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2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题2 第8讲 三角函数的图象与性质


热 点 题 型 · 探 究

第8讲
高 考 命 题 · 视 角

三角函数的图象与性质

专 题 限 时 集 训

题型一| 三角函数的概念及其基本关系、诱导公式

?π ? 4 ? π? (1)已知cos?6-α?=5,则sin?α+3?=________. ? ? ? ?

(2)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0
?3π ? cos? 2 +θ?+cos?π-θ? ? ? 上,则 =________. ?π ? sin?2-θ?-sin?π+θ? ? ?

(3)(2016· 合肥模拟)如图8-1,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图 所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P0
? ? ? ?

3 1? ? 2 ,2? ?

,当秒针从

P0(此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系是________.

图8-1

4 (1)5

1 (2)2

? π π? (3)y=sin?-30t+6? ? ?

?π ?π ?? ? π? [(1)由题意得:sin?α+3?=sin?2-?6-α?? ? ?? ? ? ?

?π ? 4 =cos?6-α?=5. ? ? ?3π ? cos? 2 +θ?+cos?π-θ? sin θ-cos ? ? θ=3, = ?π ? cos θ+sin sin?2-θ?-sin?π+θ? ? ?

(2)根据直线的斜率的定义得tan

θ = θ

tan θ-1 1 =2. 1+tan θ

π (3)由三角函数的定义可知,初始位置点P0的弧度为 6 ,由于秒针每秒转过的 π 弧度为- 30 ,针尖位置P到坐标原点的距离为1,故点P的纵坐标y与时间t的函数
? π π? 关系可能为y=sin?-30t+6?.] ? ?

【名师点评】

1.涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车

等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置 有关,与终边上点的位置无关. 2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函 数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为 简等.

? π? 1 1.(2016· 南通调研一)已知sin?x+6?=3,则 ? ? ? ? ? 5π? 2 π sin?x- 6 ?+sin ?3-x?的值是________. ? ? ? ?

5 9 sin
2

?? ? ? ? ? ? ? ? π ?? 5π? π? π? 2 π 2 π [sin ?x- 6 ?+sin ?3-x?=sin ??x+6?-π?+sin ?2-?x+6??=-sin ?x+6? +1- ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

? π? 5 ?x+ ?= .] 6? 9 ?

2.如图8-2,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知
? 3 4? sin ? ? 点P的坐标为 -5,5 ,则 ? ?

2α+cos 2α+1 =________. 1+tan α

图8-2

18 25

[由三角函数定义,

3 4 得cos α=-5,sin α=5, 2sin αcos α+2cos2α ∴原式= sin α 1+cos α 2cos α?sin α+cos α? = sin α+cos α cos α =2cos
2

? 3? 18 2 ? ? α=2× -5 =25.] ? ?

3.如图8-3所示,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位 → 于(2,1)时,OP的坐标为________. 【导学号:19592026】

图8-3

(2-sin 2,1-cos 2) =2.

[设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧

2 长为2,∠ABP= 1

作PC⊥x轴,垂足为C;BD⊥PC,垂足为D.

π ∴∠PBD=2-2. 设P(x,y),由三角函数定义,

? π? x=2-1×cos?2-2?=2-sin ? ? ? π? y=1+1×sin?2-2?=1-cos ? ?

2, 2,

→ ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).]

题型二| 三角函数的图象及应用

(1)函数y=sin

? π? ?2x- ? 3? ?

的图象可由函数y=sin x的图象作两次变换得

到,第一次变换是针对函数y=sin x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换 所得图象而言的,现给出下列四个变换: π A.图象上所有点向右平移6个单位; π B.图象上所有点向右平移3个单位;

C.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变); 1 D.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变). 请按顺序写出两次变换的代表字母:________. (2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,
?π? 0<φ<π)的图象如图8-4所示,则f?3?的值为________. ? ?

图8-4

(1)BD或DA 得函数y=sin

(2)1

π [(1)由函数y=sin x的图象上所有点向右平移 3 个单位,可

? π? ?x- ? 3? ?

1 ,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,得函数y=

? π? sin?2x-3?,则两次变换依次为BD. ? ?

1 或,由函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得函数y=sin π 2x,再将图象上所有点向右平移6个单位,则两次变换依次为DA.

?π ? 3T 11π π 2π (2)由图知:A=2, 4 = 12 -6,T=π,ω= T =2.又函数过点?6,2?,所以有 ? ? ? ? π π ? ? sin 2×6+φ =1,而0<φ<π,所以φ=6. ? ? ? ?π? ?2π π? π? 所以f(x)=2sin?2x+6?,因此f?3?=2sin? 3 +6? ? ? ? ? ? ?

=1.]

