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江苏省南通市如东县2013届九年级中考适应性训练(一模)数学试题及答案(word解析版)


江苏省南通市如东县 2013 届九年级中考适应性训练(一模)数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共计 30 分.在每小题所给的四个选项中,恰有一项是符合 题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上) 1. 分) (3 (2012?烟台) 的值是( ) A.4 B.2 C.﹣2 D.±2? 考点: 算术平方根. 专题: 常规题型. 分析: 根据算术平方根的定义解答. 解答: 解:∵22=4, ∴ =2. 故选 B. 点评: 本题考查了算术平方根的定义,是基础题,比较简单. 2. 分) (3 (2012?武汉)若 A.x<3 B.x≤3 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( C.x>3 ) D.x≥3

考点: 二次根式有意义的条件. 专题: 常规题型. 分析: 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 解答: 解:根据题意得,x﹣3≥0, 解得 x≥3. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 3. 分) (3 (1999?广州)函数 y=﹣x 的图象与函数 y=x+1 的图象的交点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

考点: 两条直线相交或平行问题. 专题: 计算题. 分析: 要想求函数 y=﹣x 的图象与函数 y=x+1 的图象的交点在第几象限,必须先求交点坐标,再判断. 解答: 解:根据题意得 ,

解得:



∵点(﹣ , )在第二象限,∴函数 y=﹣x 的图象与函数 y=x+1 的图象的交点在第二象限, 故选 B. 点评: 本题考查了求两个一次函数的交点问题,以及各象限内的点的符号问题. 4. 分) (3 (2012?呼伦贝尔)下列说法正确的是( )

A.

一个游戏中奖的概率是

,则做 10 次这样的游戏一定会中奖

B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径,应采用全面调查的方式 C. 一组数据 8,8,7,10,6,8,9 的众数和中位数都是 8 D.若甲组数据的方差是 0.1,乙组数据的方差是 0.2,则乙组数据比甲组数据波动小 考点: 方差;全面调查与抽样调查;中位数;众数;概率的意义. 分析: 根据概率的意义可判断出 A 的正误;根据抽样调查与全面调查意义可判断出 B 的正误;根据众数和 中位数的定义可判断出 C 的正误;根据方差的意义可判断出 D 的正误. 解答: 解:A、一个游戏中奖的概率是 ,做 10 次这样的游戏也不一定会中奖,故此选项错误; B、为了了解一批炮弹的杀伤半径,应采用抽样调查的方式,故此选项错误; C、一组数据 8,8,7,10,6,8,9 的众数和中位数都是 8,故此选项正确; D、若甲组数据的方差是 0.1,乙组数据的方差是 0.2,则乙组数据比甲组数据波动大; 故选:C. 点评: 此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差,关键是注意再找中位数时要把 数据从小到大排列再找出位置处于中间的数. 5. 分) (3 (2013?如东县模拟)若两圆的半径 r1,r2 是方程 x ﹣4x+3=0 的两个不等实数根,圆心距为 5, 则两圆的位置关系为( ) A.外切 B.内含 C.相交 D.外离 考点: 圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法. 分析: 首先根据根与系数的关系求得两根之和,然后和圆心距比较即可得到答案. 解答: 解:∵两圆的半径 r1,r2 是方程 x2﹣4x+3=0 的两个不等实数根, ∴r1+r2=4, ∵圆心距为 5, ∴两圆外离. 故选 D. 点评: 本题考查的是圆与圆的位置关系,根据根与系数的关系求得两根之和,从而确定两圆的位置关系. 6. 分) (3 (2013?如东县模拟)一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 4 的正三角形,俯视图是一 个半径为 2 的圆,那么这个几何体的全面积是( ) 2 2 A.8πcm B.10πcm C.12πcm2 D.16πcm2 考点: 圆锥的计算;由三视图判断几何体. 专题: 计算题. 分析: 易得这个几何体为圆锥,全面积=侧面积+底面积. 解答: 解:全面积=π×22+π×2×4=12πcm2. 故选 C. 点评: 考查圆锥的计算;用到的知识点为:有 2 个视图为三角形,另一个视图为圆的几何体是圆锥. 7. 分) (3 (2013?如东县模拟)如图,D 是 AB 边上的中点,将△ ABC 沿过 D 点的直线折叠,使点 A 落在 BC 上 F 处,若∠B=50°,则∠BDF 的大小为( )
2

A.50°

B.80°

C.90°

D.100°

考点: 翻折变换(折叠问题) . 分析: BD=AD=DF,所以△ BDF 为等腰三角形.运用内角和定理求解. 解答: 解:∵D 是 AB 边上的中点, ∴BD=AD=DF,∴∠DFB=∠B=50°. 根据翻折变换的特点可知,∠BDF=80°. 故选 B. 点评: 本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的 性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.

