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2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案


2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 2011.5.22 第一试 一﹑填空题( 一﹑填空题(每小题 8 分,共 80 分) 填空题 1.已知集合 M={2,0,11},若 A ? M ,且 A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合 A 的个


数为

5

. .

2.设

a、b 都是正实数, A =

a+b 2 ,B = .若 A+B=a-b,则 a/b 的值是 3 + 2 3 1 1 2 + a b 1 ? sin θ + cos θ 1 ? sin θ ? cos θ π 3.满足 + = 2 的最大负角 θ 的弧度数为 . 1 ? sin θ ? cos θ 1 ? sin θ + cos θ 2
2

4.设斜率为 2

的直线 l 与椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q 在轴 a2 b2

上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 2

2

.

5.如图所示的数阵中, 每行的三个数依 次成 等差数列,每列的 三个 数也依次成等差 数列.

? a1 1 a1 2 a 1 3 ? ? ? ? a 21a 22 a 23 ? ?a a a ? ? 31 32 33 ?
若 a22 = 2 ,则所有这 9 个数的和等于 18 .
C B

6.如图,矩形 OABC 的四个顶点的坐标依次为(0,0)、( 2π ,0)、 ( 2π ,2)、(0,2),记 BC 边与函数 y =1+ cos x(0 ≤ x ≤ 2π ) 的图像

?
A

围成的区域(图中阴影部分)为 ? .若向矩形 OABC 内任意投一 O 点 M,则点 M 落在区域内 ? 的概率是 7.设函数
q ?1 ? p ( x = p ), ? 其中 f (x) = ? q ? 0 ( x ≠ ), ? p ?

1/2

.

1 p、 互质(素),且 p ≥ 2 .则满足 x ∈ [0,1] ,且 f ( x) > 的 x 值的个 q 5

数是

5

. 17 .

8.已知 p、q 都是质数,且 7p+q 和 2q+11 也都是质数.则 p q + q p 的值是

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9.在侧棱长和底面边长都为 4 的正四棱锥 P-ABCD 的表面上与顶点 P 的距离为 3 的动点所形 成的所有曲线段的长度之和为 6π .

10.现代社会对破译密码的要求越来越高.在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进 行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的 26 个字母 a,b,c, …,z(不论大小写)依次 对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见下表: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ? x +1 ? 2 , x为奇数,且1 ≤ x ≤ 26 ? 给出明码对应的序号 x 和密码对应的序号 y 的变换公式: y = ? .利 x ? + 13, x为偶数,且1 ≤ x ≤ 26 ?2 ? 用它可将明码转换成密码,如 5 →
5 +1 8 = 3 ,即 e 变成了 c, 8 → + 13 = 17 ,即 h 变成了 q. 2 2

按上述公式,若将某明码译成的密码是 shxc,那么,原来的明码是 love

.

第二试 二﹑解答题: 解答题: 解答题 1.(本题满分 20 分)
1 π 设函数 f ( x) = cos x cos( x ? θ ) ? cos θ , x ∈ R, 0 < θ < π .已知当 x = 时, f ( x) 取得的最大值. 2 3 2π 1) 求 θ 的值;( ) 3 3 π 1 1 2) 设 g ( x) = f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最小值.( [? , ] ) 2 3 4 2

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2.设 P 为直线 y = x ? 2 上的动点,过点 P 作抛物线 y = 1)求证:直线 AB 过定点;(1,2)

1 2 x 的切线,切点分别为 A,B. 2

2)求 ?PAB 面积 S 的最小值,以及取得最小值时 P 点的坐标.

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3.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 ∠ABD = 60o ,AE=AD.延长 AB ﹑DC 交于点 F,求证:点 B 为 ?CEF 的外心.
D C E A F B

4.如图 4,M 为 ?ABC 的中线 AD 的中点,过点 M 的直线分别交两边 AB﹑AC 于点 P﹑Q,设
uuu r uuu uuur r uuur AP = x AB, AQ = y AC ,记 y = f ( x) .

1)求函数 y = f ( x) 的表达式;( y =

x (0 < x < 1) ) 4x ?1 1 2)设 g ( x) = x3 + 3a 2 x + 2a, x ∈ [0,1] .若对任意 x1 ∈ [ ,1] ,总存在 x2 ∈ [0,1] ,使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立, 3
A

求实数 a 的取值范围.

Q P B M C

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(?1)[ 5.设正整数 n ≥ 4 ,求证: 0 < 4

4]

(?1)[ + 5

5]

(?1)[ + ??? + n

n]

< 1 其中,[ x ]表示不超过实数 x 的最

大整数.

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