【名师点评】 作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变 量x的变化量,因此由y=sin ωx(ω>0)的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象时,应将图 |φ| 象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个单位,而非|φ|个单位.

1 1.(2016· 苏北三市三模)已知函数f(x)=sin x(x∈[0,π])和函数g(x)= 2 tan x的 图象交于A,B,C三点,则△ABC的面积为________.
?π? 3 1 1 π π 3 ? ? 4 π [由sin x=2tan x得cos x=2,又x∈[0,π],∴x=3,又f?3?=sin3= 2 . ?π 不妨设A(0,0),B? ?3, ?

3? ? ,C(π,0), 2? ?

1 3 3 ∴S△ABC=2×π× 2 = 4 π.]

? π? π ? ? 2.将函数f(x)=2sin ωx-3 (ω>0)的图象向左平移 3ω 个单位,得到函数y=g(x) ? ? ? π? 的图象,若y=g(x)在?0,4?上为增函数,则ω的最大值为________. ? ?

2

? ? π ? π? [平移后的解析式为g(x)=2sin?ω?x+3ω?-3?=2sin ? ? ? ?

ωx,此函数的单调递增

? ?2kπ π? π 2kπ π ? 2kπ π 2kπ π 区间为 ω - 2ω ≤x≤ ω + 2ω ,故 ?0,4? ? ? ω -2ω, ω +2ω? (k∈Z),即 ? ? ? ?

?2kπ π ? ω -2ω≤0, ① ? ?2kπ+ π ≥π. ② ? ω 2ω 4

1 由①式得k≤4,由②式得0<ω≤

8k+2,因为k∈Z且要求ω的最大值,则k=0,故ω的最大值为2.]

3.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图8-5所示,则f(x)的单调递减区间为 ________.

图8-5

? 1 3? ?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ?

?5 1? [由图象知,周期T=2?4-4?=2, ? ?

2π ∴ ω =2,∴ω=π. 1 π π 由π×4+φ=2+2kπ,k∈Z,不妨取φ=4,
? π? ∴f(x)=cos?πx+4?. ? ?

π 1 3 由2kπ<πx+4<2kπ+π,k∈Z,得2k-4<x<2k+4,k∈Z,
? 1 3? ∴f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4?,k∈Z.] ? ?

题型三| 三角函数的性质及应用

(1)若函数f(x)=sin(x+θ) ________. (2)已知函数f(x)=2sin
? π? ?2ωx- ? 4? ?

? π? ?0<θ< ? 2? ?

π 的图象关于直线x= 6 对称,则θ=

(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)

在[-1,1]上的单调增区间为________.

π (1) 3

? 1 3? (2) ?-4,4? ? ?

π [(1)因为三角函数的对称轴经过最值点,所以当x= 6 时,

?π ? π π π ? ? + θ f(x)=sin(x+θ)取最值,即sin 6 =± 1?6+θ=2+kπ,(k∈Z),又0<θ<2,所以θ ? ?

π =3.

? π? π π π ? ? (2)由题意可知,函数f(x)=2sin πx-4 ,令- 2 +2kπ≤πx- 4 ≤ 2 +2kπ,解得 ? ?

1 3 1 3 - 4+2k≤x≤ 4 +2k,k∈Z,又x∈[-1,1],所以- 4≤x≤4 ,所以函数f(x)在[-1,1]
? 1 3? 上的单调递增区间为?-4,4?.] ? ?

【名师点评】 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路: 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y= Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+ B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

? π? π ? ? 1.(2016· 南通二调)设函数y=sin ωx+3 (0<x<π),当且仅当x= 12 时,y取得 ? ?

最大值,则正数ω的值为________. π 2 [由0<x<π,当且仅当x=12时,y取得最大值,故
?2π ? ω ≥π, ? ?πω+π=π+2kπ,k∈Z, ? 12 3 2 ∴ω=2.]
? ?ω≤2, 即? ? ?ω=2+24k,k∈Z.

2.若x是一个三角形的最小内角,则函数y=sin x-cos x的值域是________.
? ? ?-1, ?

3-1? ? 2 ? ?

[因为x是一个三角形的最小内角,所以

? π? ? 3-1? π π π π ? ? 0<x<3,从而-4<x-4<12,y=sin x-cos x= 2sin?x-4?∈?-1, .] 2 ? ? ? ? ?

π 3.直线y= 3与y=2sin ωx(ω>0)相距最近的两个交点的距离为6,则y=2sin ωx的最小正周期为________.
3 π 2π π [由2sin ωx= 3得sin ωx= 2 ,∴ωx=3或 3 . 2π π -3 3 π 2π ∴6= ω ,∴ω=2,∴T= 2 =π.]


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