8. 分) (3 (2013?如东县模拟)如图,四边形 OABC 为菱形,点 B、C 在以点 O 为圆心的 ∠1=∠2,则扇形 OEF 的面积为( )

上,若 OA=1,

A.

B.

C.

D.

考点: 扇形面积的计算;菱形的性质. 分析: 首先算出扇形 OEF 的圆心角,然后根据扇形面积公式 S= 解答: 解:连接 OB, ∵四边形 OABC 为菱形,点 B、C 在以点 O 为圆心的 ∵OA=OB=AB, ∴三角形 ABO 为正三角形, ∴∠AOB=60°, ∴∠EOF=120°, ∴S 扇形= 故选 C. = × π×1= ,

计算.

上,若 OA=1,∠1=∠2,

点评: 本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识.

9. 分) (3 (2012?内江) 如图, 正△ ABC 的边长为 3cm, 动点 P 从点 A 出发, 以每秒 1cm 的速度, A→B→C 沿 的方向运动,到达点 C 时停止,设运动时间为 x(秒) ,y=PC ,则 y 关于 x 的函数的图象大致为(
2



A.

B.

C.

D.

考点: 动点问题的函数图象. 专题: 压轴题. 分析: 需要分类讨论:①当 0≤x≤3,即点 P 在线段 AB 上时,根据余弦定理知 cosA= ,所

以将相关线段的长度代入该等式,即可求得 y 与 x 的函数关系式,然后根据函数关系式确定该函数 2 2 的图象.②当 3<x≤6,即点 P 在线段 BC 上时,y 与 x 的函数关系式是 y=(6﹣x) =(x﹣6) (3 <x≤6) ,根据该函数关系式可以确定该函数的图象. 解答: 解:∵正△ ABC 的边长为 3cm, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3cm. ①当 0≤x≤3 时,即点 P 在线段 AB 上时,AP=xcm(0≤x≤3) ; 根据余弦定理知 cosA= ,

即 =
2



解得,y=x ﹣3x+9(0≤x≤3) ; 该函数图象是开口向上的抛物线; ②当 3<x≤6 时,即点 P 在线段 BC 上时,PC=(6﹣x)cm(3<x≤6) ; 2 2 则 y=(6﹣x) =(x﹣6) (3<x≤6) , ∴该函数的图象是在 3<x≤6 上的抛物线; 故选 C. 点评: 本题考查了动点问题的函数图象.解答该题时,需要对点 P 的位置进行分类讨论,以防错选. 10. 分) (3 (2013?如东县模拟)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 顺时针连续翻转 4 次,则点 A 所经过的路径长为( ) cm,将正方形 ABCD 在直线 l 上

A.4π cm

B.

π cm

C.

π cm

D.

π cm

考点: 弧长的计算;旋转的性质. 分析: 正方形 ABCD 在直线 l 上顺时针连续翻转 4 次,实际 A 点经过的路径有三段,其中一段以 4cm 为半 径, 圆心角为 90 的弧长, 另两段是以 2 cm 为半径, 圆心角为 90 的弧长, 然后根据弧长公式计算. 解答: 解:A 点经过的路径如图 因为正方形 ABCD 的边长为 cm, 所以 AC= AB= ×2 cm=4cm, 所以点 A 所经过的路径长= 故选 B. +2× =(2+2 )cm.

点评:

本题考查了弧长的计算:弧长= 方形和旋转的性质.

(n 为弧所对的圆心角的度数,R 为圆的半径) .也考查了正

二、填空题(本大题共 8 小题.每小题 3 分,共计 24 分.不需写出解答过程,请把正确答案直接填在答 题卡相应的位置上) 11. 分) (3 (2006?杭州)因式分解: (2x+1) ﹣x = (3x+1) (x+1) . 考点: 因式分解-运用公式法. 分析: 直接运用平方差公式分解因式,两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积. 2 2 解答: 解: (2x+1) ﹣x , =(2x+1+x) (2x+1﹣x) , =(3x+1) (x+1) . 点评: 本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键,本题难点在于把(2x+1)看作一 个整体.
2 2

12. 分) (3 (2013?如东县模拟)在﹣1,0, , .

