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任意角的三角函数-弧度制-同角三角函数的基本关系专题讲义+练习


任意角

三角函数的定义

弧度制 同角三角函数的关系

☆ 对“角”的认识: 1. 角的概念 角可以看成是由一条射线(起始边)旋转到一个新的位置(终边)所形成的图形。 注:我们一般约定以原点和 x 的正半轴组成的射线为起始边。 我们规定: 终边 (1)逆时针旋转得到的角是正角。 (2)顺时针旋转得到的角角负角。 起始边

(3)一条射线没有作任何旋转,就把它叫做零角。 做一做①: 与 30 终边相同的角有________ 个, 0 请写出四个与 30 终边相同的角 (要求两个正角, 两个负角) _____ ,_____ ,______ , ______ 。 理解角的概念应注意: (1)注意分清正角和负角; (2)角具有无界性;意思是说任意角的范围是 (??,??) 0 (3)角具有周期性: 终边相同的角不一定相等;终边相同的角相差 360 的整数倍。 2. 终边相同的角的表示: 0 启问: 与 30 终边相同的角如何用一个式子表示? 解答: 把与 30 终边相同的所有角看成一个集合,这个集合可表示为: ? ? ? 30 ? k ? 360 , k ? Z
0 0

?

0

0

?

于是我们有: 与任意角 ? 终边相同的所有的角构成一个集合,这个集合可表示为: 例如:与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___。 3、弧度制 (1)定义:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做 1 弧度 。
?

1 弧度记作 1 rad ;1 弧度(1rad) ? 57.3 . (2) 弧度制与角度制之间的转化, 记住核心关系: ? ? 180 0
?

弧度制相比角度制的优点在于: ① 公式的表达更简洁; ② 可以省略单位不写,与实数集建立了一一对应关系,可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。 常用角的互化:
角度 弧度

0

0

30

0

45

0

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

2?

2 ☆ 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R

2

2

例如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

例: (1)已知扇形的周长为 20cm ,面积为 9 cm , 求扇形圆心角的弧度数; 0 (2)若扇形的圆心角为 75 ,半径为 15cm ,求扇形的面积; (3)若扇形的周长为 60cm ,那么当它的圆心角为多少时,扇形的面积最大?

2

1

☆ 角与角的位置关系的判断 (1) 终边相同的角 (2) 对称关系的角 (3) 满足一些常见关系式的两角

? 是第___ __象限角 2 (1) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (2) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ? , k ? Z ; 2 k? ,k ?Z . ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? 2 ? 例如: ? 的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 6
例如:若 ? 是第二象限角,则 ☆ 三角函数的定义: 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系,又有区别。 定 义 : 设 ? 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 ? 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 ) ,它与原点的距离是

r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , r r x

三角函数值只与终边的位置有关,而与终边上点 P 的位置无关。

例如: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin? ? cos? 的值为__。 (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ? 7. 同角三角函数的基本关系式:

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是_______ 4?m

2 2 2 2 2 ? 同角三角函数的基本关系式的 ,1 ? cot ? ? csc2 ? (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? 主要作用是:已知一个角的三角函数 sin ? cos ? (2)商数关系: tan ? ? , cot ? ? 值,求此角的其它三角函数值。

cos ?

sin ?

做一做:

1 ,求 cos? , tan? 的值; 3 1 (2) 已知 cos? ? ? ,且 ? 在第三象限,求 sin ? , tan? 的值; 2 (3) 已知 tan? ? ?2 ,且 ? 在第二象限,求 sin ? , cos? 的值。
(1) 已知 sin ? ?

2

8. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 规律: ① 同角的正弦和余弦成平方关系; ② 若 ? 与 ? 互余, 则一个角的余弦等于另 一个角的正弦,一个角的正弦等于另一个 角的余弦;

sin ?

1 2

2 2

cos?
tan ?
课堂练习:

(1)若 0 ? 2x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是__
2

__

m?3 4 ? 2m ? , cos? ? ___ ( ? ? ? ? ) ,则 tan? =_ m?5 m?5 2 tan? sin ? ? 3 cos? 2 (3)已知 =___; sin ? ? sin? cos? ? 2 =___ ? ?1 ,则 tan? ? 1 sin ? ? cos?
(2)已知 sin? ? (4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于
? ?

