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函数单调性第一课时说课课件11


1.3.1-1《函数的单调性》 说课课件

一、教材分析
教材内容
教材所处地位、作用 教学目标 重点与难点

本节课是人教版第二章《函数概念和 基本初等函数Ⅰ》§2.1.3函数简单 性质的第一课时,该课时主要学习增函 数、减函数的定义,以及应用定义解决 一些简单问题.

函数的性质是研究函数的

基石,函数的单调性是 首先研究的一个性质. 通过对本节课的学习,让学生领会函数单调性的 概念、掌握证明函数单调性的步骤,并能运用单调性 知识解决一些简单的实际问题.通过上述活动,加深 对函数本质的认识. 函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和 拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数 的单调性的基础.此外在比较数的大小、函数的定性 分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用,它 是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之 一.从方法论的角度分析,本节教学过程中还渗透了 探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法.

知识与技能:使学生理解函数单调性的概念, 掌握判别函数单调性的方法; 过程与方法:从实际生活问题出发,引导学 生自主探索函数单调性的概念,应用图象和单 调性的定义解决函数单调性问题,让学生领会 数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、 分析问题、解决问题的能力. 情感态度价值观:让学生体验数学的科学功 能、符号功能和工具功能,培养学生直觉观察、 探索发现、科学论证的良好的数学思维品质.

教学重点 (1)函数单调性的概念; (2)运用函数单调性的定义判断一些函 数的单调性.
教学难点 (1)函数单调性的知识形成; (2)利用函数图象、单调性的定义判断 和证明函数的单调性.

二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课,因 此,教法上要注意:

1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题, 为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离, 激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极 性.
2、在运用定义解题的过程中,紧扣定义中的 关键语句 ,通过学生的主体参与 ,逐个完成对 各个难点的突破,以获得各类问题的解决.

3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教 师的主导作用.具体体现在设问、讲评和规 范书写等方面,要教会学生清晰的思维、严 谨的推理,并成功地完成书面表达. 4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段,增 大教学容量和直观性.

在学法上:
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总 结、运用,培养学生发现问题、研究问题和 解决问题的能力.
2、让学生利用图形直观启迪思维,并通过 正、反例的构造,来完成从感性认识到理性 思维的一个飞跃.

三、教学过程
问题情境
定义形成

定义运用 问题讨论 课堂小结

如图为宿迁市2006年元旦24小时内的气温变化图.观 察这张气温变化图:

f(t2)
f(t1) t1 t2

问题1:怎样描述气温随时间增大的变化情况? 问题2:怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐渐升高”这一特征? 问题3:在区间[4,16]上,气温是否随时间增大而增大?

一、函数单调性定义 1.增函数

领悟: x,y同向变化

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

领悟:x,y反向变化

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就 说f(x)在区间D上是减函数

注意:
1 、 函数的单调性是在定义域内的某个

区间上的性质,是函数的局部性质;
2 、必须是对于区间D内的任意两个自

变量x1,x2;当x1<x2时,

总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增 函数和减函数.

设计说明
从学生熟悉的生活情境引入,让学生对函数 单调性产生感性认识,为引出单调性的定义打好 基础,有利于定义的自然生成,也揭示了单调性 最本质的东西. 函数单调性定义产生是本节课的难点 ,难 在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学 语言.通过问题的分解,引导学生步步深入,直 至找到最准确的数学语言来描述定义.这里体现 以学生为主体,师生互动合作的教学新理念.

二 巩固:定义运用
你能找出气温图中的单调区间吗?

单调增区间: [4,14] 单调减区间: [0,4] ,[14,24]

回顾
我们初中学过的函数
y y y

O

x

O

x

O

x

y ? ?2 x ? 2 y ? x ? 2x ? 3
2

1 y? x

设计说明
问题1利用函数的图象判断函数的单调性 和单调区间,即图象法. 问题2先从“形”上 去判断单调区间和单调性,再回归定义去, 从“数”的角度证明单调性,使学生认识到 “形”可帮助我们探索解题思路,而定义是 最终解决问题的基础. 规范解题过程、总结解题步骤是知识和 方法的提炼,也是对学生学习的指导.

例题

思考?

思考:观察反比例函数的图象.

1 这个函数的定义域是什么?
2 它在定义域I上的单调性怎样?

讨论

证明你的结论.

y

o

1 f ?x ? ? x
x

? 由图象知:函数在区间 ?? ?,??上不具有单调性。

证明:函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。
证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数, 且x1<x2,则
取值 作差 变形

f(x1)- f(x2)=
由于x1,x2

又由x1<x2得x2-x1>0

? ?0,??? 得x x >0,
1 2

1 1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x1 x2

所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 因此 f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。

定号 判断

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤:

1 任取 x1,x2∈D,且x1<x2;
2 作差 f(x1)-f(x2);

3 变形 ( 通常是因式分解和配方); 4 定号 ( 即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 下结论(即指出函数f(x)在 给定的区间D上的单调性).

我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。

k 练习:物理学中的玻意耳定律 p ? V (k为正常数 )告诉

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 V2 ? V1 k k 作差 p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0
定号



也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

k 所以,函数 p ? V , V ? (0,??)是减函数.

p(V2 ) ? p(V1 )

结论

四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利 用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调 性的证明一般分五步:

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

数学思想: 数形结合

通过学生的主体参与,使 学生深切体会到本节课的主要 内容和思想方法,从而实现对 函数单调性认识的再次深化.

作业布置

通过三个方面的 作业,使学生养成先 (1)阅读课本P34-P35 例2 看书,后做作业的习 惯.课后尝试是对课 堂知识的深化理解. (2)书面作业:课本P43 1、 4、7

课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 ? a) ? f (3 ? a) ,你知道 a 的 取值范围吗? 2 2、函数 y ? x ? bx ? c在[0,+∞ ) 是增函数,你能确定字母 b 的值吗?

说课完毕 敬请指导


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