,π,0.101101110 中任取一个数,取到无理数的概率是

考点: 概率公式;无理数. 分析: 由题意可得共有 6 种等可能的结果,其中无理数有: ,π 共 2 种情况,则可利用概率公式求解. 解答: 解:∵共有 6 种等可能的结果,无理数有: ,π 共 2 种情况, ∴取到无理数的概率是: = . 故答案为: . 点评: 此题考查了概率公式的应用与无理数的定义.此题比较简单,注意用到的知识点为:概率=所求情况 数与总情况数之比.

13. 分) (3 (2012?北京)若关于 x 的方程 x ﹣2x﹣m=0 有两个相等的实数根,则 m 的值是 ﹣1 . 考点: 根的判别式. 分析: 根据方程有两个相等的实数根,判断出根的判别式为 0,据此求出 m 的值即可. 2 解答: 解:∵关于 x 的方程 x ﹣2x﹣m=0 有两个相等的实数根, ∴△=0, ∴(﹣2) ﹣4×1×(﹣m)=0, 解得 m=﹣1. 点评: 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 14. 分) (3 (2013?如东县模拟)某厂一月份生产某机器 100 台,计划二、三月份共生产 280 台.设二、三 月份每月的平均增长率为 x,根据题意列出的方程是 100(1+x)+100(1+x) =280 . 考点: 由实际问题抽象出一元二次方程. 专题: 增长率问题. 分析: 等量关系为:二月份的生产量+三月份的生产量=280. 解答: 解:二月份的生产量为 100×(1+x) ,三月份的生产量为 100×(1+x) (1+x) ,那么 100(1+x)+100 2 (1+x) =280. 点评: 解决本题的关键是得到相应的等量关系,注意三月份的生产量是在二月份生产量的基础上得到的. 15. 分) (3 (2010?达州)如图所示,一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相 切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm) ,那么该光盘的直径是 10 cm.
2 2

2

考点: 切线的性质;勾股定理;垂径定理. 专题: 压轴题. 分析: 本题先根据垂径定理构造出直角三角形,然后在直角三角形中已知弦长和弓形高,根据勾股定理求 出半径,从而得解. 解答: 解:如图,设圆心为 O,弦为 AB,切点为 C.如图所示.则 AB=8cm,CD=2cm. 连接 OC,交 AB 于 D 点.连接 OA. ∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切, ∴OC⊥AB. ∴AD=4cm. 2 2 2 设半径为 Rcm,则 R =4 +(R﹣2) , 解得 R=5, ∴该光盘的直径是 10cm.

点评: 此题考查了切线的性质及垂径定理,建立数学模型是关键. 16. 分) (3 (2013?如东县模拟)如图,E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点,EF⊥DE 交 BC 于点 F.若 正方形的边长为 4,AE=x,BF=y.则 y 与 x 的函数关系式为 y=﹣ x +x .
2

考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: 由条件可以得出∠A=∠B,∠AED=∠EBF,从而得出△ ADE∽△BEF;可以得出 AE=x,BF=y 的值代入等式就可以表示出 y 的代数式. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠DAE=∠EBF=90°,AD=AB, ∴∠ADE+∠DEA=90°, ∵EF⊥DE, ∴∠AED+∠FEB=90°, ∴∠ADE=∠FEB, ∴△ADE∽△BEF; ∴ = .

=

,然后将

∵AD=AB=4, ∴BE=4﹣x, ∴ = ∴y=﹣ x +x. 故答案为:y=﹣ x +x. 点评: 本题考查了正方形的性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质的运用,得出 △ ADE∽△BEF 是解题关键. 17. 分) (3 (2010?双鸭山)Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2.以 AC 为一边,在△ ABC 外部作等腰 直角三角形 ACD,则线段 BD 的长为 2 或 4 或 2 或 . 考点: 勾股定理. 专题: 压轴题;分类讨论.
2 2

