当前位置:首页 >> 数学 >> 正弦定理解三角形

正弦定理解三角形


利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题: 1、已知三角形的两角和任意一边,求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形其他边与角。 例题设计一: 已知△ABC,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根 号或精确到 0.1)。 (1) ∠A=60° (2) ∠A=45° ∠B=45° a=10

∠B=105° c=10

(1)属于已知三角形的两角和其中一角的对边,先由三角形内角和定理知 ∠C=180°-∠A-∠B=75°,然后由正弦定理直接得:b= = =

≈8.2,c=

=

≈11.2

(2)为已知两角和另一角的对边,这时先利用∠A+∠B+∠C=π ,求出另一 角∠C=30°,然后由正弦定理得:a= = =

b=

=

=

这两道例题均选自教材,使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时,这 样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一: 设计意图:巩固当堂内容 已知在△ABC 中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求 a、b 和∠B.

解:∵

,∴a=

,∠B=180°-

(∠A+∠C) =180°(45°+30°) =105°, ∵

, ∴

b



=20sin75°=20×

=5

+5

.

例题设计二: 已知△ABC 中,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留 根号或精确到 0.1) (1) a=3 (2) a= (3) a=2 b=4 b=6 b=3 ∠A=30° ∠A=120° ∠A=45°

(1)由正弦定理得 sinB=





,再由三角形内角和定理

知∠B 的范围为:0°<B<150°,∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°,再根据“三 角形中大边对大角”知 b=4>a=3,∴∠B>∠A,

∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°; 当∠B≈41.8°时,∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°,

c=



≈5.7;

当∠B≈138.2°时,∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°,

c=



≈1.2。

2)由正弦定理得,sinB=





,再由三角形内角和定

理知∠B 范围为:0°<B<60°,∴∠B=45°,

∴∠C=180°-∠B-∠C=15°,再由正弦定理得:

c=



≈2.2。

(3)由正弦定理得:sinB=

=

=

>1,与

矛盾,∴无解。 这三道例题均选自教材,使学生明确在三角形中,已知两边和其中一边的对 角时,这样的三角形是不唯一的,可能出现两解,一解或无解的情况。学会用分 类讨论思想去解决问题。 习题设计二: 设计意图:巩固当堂内容,规范解题步骤。 1、在△ABC 中 b=10,c= ,∠C=60°,求∠B、∠A 及 a。

解:在△ABC 中,b=10,c=

,

,∴∠B<∠C=60°,由正弦定理得

sinB=

,∴∠B=45°, ∠A=180°-(∠B+∠C)=75°,

∴a=

2、在△ABC 中,已知 a=

,b=

,∠B=45°,求∠A、∠C 和 c。

解:由正弦定理,得 sinA=



∴∠A=60°或 120°.

当∠A=60°时,∠C=180°-(∠A+∠B)=75°, c= .

当∠A=120°时,∠C=180°-(∠A+∠B)=15°,

c=

.

故∠A=60°,∠C=75°,c=



∠A=120°,∠C=15°,c=

.

例题设计三: 根据下列条件,判断解三角形时是否有解,若有解,有几个解。 (1)a= (2)a=60, (3)a=7, (4)a=14, , b= b=48, b=5, b=16, , ∠A=120°; ∠B=60°; ∠A=80°; ∠A=45°.

解法一:理解透正弦定理,从解答中即可判断。

(1)∵∠A=120°,由 有一个值。∴有一解。



,得 sinB=

=

=

,只

(2)由



得 sinA=

=

=

>1,与

0<sinA≤1 矛盾,∴无解。

(3)由



得 sinB=

=

<1,又∵b<a,

∴∠B<80°,∴有一解。

(4)由



得 sinB=

<1,又 b<a,∴∠B>∠A,

∴∠B 有一锐角值和一钝角值,即有两解。

使学生明确若有一个为钝角, 则是一解或无解, 若无钝角则是一解或两解, 然后可由大边对大角来具体判断解的情况。 解法二:是从几何作图看:能否作出符合条件的三角形。 下图为在△ABC 中,已知 a、b 和∠A 时,解三角形的各种情况: (1)当∠A 为锐角时:

