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高考数学140分专题训练-函数与方程


高考数学 140 分专题训练
-函数与方程
了解函数的零点与方程的根的联系;深刻理解三个“二次”之间的关系,这是历届高考同时 也将会是以后高考的必考内容;学会用函数的观点研究和解决方程的有关问题。

函数与方程
(一)基本知识点 1、函数零点的定义 2、函数零点的性质 3、三个“二次”之间的关系 4、二分法求方程的近似解 (二)经

典例题: 1、 (1)在区间 ? 2, 3? 上,方程 log 2 log 3 x ? log 3 log 2 x 的实根个数是______

(2) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 2) ln x ? 2009 x ? 2010 ,则方程 f ( x) ? 0 在下面哪个区间
2

内必有实根( A.(0,1)

) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)

(3)已知函数 f

? x? ?

x2 ? 2 ax? a 区 间 ? ??,1? 上 有 最 小 值 , 则 函 数 在

f ? x? x

在区间

?1, ?? ? 上是(
A.有两个零点

) B.有一个零点 C.无零点 D.无法确定

(4)方程 3 ( x ? 1)( x ? 4) ? 3 ( x ? 2)(5 ? x) ? 6 的实数解的个数为( A.0 B.1 C.2



D.大于 2

( 5 ) 2011 年 数 学 理 ( 山 东 ) 已 知 函 数 f ( x) ? log a x ? x ? b ? a ? 0, a ? 0 ? , 当 ( )

2 ? a ? 3 ? b ? 4 时,函数 f ( x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= ________.

(6)若函数 f ( x) 的零点与 g ( x) ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,
x



f ( x) 可以是(
A. f ( x) ? 4 x ? 1

) B. f ( x ) ? ? x ? 1?
2

C. f ( x) ? e ? 1
x
2

D. f ( x) ? ln ? x ?

? ?

1? ? 2?

2、 (1)是否存在这样的实数 k ,使得关于 x 的方程 x ? ? 2k ? 3? x ? ? 3k ? 1? ? 0 有两个实 数根,且两根都在 0 与 2 之间?如果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明理由.

(2)设 x1 , x2 分别是关于二次方程 ax ? bx ? c ? 0 和 ?ax ? bx ? c ? 0 的一个非零实根,
2 2

且 x1 ? x2 ,证明方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 必有一根在 x1 与 x2 之间。 2
2

(3) (2011 年数学理(重庆) )设 m, k 为整数,方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间 ? 0,1? 内有两个 不同的实根,则 m ? k 的最小值为( A.-8 B. 8 ) C . 12 D . 13

(4) (2011 年数学理(天津) )对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

? a, a ? b ? 1, 设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实
数 c 的取值范围是( ) A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? 2?

B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? ? 4?

C. ? ?1, ? ? ?

? ?

1? 4?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? ?1, ?

? ?

3 ? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ?

(5)已知函数 f ( x) ? log 4 (4 ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数.
x

①求 k 的值; ②设 g ( x) ? log 4 (a ? 2 ?
x

4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 3

的取值范围。
第 2 页 共 7 页

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 3、 (2010 年高考(福建文) (1) )函数 f ( x) ? ? 的零点个数为( ) ??2 ? ln x, x ? 0
A.3 B.2 C.1 D.0

(2)函数 f ( x) 对任意 x ? R ,满足 f ( x) ? f (4 ? x) ,如果方程 f ( x) ? 0 恰有 2007 个根, 则所有这些实根之和为____

? 1 ( x ? 2) ? ( 3 ) 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ? ?| x ? 2 | ?1( x ? 2) ?

若关于 x 的方程

f 2 ( x) ? af ( x) ? b ? 0 有 3 个不同实数解 x1 、 x2 、 x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法中错误
的是: (
2


2 2

A x1 ? x2 ? x3 ? 14

B

1? a ? b ? 0

C

x1 ? x3 ? 2 x2

D x1 ? x3 ? 4

(4) (2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ____

( 5 ) 设 函 数 f ( x) ? x ? 1 ? 2
3

x ?1

的 四 个 零 点 分 别 为 x1、x2、x3、x4 , 则

f ( x1 +x +x +3 ) ? ___________ x 4 2
? x ? 1 , x ? 0,
2 ?( x ? 1) , x ? 0

(6)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?
2

,试找出一组 b 和 c 的值,使得关于 x 的

方程 f ( x) ? b ? f ( x) ? c ? 0 有 7 个不同的实根.请说明你的理由.

2 (7)关于 x 的方程 x ? 1

?

?

2

? x 2 ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;
第 3 页 共 7 页

④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 4、 (1)设方程 2 A x1 x 2 ? 0
?x

D. 3

? lg x 的两个根为 x1 , x 2 ,则 ( )
B x1 x 2 ? 1 C x1 x 2 ? 1 D 0 ? x1 x2 ? 1

? lg x , 0<x ? 10, ? (2) (2010 年高考(全国新课标理) )已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a, b, c 互不相 ?? x ? 6, x>10 ? 2
等,且 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? ,则 abc 的取值范围是( ) A. ?1,10 ? B.