分析: 分情况讨论,①以 A 为直角顶点,向外作等腰直角三角形 DAC;②以 C 为直角顶点,向外作等腰 直角三角形 ACD;③以 AC 为斜边,向外作等腰直角三角形 ADC.分别画图,并求出 BD. 解答: 解:①以 A 为直角顶点,向外作等腰直角三角形 DAC,

∵∠DAC=90°,且 AD=AC, ∴BD=BA+AD=2+2=4; ②以 C 为直角顶点,向外作等腰直角三角形 ACD,

连接 BD,过点 D 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于 E. ∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACD=90°, ∴∠DCE=45°, 又∵DE⊥CE, ∴∠DEC=90°, ∴∠CDE=45°, ∴CE=DE=2× = , =2 , =2 ;

在 Rt△ BAC 中,BC= ∴BD= =

③以 AC 为斜边,向外作等腰直角三角形 ADC,

∵∠ADC=90°,AD=DC,且 AC=2, ∴AD=DC=ACsin45°=2× = ,

又∵△ABC、△ ADC 是等腰直角三角形, ∴∠ACB=∠ACD=45°, ∴∠BCD=90°, 又∵在 Rt△ ABC 中,BC= ∴BD= = 或 . =2 , = .

故 BD 的长等于 4 或 2

点评: 分情况考虑问题,主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.

18. 分) (3 (2013?如东县模拟)如图,平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1=x (x≥0)与 y2= 于 B、C 两点,过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 于点 D,直线 DE∥AC,交 y2 于点 E,则 = 3﹣

2

(x≥0) .

考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: 设 A 点坐标为(0,a) ,利用两个函数解析式求出点 B、C 的坐标,然后求出 AB 的长度,再根据 CD∥y 轴,利用 y1 的解析式求出 D 点的坐标,然后利用 y2 求出点 E 的坐标,从而得到 DE 的长度, 然后求出比值即可得解. 解答: 解:设设 A 点坐标为(0,a)(a>0) , , 2 则 x =a,解得 x= , ∴点 B( ,a) , =a, 则 x= , ∴点 C( ,a) , ∵CD∥y 轴, ∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同,为 2 ∴y1= =3a, ∴点 D 的坐标为( ,3a) , ∵DE∥AC, ∴点 E 的纵坐标为 3a, ∴ =3a,



∴x=3 , ∴点 E 的坐标为(3 ∴DE=3 ﹣ , = =3﹣



) ,



故答案为:3﹣ . 点评: 本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数图象上点的坐标特征,根据平行与 x 轴的点的纵坐 标相同,平行于 y 轴的点的横坐标相同,求出用点 A 的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键. 三、解答题(本大题共 10 小题,共计 96 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的演算步骤、 证明过程或文字说明) 19. (12 分) (2013?如东县模拟) (1)计算: tan30°

(2)解方程:



考点: 解分式方程;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: (1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用负指数幂 法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值化简,即可得到结果; (2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的 解. 解答: 解: (1)原式=2﹣ +1﹣(﹣3)+3× =2﹣ +1+3+ =6; (2)去分母得:1=x﹣1﹣3(x﹣2) , 去括号得:1=x﹣1﹣3x+6, 解得:x=2, 经检验 x=2 是增根,原分式方程无解. 点评: 此题考查了解分式方程, 解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解. 解 分式方程一定注意要验根.

20. 分) (8 (2013?如东县模拟) 化简代数式 (

﹣4) ÷

, x 满足 当

且为正整数时,求代数式的值. 考点: 分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解. 分析: 首先计算括号内的分式,然后把除法转化成乘法即可把式子化简,然后解不等式组确定 x 的值,代 入化简以后的式子即可求解. 解答: 解:原式= ÷

=

?

=x﹣2.其中 x≠0 且 x≠±2. 解不等式组得:﹣ ≤x<5,且 x 为正整数. ∴x=1. ∴原式=﹣1. 点评: 分式混合运算要注意先去括号;分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算. 21. 分) (8 (2013?如东县模拟)学校为了解全校 1600 名学生到校上学的方式,在全校随机抽取了若干名 学生进行问卷调查.问卷给出了五种上学方式供学生选择,每人只能选一项,且不能不选.将调查得到的 结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图.

