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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准


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2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 的最大值为 A. 解
a?b 2
?n
2

? a

/>
,x 2

? y

2

?b

,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 答:[B]

B.

ab
2

C.
2

a ?b
2

2

D.
2

a ?b
2

2

2

2
2

由柯西不等式 ( mx
ab

? ny ) ? ( m ? n )( x ? y ) ? ab
2

;或三角换元即可得到
? ny ? ab

mx ? ny ?

,当 m

? n ?

a 2

,x

? y ?

b 2

时, mx

. 选 B. 四点中,函数 答:[D]

2. 设 y

? f ( x)

为指数函数 y

? a
?1

x

. 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? 的图像的公共点只可能是点 C. M
1

?1 1? , ? ?2 4?

y ? f ( x)

与其反函数 y

? f

(x)

A. P 解
1

B. Q

D. N
1

1 ? 1 ?2 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? 16 4 ? 16 ?

1 ? 1 ?4 ,而 ? ? ? 2 ? 16 ?

,∴公共点只可能是

点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? A. 1 C. 3
y? z

的值为 B. 2 D. 4
1 0.5 2 1
x
y
z

答:[A]


y ? 5 16

第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的 x
? 3 16

? 0 .5



,z

,则 x ?

y ? z ? 1.

选 A.

4. 如果 ? A1 B 1 C 1 的三个内角的余弦值分别是 ? A 2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B]

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A. B. C. D. 解

? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2

都是锐角三角形 是钝角三角形 是锐角三角形

? A1 B 1 C 1 是锐角三角形, ? A 2 B 2 C 2 ? A1 B 1 C 1 是钝角三角形, ? A 2 B 2 C 2 ? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2

都是钝角三角形

两个三角形的内角不能有直角; ? A1 B 1 C 1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三

角形;若 ? A 2 B 2 C 2 是锐角三角形,则不妨设 cos A 1 =sin A 2 =cos ?
?? ? ? A1 ? ? 2 ? ??



cos B 1 =sin B 2 =cos ?

??

? ? A2 ? , ? 2 ?

cos C 1 =sin C 2 =cos ? 则

? ? C1 ? . ? 2 ?

A1 ? 3? 2

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 ,C1 ?

?
2

? C2





A1 ? B 1 ? C 1 ?

? ( A 2 ? B 2 ? C 2 ) ,矛盾.

选 B.
??

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a
? ,?

,b

? ?

,且 ?

? ?

”的平面 答: [D]

A. 不存在 C. 有且只有两对 解

B. 有且只有一对 D. 有无数对

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A
? x x ? ? x ? ? 2 和 B ? ?x x ? 2 ? ,其中符号 ? x ? 表示不大于
2

?

?

x 的最大整数,则

A ? B ? ? 1,

?

3

?.

解 ∵

x ? 2

, ? x ? 的值可取 ? 2 , ? 1, 0 ,1 .
? 0

当[x]= ? 2 ,则 x 2 当[x]=0,则 x 2

无解;

当[x]= ? 1 ,则 x 2 当[x]=1,则 x 2

? 1 ,∴x= ? 1 ;
3

? 2

无解;

? 3 ,∴ x ?

.

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所以 x

? ? 1或

3

.
? 91 216

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P 分数). 解
?5? 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ?6?
3

(结果要求写成既约

?

91 216

. 的面积之比为 5:1.

8. 已知点 O 在 ? ABC 内部, OA 解

? 2 OB ? 2 OC ? 0 . ? ABC 与 ? OCB

由图, ? ABC 与 ? OCB 的底边相同,

A C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.
B

O

9. 与圆 x 2

? y

2

? 4x ? 0

外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y 2

? 8 x( x ? 0)



y ? 0( x ? 0)

.
? ?2



x 由圆锥曲线的定义, 圆心可以是以(2,0)为焦点、

为准线的抛物线上的点; ,或 y
? 0( x ? 0)

若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2

? 8 x( x ? 0)

.

10. 在 ? ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 解 切割化弦,已知等式即 亦即
sin A sin B sin C ? sin A sin B cos A cos B sin( A ? B ) cos C
2 2

a

2

?b c
2

2

=3. ,
?1.

