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2009学年温州中学第一学期高二摸底考试数学试卷(理科)


温州中学 2009 学年第一学期高二摸底考试 数学试卷(理科)
一.选择题: (每小题 4 分,共 40 分) 1.已知集合 M ? y y ? 1 ? x 2 , N ? x y ? x ? 1 ,则 M ? N 等于( A. ? 2.若 x ? (? A. ? B. ?(1,0)? C. [0,1] ) D. D. [?1,1] 2009.8

?

?

?

?



?
2

,0) , cos x ?

3 4

4 ? ,则 tan( ? x) ? ( 5 3 4 B. C. ? 4 3
?

4 3 1 ? 1 的解 x ??

3.设 ? ? ??1,0, , 2? ,若幂函数 y ? x 为定义域内的单调函数,则不等式 集为( A. ? x ) B. x x ? 2

? ?

1 2

? ?

? 1 3? ?x? ? 2? ? 2

?

?

C. ? x x ?

? ?

3? ? 2?

D.

? x ?1 ? x ? 0?

4. 一个几何体的三视图如图所示, 则它的体积为 ( A. 72 ? 6? B.98 C. 72 ? 18?



D. 72 ? 8?

5.已知数列 ?an ? 对任意的 p, q ? N * 满足 a p?q ? a p aq , 且 a 2 ? 2 ,那么 a10 等于( A.10 B.16 ) C.-32 D.32

6.光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射, 则反射光线所在的直线与圆 C: x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ( ) A.相离 B.相切 C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心 )

7.已知直线 l 和两个不同的平面 ? , ? ,则下列判断正确的命题是( A.若 l // ? , 且 l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? B.若 l // ? , 且 ? // ? ,则 l // ? D.若 l ? ? , 且 l ? ? ,则 ? // ?

8.若点 P 是 ?ABC 的外接圆的圆心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , ?C ? 120 ,则实数 ? 的
?

值为( A.1

) B.-1 C.

1 2

D. ?

1 2

9. 若定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足条件 f ( x) ? f ( x ? 2) , x ? [,) 当 0 1 则 f (log 1 6) 的值为(
2

时, f ( x) ? 2x ?1 ,

) C. ?6 D. ?

A. ?

5 2

B. ?5

1 2

? a 11 ? 10.由 9 个正数组成的矩阵 ? a 21 ?a ? 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ? ? a 23 ? 中,每行中的三个数成等差数列,且 a 33 ? ?

a 11 ? a 12 ? a 13 , a 21 ? a 22 ? a 23 , a 31 ? a 32 ? a 33 成等比数列。给出下列结论:①第 2 列中
的 a 12 , a 22 , a 32 必成等比数列;②第 1 列中的 a 11 , a 21 , a 31 不一定成等比数列;③

a12 ? a 32 ? a 21 ? a 23 ;④若 9 个数之和等于 9,则 a 22 ? 1.其中正确的序号为(
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④



二.填空题: (每小题 4 分,共 20 分) 11.函数 y ?

lg x 的定义域为 x ?1
?

12.已知向量 a ? (1,1) ,向量 b 与 a 的夹角为 135 ,且 a ? b ? ?1 ,则 a ? b = 13.若函数 f ( x) ? x ? a x ? a ? 3(a ? R) 的零点有且只有一个,则 a ?
2 2

14.如图,因台风“莫拉克”的影响,甲船受困于海平面上位于中心 O 正东方面 20 海里的 B 处,现在位于中心 O 的南偏西 30 且与 O
?

北 O B 西 C 南 东

相距 10 海里的 C 处有一艘乙船, 它以 30 海 里/小时的速度沿直线 CB 去营救甲船,乙船 需要 小时到达 B 处。

? ? ?x ? 0 ? ? ? 15.已知 a ? 0, b ? 0 ,且有 ?( x, y ) | ? y ? 0 ? ? {( x, y ) | ax ? by ? 4} ,则以 a , b 为坐标 ? ? x ? 2 y ? 2? ? ? ?
的点 P (a, b) 所形成的平面区域的面积等于

班级 姓名 学号 ………………………….………………装………………………………………….订……………………………………………线………………………………………..