(1)问:在这次调查中,一共抽取了 80 名学生; (2)补全频数分布直方图; (3)扇形统计图中“其他”圆心角度数为 18 度; (4)估计全校所有学生中有 520 人乘坐公交车上学. 考点: 频数(率)分布直方图;用样本估计总体;条形统计图. 专题: 图表型;数形结合. 分析: (1)由给的图象解题,根据自行车所占比例为 30%,而频数分布直方图知一共有 24 人骑自行车上 学,从而求出总人数; (2)由扇形统计图知:步行占 20%,而由(1)总人数已知,从而求出步行人数,补全频数分布直 方图; (3)用其他的百分比乘以 360 度即可; (4)自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为 100%,再由直方图具体人数 来相减求解. 解答: 解: (1)频数分布直方图和扇形统计图知: 自行车上学的人占 30%一共 24 人,设总人数为 x 人则, ∴ ∴x=80; (2)由扇形统计图知:步行占 20%,则步行人数为:20%×80=16(人) ,图形如图; (3)4÷80×360°=18°. (4)由图形知:坐私家车和其他工具上学的人为 14 人, 由(1)知一共 80 人, ∴乘坐公交车上学的人数为:1600÷80×26=520(人) . 故答案为 80,18°,520. ,

点评: 此题考查学生根据图形数据解题的能力,考查了用样本估计总体的方法,学会用概率来解决实际问 题. 22. 分) (8 (2013?如东县模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE∥AC,在 BG 上取点 E,连 接 DE 交 AC 的延长线于点 F. (1)求证:DF=EF; (2)如果 AD=2,∠ADC=60°,AC⊥DC 于点 C,AC=2CF,求 BE 的长.

考点: 平行四边形的性质;三角形中位线定理. 专题: 压轴题. 分析: (1)连接 BD 交 AC 于点 O.由平行四边形的性质可知 O 为 BD 中点,又因为 BG∥AF,进而证明 DF=EF. (2)利用直角三角形的性质和三角形中位线性质定理以及平行四边形的性质即可求出 BE 的长. 解答: (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OB=OD, ∵BG∥AF, ∴DF=EF. (2)∵AC⊥DC,∠ADC=60°,AD=2, ∴AC= . ∵OF 是△ DBE 的中位线, ∴BE=2OF. ∵OF=OC+CF, ∴BE=2OC+2CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AC=2OC. ∵AC=2CF, ∴BE=2AC= .

点评: 本题考查了平行四边形的性质、 三角形的中位线定理以及在直角三角形中 30°所对的直角边是斜边的 一半和勾股定理的运用. 23. 分) (8 (2013?如东县模拟) 某工厂大楼后面紧邻着一个土坡, 坡上面是一块平地, 如图所示, BC∥AD, 斜坡 AB 长 22m,坡角∠BAD=60°,为了防止山体滑坡,保障安全,工厂决定对该土坡进行改造.经地质 人员勘测,当坡角不超过 45°时,可确保山体不滑坡. (1)求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长; (2)为确保安全,工厂计划改造时保持坡脚 A 不动,坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处,问 BF 至少是多少米?

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 专题: 计算题. 分析: (1)已知 AB=22,∠BAD=60°利用 sin60°可求出 BE=AB?sin60°=11 ; (2)作 FG⊥AD,G 为垂足,连结 FA,则 FG=BE 利用 tan45°求出 AG 的长 11 求出 AE 长,让 AG 减 AE 即可. 解答: 解: (1)作 BE⊥AD,E 为垂足,则 BE=AB?sin60°=22sin60°= (m) . (2)作 FG⊥AD,G 为垂足,连结 FA, 则 FG=BE. ∵AG= = (m) ,

m,利用 cos60°

AE=AB?cos60°=22cos60°=11(m) , ∴BF=AG﹣AE= (m) ,即 BF 至少是( )m.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用,主要考查分析问题,综合利用解直角三角形的知识解决实际问题 的能力. 24. 分) (8 (2013?如东县模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,AD 平分∠BAC,交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延长线于点 E.

(1)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 AE=8,⊙O 的半径为 5,求 DE 的长.

