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导数的概念教学设计


《导数的概念》教学设计
1. 教学目标 (1)知识与技能目标:掌握导数的概念,并能够利用导数的定义计算导数. (2)过程与方法目标:通过引入导数的概念这一过程,让学生掌握从具体到抽象, 特殊到一般的思维方法;领悟极限思想;提高类比归纳、抽象概括的思维能力. (3)情感、态度与价值观目标: 通过合作与交流,让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度. 2. 教学重、难点 重点:导数的定义和利用定义如何计算导数. 难点:对导数概念的理解. 3.教学方法 1. 教法:引导式教学法 在提出问题的背景下,给学生创设自主探究、合作交流的空间,指导学生类比探究形 成导数概念的形成. 2. 教学手段:多媒体辅助教学 4.教学过程 (一)情境引入 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。 导数的思想最初是由法国数学家 费马(Fermat)为研究极值问题而引入的,但导数作为微积分的最主要的概念,却是英国数 学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)在研究力学与几何学的过程中建立 起来的。 17 世纪数学家遇到的三类问题: 一是光的反射问题。光的反射和折射在 17 世纪是一个十分盛行的研究课题,早在公元 1 世 纪,古希腊数学家海伦(Heron)就已经证明了光的反射定律:光射向平面时,入射角等于 反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形,此时,入射光与反射光与圆弧的切线所成角相 等。那么,对于其他曲线,光又如何反射呢?这就需要确定曲线的切线。
C B
C B

A

A

图 1 光在平面上的反射

图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动,速度方向与位移方向相同或相反,但如何 确定曲线运动的速度方向呢?这就需要确定曲线的切线。 三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来,人们对圆弧和 直线构成的角——牛头角(图 3 中 AB 弧与 AC 构成的角)和弓形角(图 4 中 AB 与 ACB 弧所 构成的角)即有过很多争议。17 世纪数学家遇到的更一般的问题是:如何求两条相交曲线

所构成的角呢?这就需要确定曲线在交点处的切线。 (二)探索新知 问题 1 已知:匀加速直线运动方程为: s (t ) ? v0 t ? 刻( t0 ?[0, T ] )的瞬时速度。

1 2 at ,t ? [0, T ] ,求:物体在 t 0 时 2

问题解决:设 t 为 t 0 的邻近时刻,则落体在时间段 [t0 , t ] (或 [t , t0 ] )上的平均速度为

v?
若 t ? t0 时平均速度的极限存在,则极限

s(t ) ? s(t0 ) t ? t0

v ? lim
t ?t0

s(t ) ? s(t0 ) t ? t0

为质点在时刻 t 0 的瞬时速度。 问题 2 已知:曲线 y ? f ( x) 上点 M ( x0 , y0 ) ,求: M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义;设曲线 C 及曲线 C 上的一点 M ,如图,在 M 外 C 上另外 取一点 N ,作割线 MN ,当 N 沿着 C 趋近点 M 时,如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极 限位置 MT ,直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线。

问题解决:取在 C 上 M 附近一点 N ( x, y) ,于是割线 PQ 的斜率为

tan ? ?

y ? y0 f ( x) ? f ( x0 ) ( ? 为割线 MN 的倾角) ? x ? x0 x ? x0

当 x ? x0 时,若上式极限存在,则极限

f ( x )? f x (0 ) ( ? 为割线 MT 的倾角) k ?tan ? ? lim x ? x0 x ? x0
为点 M 处的切线的斜率。 导数的定义 定义 设函数 y ? f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义, 若极限 lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0) 存在, 则称函数 x ? x0

f 在点 x0 处可导,并称该极限为 f 在点 x0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 。



f ( x )? f x ( 0) f ' (x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

(2) 也可记作 y? x ? x ,
o

dy dx


x ? xo

df ( x) 。若上述极限不存在,则称 f 在点 x0 处不可导。 dx x ? xo

f 在 x0 处可导的等价定义:
设 x ? x0 ? ?x, ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,若 x ? x0 则等价于 ?x ? 0 ,如果 函数 f 在点 x0 处可导,可等价表达成为以下几种形式:

f '( x0 ) ? lim
x ? x0

?y f ( x) ? f ( x0) ? f '( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x x ? x0

? f '( x0 ) ? lim

?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0) ?x

单侧导数的概念 在函数分段点处或区间端点等处,不得不考虑单侧导数: 定义 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 的某右邻域 ( x0 , x0 ? ? ) 上有定义,若右极限

?x ?0

lim?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0) ?y ? lim? ( 0 ? ?x ? ? ) ?x ?x ?0 ?x

存在,则称该极限为 f 在点 x0 的右导数,记作 f ? ' ( x0 ) 。 左导数

f ? ' (x0 )?

?x ? 0 ?

?y lim 。 ?x

左、右导数统称为单侧导数。 导数与左、右导数的关系:若函数 y ? f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义,则 f ' ( x0 ) 存 在 ? f ? ' ( x0 ) , f ? ' ( x0 ) 都存在,且 f ? ' ( x0 ) = f ? ' ( x0 ) 。 (三)知识巩固
2 例题 1 求 f ( x) ? x 在点 x ? 1 处的导数,并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程。

解:由定义可得:

?y f (1 ? ?x) ? f (1) (1 ? ?x) 2 ? 1 f ' (1) ? lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ? lim 2?x ? ?x 2 ? lim (2 ? ?x) ? 2 ?x ?0 ?x ?0 ?x

附注:在解决切线问题时,要熟悉导数的定义,并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题 2 设函数 f ( x ) 为偶函数, f ?(0) 存在,证明: f ?(0) ? 0 。 证
'

f ( x) ? f ( ? x)
?x ?0

? f (?x) ? f (??x)

又 f (0) ? lim

f (0 ? ?x) ? f (0) f (?x) ? f (0) ? lim ?x ?0 ?x ?x f (??x) ? f (0) f [0 ? (??x)] ? f (0) ? ? lim ? ? f ?(0) ? x ? 0 ?x ??x

? lim

?x ?0

? f ?(0) ? 0
附注:需要注意公式 f ' ( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) 的灵活运用,它可以变化成其他的形式。 x ? x0

例 3 证明函数 f ( x) ?| x | 在 x ? 0 处不可导。 证明

x ?0

lim ?

? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) 极限不存在。 x?0

f ( x) ? f (0) x f ( x) ? f (0) ?x ? lim ? 1 , lim ? lim ? ?1 ? ? ? x ?0 x x ?0 x ?0 x?0 x?0 x

故 f ( x) ?| x | 在 x ? 0 处不可导。 附注:判断一个函数在某点处是否可导,只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。 (四)应用提高 求曲线 y ? A. y=2x+1 (五)小结 本节课主要学习导数的基本概念,在经历探究导数概念的过程中,让学生感受导数的形成, 并对导数的几何意义有较深刻的认识。 本节课中所用数学思想方法:逼近、类比、特殊到一般。 (六)作业布置 1.已知 f ' (1) ? 2012,计算:

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
B. y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2

(

A )

f (1 ? ?x) ? f (1) ?x ? 0 ?x f (1) ? f (1 ? ?x) (3) lim ?x ? 0 4?x
(1) lim
2

f (1 ? ?x) ? f (1) ?x ? 0 ? ?x f (1 ? 2?x) ? f (1) (4) lim ?x ?0 ?x
(2) lim

2.计算函数 f ( x) ? ?2x ? 3 在点(1,1)处切线的方程。


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