温州中学 2009 学年第一学期高二摸底考试 数学答题卷(理科)
一.选择题: (每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 二.填空题: (每小题 4 分,共 20 分) 11. 14. 三.解答题: (共 40 分) 16. 分)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162,公比 q ? 3 ,前 n 项和 S n ? 242,求首项 a1 和 (6 项数 n 。 12. 15. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2009. 8

17. 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin ( (8
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ,

(I)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [0,

?
6

] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。

18. (8 分)如图,在直二面角 D ? AB ? E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,

AE ? EB ? 2 ,
(I)求证: AE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)在线段 AC 上是否存在一点 P ,使得 PB 与平面 BCE 所成的角为 30 ,若存在,试求出点 P 的位置;若不存在,请 说明理由。
?

D

C

P B

A

E

19. 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (8 (I)求圆 O 的方程;

PO PB (Ⅱ)若圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求

??? ??? ??? ? ? ?

PA? PB 的取值范围。

………………………..………. …………………………………………. ……………………………………………… ………………………..……………..

t ? ? x ? ( x ? 0) 20. (10 分)已知函数 f ( x) ? ? ,其中 t ? 0 且 t ? 1 , x ? t x ( x ? 0) ?
(I)当 t ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若直线 y ? 6 与 f (x) 的图像总有两个不同的交点 A, B ,记 g (t ) ? AB ,求 g (t ) 的解 析式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2,



17 1 ? ] 内,总存在 m+1 个数 2 n

a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的
最大值。



线

温州中学 2009 年高二第一学期开学摸底考数学理科答案
班级
题号 答案 1 C 2 B

姓名
3 A 4 A 5 D

学号
6 C 7 D 8 B

得分
9 D 10 C

一.选择题: (每小题 4 分,共 40 分)

二.填空题: (每小题 4 分,共 20 分) 11.

?0,1? ? (1,??)
7 3

12.

5
8

13.

3

14.

15.

四.解答题: (共 40 分) 16. 分)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162,公比 q ? 3 ,前 n 项和 S n ? 242,求首项 a1 和 (6 项数 n 。 解:由已知,得

?a1 ? 35?1 ? 162, ? ? a1 (1 ? 3n ) ? 242, ? ? 1? 3
由①得 81a1 ? 162 ,解得 a1 ? 2 . 将 a1 ? 2 代入②得

① ②
―――――――――――――――3 分

2 ? 1 3? -n 1? 3

? 242 ,即

3n ? 2 4 3 ,解得 n=5.

∴数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,项数 n=5.

――――――――――――――6 分

17. 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin ( (8
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ,

(I)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [0, 解: (I) f ( x) ? 2 sin (
2

?
6

] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。

?
4

? x) ? 3 cos 2 x = 1 ? cos(

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x

= 1 ? (sin 2x ? 3 cos2x) = 1 ? 2 sin( 2 x ? 最小正周期 ? ,单调递减区间 [k? ?

?
3

)

―――――――――――――――3 分

5? ? , k? ? ] ( k ? Z ) ;―――――――――-5 分 12 12

(Ⅱ) f ( x) ? m ? 2 ? m ? ?2 sin( 2 x ? 因为 x ? [0,

?
3

) ?1,

?
6

] ,所以 ? 3 ? ?2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1 ? ? 3 ?1
――――――――――――――――8 分

所以 m 的取值范围是 m ? ? 3 ? 1

18. 分) (8 如图, 在直二面角 D ? AB ? E 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE ? EB ? (I)求证: AE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)在线段 AC 上是否存在一点 P ,使得 PB 与平面 BCE 所成的角为 30 ,若存在,试求出点 P 的位置;若不存在,请 说明理由。 答: (I)证明:在正方形 ABCD 中, CB ? AB ,因为二面角
?

D

C

2,
P B

A

E

D ? AB ? E 为直二面角,所以 CB ? 平面AEB,得 CB ? AE ,
又 AE ? EB ?

2 ,AB=2, AB 2 ? AE 2 ? EB 2 ,所以 AE ? EB ,所以 AE ? 平面 BCE
―――――――――――――――4 分

(Ⅱ)在平面 ACE 内,过 P 作 PQ//AE 交 CE 于 Q,连接 PB,由(I)得 AE ? 平面 BCE ,所以 PQ ? 平面 BCE , 所以 PB 与平面 BCE 所成的角为 ?PBQ ,由条件 ?PBQ = 30 , 设 PQ ? t , 则 PB ? 2t ,
Q
?

D

C

P

A

B

PQ CP ? ? AE CA

t 2

?