考点: 切线的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直线 DE 与圆 O 相切,理由为:连接 OD,由 AD 为角平分线得到一对角相等,再由 OA=OD, 根据等边对等角得到一对角相等,等量代换可得出一对内错角相等,根据内错角相等两直线平行得 出 OD 平行于 AE,由∠AED 为直角,得到∠ODE 为直角,即 DE 垂直于 OD,可得出 DE 为圆 O 的切线; (2)法 1:过 D 作 DF 垂直于 AB,交 AB 于点 F,又 AE 垂直于 ED,得到一对直角相等,再由 AD 为角平分线得到一对角相等,且 AD 为公共边,利用 AAS 三角形 ADE 与三角形 ADF 全等,根据全 等三角形的对应边相等可得出 AE=AF,DE=DF,由 AF﹣OA 求出 OF 的长,在直角三角形 PDF 中, 由 OD 及 OF 的长,利用勾股定理求出 DF 的长,即为 DE 的长; 法 2:连接 DB,由 AB 为圆 O 的直径,根据直径所对的角为直角得到一个直角,再由 AE 垂直于 ED 得到两一个直角,两直角相等,再加上 AD 为角平分线得到一对角相等,利用两对对应角相等的 两数三角形相似可得出三角形 AED 与三角形 ABD 相似,由相似得比例,将 AE 及 AB 的长代入求 出 AD 的长,在直角三角形 ADE 中,由 AD 及 AE 的长,利用勾股定理即可求出 DE 的长; 法 3:过 O 作 OF 垂直于 AD,根据垂径定理得到 F 为 AD 的中点,且得到一个角为直角,再由 DE 垂直于 AE 得到另一个角为直角,进而得到两直角相等,再由 AD 为角平分线得到的一对角相等, 利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 AED 与三角形 AOF 相似,根据相似得比例,将 AE 及 OA 的长代入,得到关于 AD 的方程,求出方程的解得到 AD 的长,在直角三角形 AED 中, 由 AE 及 AD 的长,利用勾股定理即可求出 ED 的长. 解答: 解: (1)直线 DE 与⊙O 相切,理由如下: 连接 OD,如图所示:

∵AD 平分∠BAC, ∴∠EAD=∠OAD, ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠ODA=∠EAD,

∴EA∥OD, ∵DE⊥EA, ∴DE⊥OD, 又∵点 D 在⊙O 上, ∴直线 DE 与⊙O 相切; (2)法 1:如图,作 DF⊥AB,垂足为 F,

∴∠DFA=∠DEA=90°, ∵AD 为角平分线, ∴∠EAD=∠FAD, 在△ EAD 和△ FAD 中, ∵ ,

∴△EAD≌△FAD(AAS) ,又 AE=8, ∴AF=AE=8,DF=DE, ∵OA=OD=5, ∴OF=AF﹣OA=8﹣5=3, 在 Rt△ DOF 中,OD=5,OF=3, 根据勾股定理得:DF= 则 DE=DF=4; 法 2:如图,连接 DB, =4,

∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°,又∠AED=90°, ∴∠ADB=∠AED,又∠EAD=∠DAB, ∴△EAD∽△DAB,又 AE=8,BA=2OA=10, ∴ = ,即 = ,

解得:DA=4 , 在 Rt△ ADE 中,AE=8,AD=4 DE= =4;



法 3:如图,作 OF⊥AD,垂足为 F,

∴AF= AD,∠AFO=∠AED=90°, ∵∠EAD=∠FAO, ∴△EAD∽△FAO, ∴ ∴ = = ,又 AE=8,OA=5,AF= AD, ,

解得:DA=4 , 在 Rt△ ADE 中,AE=8,AD=4 根据勾股定理得:DE=

, =4.

点评: 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,垂径定理,勾股定理,全等三角 形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键,同时本题第二问利用了三 种方法求解,注意运用一题多解的方法解题. 25. 分) (8 (2008?重庆)将背面完全相同,正面上分别写有数字 1,2,3,4 的四张卡片混合后,小明从 中随机地抽取一张,把卡片上的数字做为被减数,将形状、大小完全相同,分别标有数字 1,2,3 的三个 小球混合后,小华从中随机地抽取一个,把小球上的数字做为减数,然后计算出这两个数的差. (1)请你用画树状图或列表的方法,求这两数差为 0 的概率; (2)小明与小华做游戏,规则是:若这两数的差为非负数,则小明赢;否则,小华赢.你认为该游戏公平 吗?请说明理由.如果不公平,请你修改游戏规则,使游戏公平. 考点: 游戏公平性;列表法与树状图法. 专题: 压轴题. 分析: 游戏是否公平,关键要看游戏双方获胜的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化 为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等. 解答: 解: (1)画树状图如下:

