x) ? 2 cos x ?

3 sin 2 x ? m ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? m ? 1,

?函数f ( x)的最小正周期T ?

2? ? ? .???? 4分 2 ? 2? 在[0, ? ]上单调递增区间为 [0, ],[ , ? ].???? 6分 6 3

(2)当 x ? [0,

?
6

]时,? f ( x)递增,?当x ?

?
6

时, f ( x) max ? m ? 3 ,

第 10 页 共 15 页

当x ? 0时, f ( x) min ? m ? 2, ????8分 ?m ? 3 ? 4, 由题设知? ????10分 ?m ? 2 ? ?4, 解之, 得 ? 6 ? m ? 1.????12分
24.已知函数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
【解析】 (Ⅰ )∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

?π π?

π

π



? ?

π? ? ≤3 , 3?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ )∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
25.在锐角△ ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b
2

? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ ABC 面积 S 的最大值?
【解析】:(I)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

又在锐角△ ABC 中,所以 A=60° ,[不说明是锐角△ ABC 中,扣 1 分] (II)因为 a=2,A=60° 所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

而 b ? c ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4
2 2

第 11 页 共 15 页

又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

所以△ ABC 面积 S 的最大值等于 3
26.甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作匀速直线航行,速度为

15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛出发,朝北偏东 θ( ? ? arctg 1 ) 的方向作匀速直线航
2

行,速度为 10

5 浬/小时.(如图所示)

(Ⅰ )求出发后 3 小时两船相距多少浬? (Ⅱ )求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬? 【解析】 :以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2).
? x ? 15 2t cos 45? ? 15t 则? 1 ?? 2分 ? y1 ? x1 ? 15t 1 2 5 5 由? ? arctg 可得, cos? ? , sin ? ? , 2 5 5
x 2 ? 10 5t sin ? ? 10t y 2 ? 10 5t cos? ? 40 ? 20t ? 40???? 5分

(I)令 t ? 3 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
| PQ |? (45 ? 30) 2 ? (45 ? 20) 2 ? 850 ? 5 34 .

即两船出发后 3 小时时,相距 5 34 锂 (II)由(I)的解法过程易知:
| PQ |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (10t ? 15t ) 2 ? (20t ? 40 ? 15t ) 2 ??10分 ? 50t 2 ? 400t ? 1600 ? 50(t ? 4) 2 ? 800 ? 20 2

∴ 当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 小时时,相距 20

2

2 海里为两船最近距离.
(tanA-tanB)=1+tanA· tan B.

27.在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且

(1)若 a2-ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围.
【解析】

?

?

?

?

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28.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在点 A

及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为

C

120 .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用
了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长 (精确到 1 米) . 【解析】解法一:设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得 CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠ CDO= 60
0

A
1200

D
O

在 ?CDO 中, CD2 ? OD2 ? 2 ? CD ? OD ? cos600 ? OC 2 , 即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ?
2 2

1 ? r2, 2
C H

解得 r ?

4900 ? 445 (米) 11
0

解法二:连接 AC,作 OH⊥ AC,交 AC 于 H 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) , ?CDA ? 120
A
120 0

在?ACD中, AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 1 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ? ? 7002 , 2



O

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∴AC=700(米)

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 cos ?CAD ? ? . 2 ? AC ? AD 14
(米) , cos ?HA0 ? 在直角 ?HAO中, AH ? 350
∴ OA ?

11 , 14

AH 4900 ? ? 445 (米) cos ?HAO 11

29.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) .

(1)求 tan? 的值; (2)定义行列式运算

a b sin ? ? ad ? bc ,求行列式 1 c d

tan ? 的值; cos ?

(3)若函数 f ( x) ? 求函数 y ? 3 f (

cos( x ? ? ) ? sin ? ( x ? R ), sin( x ? ? ) cos ?

?
2

? 2x) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值

【解析】:(1)∵ 角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,

∴tan ? ? ? (2) sin ? ?

3 . 3

3 1 , cos ? ? ? . 2 2

sin ? 1

tan ? 3 3 3 . ? sin ? cos ? ? tan ? ? ? ? ? cos ? 4 3 12

(3) f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x ( x ? R ), ∴ 函数 y ? 3 cos(

?
2

? 2 x) ? 2cos2 x

? 3sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ( x ? R ), 6
∴ ymax ? 3 , 此时 x ? k? ?

?

?
6

(k ? Z) .

30.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos2 x .

? ?? (Ⅰ )求函数 f ? x ? 的最小正周期;(Ⅱ )当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,并写出 x 相应的取值. ? 2?
【解析】:(Ⅰ )因为 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos 2x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos 2x

? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

( ) =1+ 2 sin(2 x ? ) 4

?

所以, T ?

2? ? ? ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 2

第 14 页 共 15 页

(Ⅱ )因为 0 ? x ?

?
2

,得

?
4

? 2x ?

?
4

?

2 ? 5? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以有 ? 2 4 4

?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ,即 0 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 4 4
所以,函数 f ? x ? 的最大值为 1 ? 2 此时,因为

?

?

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? ? ? ? ,所以, 2 x ? ? ,即 x ? 4 4 2 8

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