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2014江西理数(word精校版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. z 是 z 的共轭复数. 若 z ? z ? 2 , ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 1 ? i A. (0,1

) B. ? 1 ? i B. [0,1] C. ? 1 ? i ) D. (??,0] ? [1,??) ) C. (??,0) ? (1,??) D. 1 ? i 2. 函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( )

3. 已知函数 f ( x) ? 5 x , g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? ( A.1 B. 2 C. 3 D . -1 4.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? (a ? b) ? 6, C ?
2 2

?
3

, 则 ?ABC 的面积
俯视

(

) A.3 B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3 )

5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

A.

B.

C.

D.

左(侧)视

主(正)视

6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学 生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( 表1 成绩 性别 男 女 总计 不及格 6 10 16 及格 14 22 36 总计 性别 20 32 52 男 女 总计 表4 总计 20 32 52 C.智商 阅读量 性别 男 女 总计 D.阅读量 丰富 14 2 16 不丰富 6 30 36 总计 20 32 52 视力 表2 好 4 12 16 差 16 20 36 总计 20 32 52 )

表3 智商 性别 男 女 总计 A.成绩 偏高 8 8 16 正常 12 24 36 B.视力

7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(
开 始 i=1,S=0 S=S+ lg

)
结 束

i i?2

S < -1 否

是 输 出i

i=i+2

A.7 8.若 f ( x ) ? x ? 2
2

B.9

C.10
1 0

D.11 ) D.1

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
B. ?

A. ? 1

1 3

C.

1 3

9 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A, B 分 别 是 x 轴 和 y 轴 上 的 动 点 , 若 以 AB 为 直 径 的 圆 C 与 直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( )

3 5 C. (6 ? 2 5)? D. ? 4 4 AB =11, AD =7, AA1 =12,一 10.如右图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
A. ? B. ? 将第 i ? 1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 Li ?i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段

4 5

z A1

D1

E B1 y

C1

质点从顶点 A 射向点 E ? 4, , 312 , ? ,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)

L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(
L1 L2
L3 L4

) A

D

C B x

L1 L2 L3 L4

L1 L2 L3 L4

L1 L2 L3

L4

A.

B.

C.

D.

二.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1). (不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11(2). (坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,则线段 y ? 1 ? x(0 ≤ x ≤1) 的极坐标方程为( A. ? = ) B. ? =

1 ? , 0 ≤? ≤ cos ? ? sin ? 2

C. ? = cos ? ? sin ? , 0 ≤ ? ≤

?

1 ? , 0 ≤? ≤ cos ? ? sin ? 4

2

D. ? = cos ? ? sin ? , 0 ≤ ? ≤

?

4

三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12. 10 件产品中有 7 件正品、3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 13. 若曲线 y ? e 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是________. 14. 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? 则 cos ? =
?x

1 ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? , 3

15. 过点 M (1,1) 作斜率为 ?

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若 M 是线段 AB 2 a b

的中点,则椭圆 C 的离心率为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

17. (本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}( bn ≠ 0,n∈ N+),满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 . (1)令 cn ?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

(2)若 bn ? 3n?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? bx ? b) 1 ? 2x (b ? R) . (1)当 b ? 4 时,求 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递增,求 b 的取值范围.

1 3

19. (本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平 面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90 , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时,四棱
?

P D C

锥 P ? ABCD 的体积最大?并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

A

B

20. (本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F , a2 点 A, B 分 别 在 C 的 两 条 渐 近 线 上 , AF ? x 轴 , . AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点) (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过 C 上 一 点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的 直 线
如图,已知双曲线 C :

y A

l:

x0 x ? y0 y ? 1 与 直 线 AF 相 交 于 点 M , 与 直 线 a2 3 MF x ? 相交于点 N , 证明: 当点 P 在 C 上移动时, 2 NF

O B

F

x

恒为定值,并求此定值.

21. (本小题满分 14 分)

? 随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1 ,

?

?

最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b2 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b2 ? b1 , (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望” ; (2)令 C 表示事件“ ? 与 ? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (3)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由.


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