? 5, 6 ?

C. ?10,12 ?

D.

? 20, 24 ?

5、 已知函数

1 1? t f ( x) ? x ? 1, y ? x 2 ? 2 x ? 2 ? t , y ? ( x ? )( x ? 0) 的最小值恰好是 2 x

方程 x

3

? ax 2 ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 ?
2

(1)求证: a ? 2b ? 3 ; (2)设 ( x1 , M ), ( x 2 , N ) 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的两个极值点?①若 x1 ? x 2 ? 函数 f (x) 的解析式;②求 M ? N 的取值范围?

2 ,求 3

6、已知函数 f ( x) ?

4( x ? a) . x2 ? 4

(1)当 x ?[?2, 2] 时,求使 f ( x) ? a 恒成立的 a 的取值范围; (2)若方程 x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根为 ? , ? ,证明:函数 f ( x) 在 [? , ? ] 上是单调函数.
2

7、设定义在 R 上的函数 f ( x),满足当x ? 0时,f ( x) ? 1,且对任意的 x, y ? R ,有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),f (1) ? 2 .
(1)求证:对任意 x ? R, 都有f ( x) ? 0 ; (2)解不等式: f (3x ? x 2 ) ? 4 ;
第 4 页 共 7 页

(3)解方程: [ f ( x)] ?
2

1 f ( x ? 3) ? f (2) ? 1 2

8、(07 年高考题(江苏))已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,
2

g ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d

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·2007·

方 程 f ( x )? 0有 实 数 根 , 且 f ( x) ? 0 的 实 数 根 都 是
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g ( f ( x)) ? 0 的根;反之, g ( f ( x)) ? 0 的实数根都是 f ( x) ? 0 的根
(1)求 d 的值; (2)若 a ? 0 ,求 c 的取值范围; (3)若 a ? 1 , f (1) ? 0 ,求 c 的取值范围
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·2007·

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(三)巩固与提高: 1、 已知三个函数 f ( x) ? 2 ? x, g ( x) ? x ? 2, h( x) ? log 2 x ? x 的零点依次为 a, b, c 则 (
x



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

2、函数 f ( x) ? ln x ? A.0 个

1 的零点的个数是 x ?1
B.1 个



) D.3 个

C.2 个

3、 (2010 年高考(天津文) )函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是(
x



A. (-2,-1)

B. (-1,0)

C. (0,1)

D. (1,2)

4、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,若方程恰有 8 个不同的实根, 则实数 k 的取值范围是______.

x 5 、 2010 年 高 考 ( 浙 江 文 ) 已 知 x0 是 函 数 f ( x) ? 2 ? ( )

1 的一个零点,若 1? x

x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 , ??) ,则( )
A. f ( x1 )<0, f ( x2 )<0 C. f ( x1 )>0, f ( x2 )<0 B. f ( x1 )<0, f ( x2 )>0 D. f ( x1 )>0, f ( x2 )>0

第 5 页 共 7 页

6、已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 ? x ? 1? , x ? 0 ?
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ?

,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m ,有 3 个零点,则实数 m

的取值范围是_____________.

7、已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x ,正实数 a 、 b 、 c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数

1 3

d 是函数 f ( x) 的一个零点,那么下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .
其中可能成立的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2 8、 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 7 个
2

不同的实数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ,则 x1 ? x 2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? ____.

? 1 ??? x ? 1 ? 2 9、定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ,若关于 x 的的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 3 ?1 ?? x ? 1 ?
个不同的整数解 x1 , x2 , x3 ,则 x12 ? x2 2 ? x32 ? ( )

A.13

2b 2 ? 2 B. b2

C.5

2c 2 ? 2 D. c2

10、设函数 f ( x) ? ? 取值范围为_____.

?21? x , x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

,方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两相不等实数根,则实 a 的

11、若函数 f ( x) ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 有两上不同的零点,则 a 的取值范围
x x



12、定义域和值域均为 ?? a, a? (常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图像如图所示, 给出下列四个命题: (1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解;

第 6 页 共 7 页

(3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; (4)方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是____________ 。

13、 已知 x1 是方程 x ? lg x ? 2 的根, 2 是方程 x ? 10 ? 2 的根, x1 ? x2 的值 x1 ? x2 ? 2 】 求 【 x
x

14、已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 ? a ? 1? ,证明: x ?1

(1)函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根。

15、设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 若 a ? b ? c ? 0 ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,求证:
2

(1) a ? 0 且 ?2 ?

b ? ?1 ; a b b ) 与 (? ,1) 内分别有一实根 3a 3a

(2) 方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

16、已知关于 x 的二次函数 f ( x) = x + (2t - 1) x + 1- 2t . (1)求证:对于任意 t ? R ,方程 f ( x) = 1 必有实数根; (2)若
1 2 < t< 3 4

2

,求证:方程 f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

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