(4 分) 或列表如下: 被减数 1 2 3 4 差 减数 1 0 1 2 3 2 ﹣1 0 1 2 3 ﹣2﹣10 1 (4 分) 由图(表)知,所有可能出现的结果有 12 种,其中差为 0 的有 3 种, 所以这两数的差为 0 的概率为: ; 分) (6

(2)不公平. 分) (7 理由如下: 由(1)知,所有可能出现的结果有 12 种,这两数的差为非负数的有 9 种,其概率为: 这两数的差为负数的概率为: 因为 ,所以该游戏不公平. . 分) (9 ,

游戏规则修改为: 若这两数的差为正数,则小明赢;否则,小华赢. (10 分) 点评: 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否 则就不公平.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 26. (10 分) (2013?如东县模拟)大润发超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒.调查发现:这种文具盒每 个星期的销售量 y(个)与它的定价 x(元/个)的关系如图所示: (1)求这种文具盒每个星期的销售量 y(个)与它的定价 x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围) ; (2)每个文具盒的定价是多少元时,超市每星期销售这种文具盒(不考虑其他因素)可获得的利润为 1200 元? (3)若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于 115 个,且单件利润不低于 4 元(x 为整数) ,当每 个文具盒定价多少元时,超市每星期利润最高?最高利润是多少?

考点: 二次函数的应用. 分析: (1)根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可; (2)根据利润等于每个利润×数量建立方程求出其解就可以了; (3)根据条件先求出售价的取值范围,再表示出利润的解析式,根据函数的性质就可以求出结论. 解答: 解: (1)设这种文具盒每个星期的销售量 y(个)与它的定价 x(元/个)之间的函数关系式 y=kx+b, 由题意,得 , 解得: 则 y=﹣10x+300 (2)由题意,得 (x﹣8)?y=1200, (x﹣8) (﹣10x+300)=1200 解得:x1=18,x2=20, 答:当定价为 18 元或 20 元时,利润为 1200 元. (3)根据题意得: ,

得:12≤x≤18.5,且 x 为整数. 设每星期所获利润为 W 元,由题意,得 W=(x﹣8)?y =(x﹣8) (﹣10x+300) 2 =﹣10(x ﹣38x+240) 2 =﹣10(x﹣19) +1210, ∵a=﹣10<0, ∴抛物线开口向下,在对称轴的左边 W 随 x 的增大而增大 ∴当 x=18 时,W 有最大值,W 最大=1200. 答:每个文具盒的定价是 18 元时,可获得每星期最高销售利润 1200 元. 点评: 本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用,总利润=单件利润×数量的运用,抛物线的顶点式的 运用及二次函数的解析式的性质的运用及一元二次方程的解法的运用,解答时根据题意条件建立函 数的解析式是关键. 27. (12 分) (2013?如东县模拟)以平面上一点 O 为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△ AOB 和 △ COD,其中∠ABO=∠DCO=30°. (1)点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点,连接 FM、EM. ①如图 1,当点 D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时, = ; 的值

②如图 2,将图 1 中的△ AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 α 角(0°<α<60°) ,其他条件不变,判断

是否发生变化,并对你的结论进行证明; (2)如图 3,若 BO=3 ,点 N 在线段 OD 上,且 NO=2.点 P 是线段 AB 上的一个动点,在将△ AOB 绕点 O 旋转的过程中,线段 PN 长度的最小值为 ,最大值为 .

考点: 相似形综合题. 分析: (1)①连接 EF,由已知条件证明△ EMF 是直角三角形,并且可求出∠EMF=30°,利用 30°角的余 弦值即可求出 的值; ②若△ AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 α 角 (0°<α<60°) 其他条件不变, ,

的值不发生变化,连接 EF、AD、BC,由①的思路证明∠EMF=30°即可; (2)过 O 作 OE⊥AB 于 E,由已知条件求出当 P 在点 E 处时,点 P 到 O 点的距离最近为 旋转到 OE 与 OD 重合是,NP 取最小值为:OP﹣ON= OB 在 DO 的延长线时,NP 取最大值 OB+ON=3 +2. 解答: 解: (1)①连接 EF, ∵点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点, ∴EF,FM 是分别是△ ACD 和△ DBC 的中位线, ∴EF∥AD,FM∥CB, ∵∠ABO=∠DCO=30°, ∴∠CDO=60°, ∴∠EFC=60°,∠MFD=30°, ∴∠EFM=90°, ∴△EFM 是直角三角形, ∵EM∥CD, ∴∠EMF=∠MFD=30°, ∴cos30°= 故答案为: ②结论: = ; 的值不变, , ,当

﹣2;当点 P 在点 B 处时,且当旋转到

证明:连接 EF、AD、BC, ∵Rt△ AOB 中,∠AOB=90°,∠ABO=30°, ∴ .