a<bsinA

无解

a=bsinA

一解

bsinA<a<b

两解

a≥b

一解

(2)当∠A 为直角或钝角时:

a≤b

无解

a>b

一解

通过上述方法可得: (1)∵∠A>90°,且 a>b,∴有一解,即这样的三角形是唯一的。

(2)∵asinB=60× 角形。

=30

, b=48,∴b<asinB,无解。即不存在这样的三

(3)∵a=7,b=5,∠A=80°,∴a>b,有一解。即这样的三角形是唯一的。

(4)∵bsinA=16× 三角形有两个。

=8

,a=14,∴bsinA<a<b,有两解。即符合条件的

让学生总结出: 1、三角形有唯一的条件: (1)、已知三角形的两角和一条边。 (2)、已知 a、b、∠A,解三角形时,若∠A 为钝角或直角,且 a>b 时, 有唯一解;若∠A 为锐角,且 a b 时,有唯一解;当 a=bsinA 时有唯一解。 2、三角形有两解的条件: 已知 a、b、∠A 解三角形时,若∠A 为锐角,且 bsinA<a<b 时,有两解。 3、三角形无解的条件: 已知 a、b∠A 解三角形时,且 a<bsinA 时无解;若∠A 为钝角或直角时,则 a≤b 时无解。 培养学生总结归纳能力、合作意识与自主探究精神,学会用数形结合思想来 解决问题。 习题设计三: 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的 作出解答。 (1)a=10, b=20, ∠A=80°; (2)a=2 ,b=6, ∠A=30°.

解:(1)a=10,b=20,a<b,∠A=80°<90°,讨论如下: ∵bsinA=20·sin80°>20·sin60°=10 ∴本题无解。 (2)a=2 ,b=6,a<b,∠A=30°<90°,又∵bsinA=6sin30°=3, ,∴a<b·sinA.

a>bsinA, ∴本题两解。

由正弦定理得 sinB=

=

=

,∴∠B1=60°或∠B2=120°

当∠B1=60°时,∠C1=90°,c1=

=

=4



当∠B2=120°时,∠C2=30°,c2=



=2

.

∴∠B1=60°,∠C1=90°,c1=4

;或∠B2=120°,∠C2=30°,c2=2



通过练习让学生固定解题模式。


更多相关文档:

正弦定理解三角形

___ 解三角形正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即: a sin A ? b sin B ? c sin C 例题 1. 不解三角形,下列判断正确的是( ...

正弦定理解三角形时解的个数

正弦定理与余弦定理 人教 A 版教材章节:必修 5 第一章解三角形第 1.1 节正弦定理和余弦定理 知三角形两边及一边对角时三角形解的个数的判定 自主探究 三角形...

正弦定理、余弦定理和解斜三角形

正弦定理、余弦定理和解斜三角形_高一数学_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理和解三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1、 正弦定理推导 在初中,我们已学过如...

解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

小小亲清辅导班 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)...

正弦定理解三角形

正弦定理解三角形_数学_高中教育_教育专区。利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题: 1、已知三角形的两角和任意一边,求三角形其他两边...

正弦定理与解三角形

正弦定理解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习课堂导学案 正弦定理解三角形 1 导学目标: 1.熟悉正弦定理内容,并会利用数学关系式做变形...

正弦定理已知两边及一边的对应角解三角形 判断解的情况

正弦定理已知两边及一边的对应角解三角形 判断解的情况: 弦定理已知两边及一边的对应角解三角形 判断解的情况: A>90° A=90° A<90° °=°° a>b a=b...

正弦定理与解三角形

正弦定理解三角形_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习导学案 正弦定理解三角形基础练习 1.在 ?ABC 中, B ? 450 , C ? 600 , c ? 1,则最短边...

正弦定理、余弦定理、解三角形

正弦定理、余弦定理、解三角形_高一数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理、余弦定理、解三角形一、选择题 1 .(2012 年高考(上海文) )在 ?ABC 中,若 sin ...
更多相关标签:
正弦定理 | 正弦定理解的个数 | 正弦定理解三角形例题 | 正弦定理 余弦定理 | 三角形正弦定理 | 直角三角形正弦定理 | 三角形的正弦定理 | 正弦定理求三角形面积 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com