_

A、 ? 课堂练习:

a 1? a2

B、

a 1? a2

1? a2 C、 ? a

1? a2 D、 a

1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 2.

m求 ? sin 2 ,x 且 m ? 已知 sin x ? cos x ? m, (, ? cos x 1)
sin? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? = cos?

3.若角 ? 的终边在直线 y=-x 上,则
1 有意义的 x 的集合为 sin x

.

4.使 tanx-

.

α 4 α 5.已知α 是第二象限的角,且 cos =- ,则 是第 2 5 2

象限的角.

任意角的三角函数练习题
一、选择题

1. 设 ? 角属于第二象限,且 cos
A. 第一象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3

2.

给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④
0 0

sin

7? cos? 10 . 其中符号 17? tan 9

为负的有( A. ① 3.

) B. ② C. ③ ) D. ④

2 0 s in 120 等于(

A.

?

3 2

B.

3 2

C.

?

3 2

D.

1 2


4.

已知 sin ? ? A.

?

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

5π 3π 5.若θ ∈( , ) ,则 1-2sinθ cosθ 等于 4 2 A.cosθ -sinθ C.sinθ -cosθ 1 6.若 tanθ = ,则 cos2θ +sinθ cosθ 的值是 3 6 A.- 5 4 B.- 5 C. 4 5 D. 6 5 B.sinθ +cosθ D.-cosθ -sinθ

三、解答题
1. 已知 tan ? ,

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? ? ,求 cos ? ? sin ? 2 tan ?

的值.

2.

m-n 设 cosθ = (m>n>0),求θ 的其他三角函数值. m+n

3.证明(1)

1+2sinθcosθ 1+tanθ = cos2θ-sin2θ 1-tanθ
4

(2)tan2θ -sin2θ =tan2θ sin2θ

《任意角的三角函数练习题》参考答案
一、选择题 1. C

2k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 而 cos

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

? 0 ,?

? 在第三象限; 2

2.

C

sin(?10000 ) ? sin 800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0

tan(?10) ? tan(3? ? 10) ? 0 ;

sin

7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9

3. 4.

B A

sin 2 1200 ? sin1200 ?

3 2

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3
6.D 当 ? 是第二象限角时,sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第三象限角时,sin ? ? 0,cos ? ? 0 ; 当 ? 是第四象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;

5. A 二、填空题 1. 四、三、二

2.



17 ? 1? 7 sin ? M P? 0 , c o s ? O M ? 18 18
4.{x|x∈R 且 x≠
k? 2

0
5.三

3.0 三、解答题 1. 解:? tan ? ?

,k∈Z}

1 1 7 ? k ? 2, ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 tan ? tan ?

5

得 tan ? ? 1,则 sin ? ? cos ? ? ? 2. m-n 解:∵m>n>0,∴cosθ = >0 m+n ∴θ 是第一象限角或第四象限角. 当θ 是第一象限角时: sinθ = 1 ? cos ? ? 1 ?
2

2 ,? cos ? ? sin ? ? ? 2 . 2

( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ( m ? n) 2 2 ? mn = 2 2 m?n ( m ? n) ( m ? n)

tanθ =

sin? 2 ? mn cos? m ? n
2

当θ 是第四象限角时: sinθ =- 1 ? cos ? ? ? tanθ =

sin? 2 ?? mn cos? m?n

2 mn m?n

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? cos? 3. (1)证明:左= (cos? ? sin? )(cos? ? sin? )

cos? ? sin? (sin? ? cos? ) 2 cos? ? sin? cos? = = = cos ? ? sin? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) cos? ? sin? cos?
(∵cos θ ≠0,∴分子、分母可同除以 cosθ ) = 1+tanθ =右,证毕. 1-tanθ

还可用其他证法. (2)证明:左=

sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? 2 - sin θ = cos2 ? cos2 ?

sin 2 ? (1 ? cos2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? = = =tan2θ sin2θ =右,证毕. 2 2 cos ? cos ?
4. 解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?
2

m2 ? 1 , 2

(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? (2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2( 2 2
4 4 2 2

6


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