∵Rt△ COD 中,∠COD=90°,∠DCO=30°, ∴ ∴ . .

∵∠AOD=90°+∠BOD,∠BOC=90°+∠BOD, ∴∠AOD=∠BOC.

∴△AOD∽△BOC. ∴ ,∠1=∠2.

∵点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点, ∴EF∥AD,FM∥CB,且 ∴ , , .

∠3=∠ADC=∠1+∠6,∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°, ∴∠1+∠4+∠6=90°,即∠3+∠4=90°. ∴∠EFM=90°. ∵在 Rt△ EFM 中,∠EFM=90°, ∴∠EMF=30°. ∴ ; ,

(2)过 O 作 OE⊥AB 于 E, ∵BO=3 ,∠ABO=30°, ∴AO=3,AB=6, ∴ AB?OE= OA?OB, ∴OE= , , ﹣2;

∴当 P 在点 E 处时,点 P 到 O 点的距离最近为

这时当旋转到 OE 与 OD 重合是,NP 取最小值为:OP﹣ON=

当点 P 在点 B 处时,且当旋转到 OB 在 DO 的延长线时,NP 取最大值 OB+ON=3 ∴线段 PN 长度的最小值为 ,最大值为 .

+2,

故答案为





点评: 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判 定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用.此题难度较大,注意数形结合思想的应用, 注意旋转前后的对应关系. 28. (14 分) (2011?孝感)如图(1) ,矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上,折叠边 AD,使点 D 落在 x 轴上点 F 处,折痕为 AE,已知 AB=8,AD=10,并设点 B 坐标为(m,0) ,其中 m>0. (1)求点 E、F 的坐标(用含 m 的式子表示) ; (2)连接 OA,若△ OAF 是等腰三角形,求 m 的值; 2 (3)如图(2) ,设抛物线 y=a(x﹣m﹣6) +h 经过 A、E 两点,其顶点为 M,连接 AM,若∠OAM=90°, 求 a、h、m 的值.

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)根据四边形 ABCD 是矩形以及由折叠对称性得出 AF=AD=10,EF=DE,进而求出 BF 的长,即 可得出 E,F 点的坐标; (2)分三种情况讨论:若 AO=AF,OF=FA,AO=OF,利用勾股定理求出即可; (3)由 E(m+10,3) ,A(m,8) ,代入二次函数解析式得出 M 点的坐标,再利用△ AOB∽△AMG, 求出 m 的值即可. 解答: 解: (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=CB=10,AB=DC=8,∠D=∠DCB=∠ABC=90°, 由折叠对称性:AF=AD=10,EF=DE, 在 Rt△ ABF 中,BF= = =6,

∴CF=4, 设 EF=x,则 EC=8﹣x, 2 2 2 在 Rt△ ECF 中,4 +(8﹣x) =x , 解得:x=5, ∴CE=3, ∵B(m,0) , ∴E(m+10,3) ,F(m+6,0) ; (2)分三种情况讨论: 若 AO=AF, ∵AB⊥OF, ∴BO=BF=6, ∴m=6, 若 OF=FA,则 m+6=10, 解得:m=4, 若 AO=OF,在 Rt△ AOB 中,AO =OB +AB =m +64, 2 2 ∴(m+6) =m +64, 解得:m= , ∴m=6 或 4 或 ;
2 2 2 2

(3)由(1)知:E(m+10,3) ,A(m,8) . ∴ ,





∴M(m+6,﹣1) , 设对称轴交 AD 于 G, ∴G(m+6,8) , ∴AG=6,GM=8﹣(﹣1)=9, ∵∠OAB+∠BAM=90°,∠BAM+∠MAG=90°, ∴∠OAB=∠MAG, ∵∠ABO=∠MGA=90°, ∴△AOB∽△AMG, ∴ 即: ∴m=12, = , ,

点评: 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质,二次函数的综合应用是初中阶 段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点 掌握.


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