?

sin A sin C cos A cos C

?

sin B sin C cos B cos C

,即
a ?b
2

sin A sin B cos C sin
2
2

=1,即

ab cos C c
2

C

所以,

a ?b ?c
2

2c

2

? 1 ,故

c

2

?3

.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数
f (x)

f ( x ) ? ? 2 x ? bx ? c
2

在x

? 1 时有最大值

1, 0

? m ? n

,并且 x ? ?m , n ? 时,

的取值范围为 ?

?1

1 ? ? ?n m ? ,

. 试求 m,n 的值.

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由题

f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x ) ? 1 ,?

1 m

? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x ) 在 ?m , n ? 上单调减,

? f ( m ) ? ? 2 ( m ? 1) ? 1 ?
2

1 m



f ( n ) ? ? 2 ( n ? 1) ? 1 ?
2

1 n

.

??10 分

?m

,n 是方程

f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1 ?
2

1 x

的两个解,方程即 =0,

( x ? 1)( 2 x ? 2 x ? 1)
2

解方程,得解为 1,

1? 2

3


1?

1? 2 3

3

.

?1 ? m ? n

,? m
x

? 1 ,n ?

.

??15 分

2
2

12. A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

?

y

2

? 1 上的两个动点,满足 OA ? OB ? 0 。

4

9

1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP

? AB ? 0

,求证:点 P 在定圆上.
? OA

证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 ( r cos ? , r sin ? ) , 的坐标为 ( r ? cos ? ?, r ? sin ? ? ) , r B 则
r ? ? OB



,A 在双曲线上,则 r 2 ? ?
?
cos
2

? cos 2 ? 4

?

2 sin ? ? ? ? 1. 9 ? ?

所以 由 OA

1 r
2

?

?

?

sin

2

?

. ,所以 cos 2 ? ? ?
2

??5 分
sin
2
2

4

9

? OB ? 0
1 r?
2

得 OA
2

? OB
? sin

?

, cos 2 ?

? sin

2

??.

同理, 所以

?

cos

??

??

?

sin

2

?

?

cos 9

?

, ??10 分 ,所以

4

9

4

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 r
2

?

1 r'
2

?

1 4

?

1 9

?

5 36

.

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP

? AB ? OA ? OB

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2 2 2 2
2

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2

OP

? AB

? OA

? OB

,即 OP

? ? ? OA ?

2

? OB

? ? ? OA ?

2

? OB

2

.

即 OP

2

? ? 1 ?? ? OA ?
2

2

?

1
2

OB
36 5

? ? ? ? OP ? ?

2

?1 1? ? ? ? ? ? OP ?4 9?

2

? 5 ? ?? ??1 ? 36 ?

.

于是, OP

?

.
6 5 5

即 P 在以 O 为圆心、

为半径的定圆上.

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ? BDC 锐角. 求二面角 M 解
?l? N
??

, ? BDA

? ?

, ? CDA

??

,且 ? , ? , ? 都是

的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).
N C

在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
AB ? tan ?

A

D

B M

, DB

?

1 cos ?
1 cos ?



AC ? tan ?

, DC

?


?l? N

??5 分 平面角. ??10 分

并且 ? BAC

??

就是二面角 M

在 ? DBC
BC
2

与 ? ABC

中,利用余弦定理,可得等式
? 2 cos ? cos ? cos ? ? tan
2

? cos

1
2

?

?

1 cos
2

?

? ? tan ? ? 2 tan ? tan ? cos ?
2



所以,
2 tan ? tan ? cos ? ? tan
2

? ? tan ? ?
2

1 cos
2

?

?

1 cos
2

?

?

2 cos ? cos ?

cos ?

=

2 (cos ? ? cos ? cos ? ) cos ? cos ?



??15 分

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故得到 cos ?

?

cos ? ? cos ? cos ? sin ? sin ?

.

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每 3 列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予 证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 1?1? 2 ?1? 2 ?1 =219·8 不是立方数,故不能. 4× 8× 18× 36× 3 3 (Ⅱ)可以. 如右表 ??5 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

??15 分

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

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