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求分式函数值域的方法


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中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 3月 上 

求  试 ‘ 函 数 值 域 的 方 法 
浙 江 省 绍 兴 越 崎 中学 ( 3 1 2 0 5 0 )   张 普 元 

我 们 把 形 如 厂 (   ) 一 窘  
问 囊 求函 数   ) 一 麦 :  
i xZ     W e  ̄ xW f   口  ‘十 口 十  十 十 f f 

_  

( 分 子 分 母  
的 值域.  
形式, 而 (  )   ”  g …  

( 当 且 仅 当  一 一4时 取 等 号 ) .  

既约 , a 、 d不 同时 为 零 ) 的 函 数 称 为 二 次分 式 函 

因 此 , 函 数 , (   ) 的 值 域 为 [ 一 去 , 了 1 ] .  
注 这种解法对二次分式函 数比 较通用,  
但 要 求 掌 握 一 个 常 用 函 数 厂(  ) 一  +  ( 正 ≠  0 ) 的性 质 或 基 本 不 等 式 求 最 值 的方 法 .  
如 果 把 分 式 函 数 重 新 记 为 F( t )   ,  
J 、‘,  

数. 下 面举 例 说 明 二次 分 式 函数 值 域 的求 法 .  

我 们 可 以 把 函 数 式 变 形 为 f(   )= 
m   ( x

+  n)

‘十 十  p

 ̄ - h。 的 十 十 9  g

丽 . : - X - 3 L y /    , 工 2 +p z +q



q -   r ( . x q - n ) -  ̄ s ( s ≠0 u   ) .   ( xq -n) z

并 令{ l   一 , :   : 则F ( £ ) 的 几 何 意 义 就 是由 上  
j , = = = g tJ,  

当x +n   0时 , 则 易得 g (  ) 一o =  
当 z+  ≠ 0 时 , 继 续 变 形 为 g(   )= 

述 参 数 方 程 所 表 示 的 曲 线 上 的 点 与 原 点 连 线 

:   1 二   二  

’ 其中£   +  

的斜率. 如果 这 个 曲线是 我们 所 熟知 的, 则 可  用 解 析 几 何 的 方 法 求 得 这 个 斜 率 范 围. 即 为 原 
来 函数 的值 域 . 从而得到另一种解法 :  

h ( t ) 一£ +÷ , 故 只要 求 出常 见 函数 h( £ ) 的值 
域 即可 .   对 于 函 数 h( t ) , 如果 s <0 , 则 h( t ) 在 

并 令{  ̄ v : - £ 2 + t y 2 +   3   +  ( £ ∈ R ) ,  

( 一o 。 , o ) 和( 0 , +o 。 ) 内 分别 递增 , 易得 ^ ( £ ) 的 
范围.   一  

若s >O , 如果 f ∈R且 t = g = O , 则 可 由基 本不 等 

式求出 J l l ( £ ) 的取值 范围; 如果得 出 t 在某个范围 
内, 则根 据 函数 I I l ( t ) 的 单调 性 : 在( 0 , √  和[ 一  ,   0 ) 内分别递 减 , 在( 一o 。 , 一√  和 [  , +o 。 ) 内 分  别递增 , 荀得  > 的散 值范 围. 具体 地 ,  

是 点 抛 的 连 如 物 线 图 的 , 上 设 斜 的   o 率 点 P .   誊 和 的 原 斜     1   l 【   = / = =   — — ■  
率 为 k.   .   . .   一   -   ≮  ,  

, r ( ,. 列一 .  x - r 。 -  ̄  
当  +2 >0时 ,  
O < f(


+2   毓

,  

当 z+2 =O时 , ,(  ) 一O ;  

x  2 —-—L  ( x +2 ) T


 ̄ - 5  

≤ 言  

( 当且 仅 当 x=O时 取 等号 ) ;   当  +2   0时 ,   ’+  

[ 一 击 ,   1  

,  

O   > f ÷  毒  一 2 (   + 2 ) + —   三   + 5   ≥ _ ?   击  


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