CP 2 2

? CP ? 2t

E

得: Rt?ACB 中, CP ? PB ? 2t , 所以存在点 P 满足条件,P 为 AC 的中点。 ―――――――――――――――8 分

19. 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (8 (I)求圆 O 的方程;

PO PB (Ⅱ)若圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求

??? ??? ??? ? ? ?

PA? PB 的取值范围。
解: (I)因为圆心到直线的距离为 d ?

4 1? 3

? 2 ,所以圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4
――――――――――――――――3 分

(Ⅱ)圆 O 与 x 轴相交于 A(?2,0), B(2,0), 两点, 设圆内的动点 P ( x0 , y0 ), 则 x0 ? y0 ? 4 ,
2 2

由 PO ? PA ? PB 得: x0 ? y 0 ?
2 2

??? 2 ?

??? ??? ? ?
2

( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ,
2 2

化简得 x0 ? y0 ? 2 ,
2

――――――――――――――――6 分
2

因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以 0 ? y0 ? 1
2 2

PA ? PB ? x0 ? 4 ? y0 ? 2 y0 ? 2
2 2 2

所以 ? 2 ? PA ? PB ? 0

――――――――――――――――8 分

20. (10 分)已知函数 f ( x) ? ?

t ? ? x ? ( x ? 0) ,其中 t ? 0 且 t ? 1 , x x ? t ( x ? 0) ?

(I)当 t ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若直线 y ? 6 与 f (x) 的图像总有两个不同的交点 A, B ,记 g (t ) ? AB ,求 g (t ) 的解 析式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2,

17 1 ? ] 内,总存在 m+1 个数 2 n

a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的
最大值。

解: (I)当 t ? 2 时, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 为增函数; 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

2 x

设 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 x2 x1 x2

? ( x1 ? x2 )(1 ?

2 ), x1 x2 2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f (x) 在 x1 x 2

若 2 ? x1 ? x2 ,则 1 ?

? 2,???为增函数,

综上,函数 f (x) 的单调递增区间为 ?? ?,0?, (Ⅱ)当 0 ? t ? 1 时, 若 x ? 0 ,函数 f ( x) ? x ?

? 2,???

――――――――――――3 分

t 在 (0, t ) 上递减,在 x

t ? t ,??? 上递增,且 x ? x ? 2

t ,其中

0 ? 2 t ? 2 ,此时直线 y ? 6 与 f (x) ( x ? 0 )有两个交点;
若 x ? 0 , f ( x) ? t x 为减函数,且 t x ? (0,??) ,所以直线 y ? 6 与 f (x) ( x ? 0 )有一个 交点, 因此,当 0 ? t ? 1 时,直线 y ? 6 与 f (x) 有三个交点,不合题意。 当 t ? 1 时,
x x 若 x ? 0 , f ( x) ? t 为增函数,且 t ? ?0,1?, 直线 y ? 6 与 f (x) ( x ? 0 )无交点,

若 x ? 0 , f ( x) ? x ?

t 在 (0, t ) 上递减,在 x

t ? t ,??? 上递增,且 x ? x ? 2

t ,其中

2 t ? 2,
故 2 ? 2 t ? 6 时,直线 y ? 6 与 f (x) ( x ? 0 )有两个交点, 得: 1 ? t ? 9 时,直线 y ? 6 与 f (x) 有两个不同的交点 A, B , 令x?

t ? 6 ,得 x 2 ? 6 x ? t ? 0 ,记方程两根为 ? , ? ,则 ? ? ? ? 6, ?? ? t , x

g(t ) ? AB = ? ? ? ? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? 36 ? 4t ? 2 9 ? t
所以 g (t ) ? 2 9 ? t (1 ? t ? 9) ―――――――――――――――7 分

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, g (t ) ? 2 9 ? t (1 ? t ? 9) 为减函数, 对任意的正整数 n ,在区间 [ 2, 不等式

17 1 17 1 ? ] 内, g ( ? ) ? g (ai ) ? g (2) , i ? 1,2,?, m ? 1 2 n 2 n

17 1 m ? g( ? ) ? g ( a1 ) ? g ( a 2 ) ? ? ? g ( a m ) ? g ( a m ?1 ) ? g ( 2) 2 n



17 1 m?2 9 ?( ? ) ? 2 7 2 n

对一切正整数 n 都成立

m? ?

7 1 1 ? 2 n

对一切正整数 n 都成立

因为 0 ?

1 ? 1 ,所以 m ? n

7 3 2

?

14 3

又 m ? N ,所以 m 的最大值为 2。
*

―――――――――――――――10 分


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