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导数与函数的单调性、极值、最值 教学设计


课题:导数与函数的单调性、极值、最值

科目: 数学 提供者:段秀香

教学对象:高三 单位:静海第六中学

课时第 1 课时

一、教学内容分析 现在中学数学新教材中,导数(选修 2-2)处于一种特殊的地位,是 高中数学知识的一个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。天 津高考中必有考一道解答题(如 2009-2011 年常规题或 2012-2014 年压轴题)和一道选择 题或填空题。这节课主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 二、教学目标 知识与技能 通过复习使学生能够利用导数求函数的单调区间、求函数的极大(小)值、求函数在连续 区间上的最大值和最小值 过程与方法目标 通过对导数这一块内容的复习归纳,发展学生的推理能力和运算能力,让学生体会从 发现问题、分析问题、解决问题的乐趣, 情感态度与价值观 通过探究过程,提高学生的悟性,增强学生的应考信心,从而争取最好的教学效果。

三、学习者特征分析 我所教两个班级(高三新接手):一个重点班一个普通班,重点班基础较好,普通班 起点较低。对学生的了解方式:两个多月的观察和接触了解以及高二期末成绩和高三第一 次月考成绩,另外,还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。

四、教学策略选择与设计 教学策略的选择设计立足学生实际选题,关注高考的动向,既重视基础,又注重对学 生数学能力与综合素质的提高。 五、教学重点 1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直观而且条理, 减少失分.

2、求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 教学难点 内进行. 2. 求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3. 解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分 极值 六、教学过程 教师活动 题型一 利用导数研究函数的单调性
教师启迪 函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论. 学生自主完 成解答过程, 然后利用投 例 1 已知函数 f(x)=ex-ax-1. 影展示,纠正 (1)求 f(x)的单调增区间; 错误,规范书 (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值 写。 范围,若不存在,请说明理由. 解 f′(x)=e -a,
x x

1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域

学生活动

设计意图
让学生进一步 明 确 (1) 利 用 导数的符号来 判断函数的单 调性; (2) 已 知 函 数 的单调性求函 数范围可以转 化为不等式恒 成立问题; (3)f(x) 为 增 函 数充要条件是 对 任 意 的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在

(1)若 a≤0,则 f′(x)=e -a≥0, 即 f(x)在 R 上单调递增, 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥ln a. 因此当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为 R, 当 a>0 时,f(x)的单调增区间是[ln a,+∞). (2)∵f′(x)=e -a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥e 在 x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e <e <e ,只需 a≥e . 当 a=e 时,f′(x)=e -e 在 x∈(-2,3)上, f′(x)<0,即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e . 故存在实数 a≥e ,使 f(x)在(-2,3)上为减函数.
3 3 3 x 3
-2

x

x

x

x

x

3

3

(a , b) 内的任 一非空子区间 上 f′(x)≠0. 应注意此时式 子中的等号不 能省略,否则 漏解.

直击高考 1 江西卷 12. 设 增, ,则 是 的( B ) 在
学生小组合 作学习,展示 内单调递 成果,其他组 点评

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
学生自主完 让 学生明 确 成解答过程, (1) 导 函 数 的

题型二 利用导数求函数的极值
教师启迪

(1)通过 f′(2)的值确定 a;(2)解 f′(x)=0,然后要讨论 然 后 利 用 投 零点并不一定 影 展 示 纠 正 就是函数的极 错误,规范书 值点.所以在 写 求出导函数的 零点后一定要 注意分析这个 零点是不是函 数的极值点. (2)若函数 y= f(x)在区间(a, b) 内有极值, 那么 y=f(x)在 (a , b) 内绝不 是单调函数, 即在某区间上
2

两个零点的大小确定函数的极值. 例2 1 设 a>0,函数 f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2))处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. ex 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 1+ax -2ax 解 对 f(x)求导得 f′(x)=ex· .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= .结合①,可知 2 2 x f′(x) f(x)

?-∞,1? 2? ?
+ ↗

1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?
- ↘

3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?
+ ↗

单调函数没有 极值.

3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立, 即 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0, 由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.

学生小组合

直击高考 2
(2009 津 20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜 率;
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

作学习,展示 成果,其他组 点评

(2) 当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

题型三 利用导数求函数的最值
教师启迪 (1)题目条件的转化:f(1)=g(1)且 f′(1)=g′(1);

学生自主完 使 学生明 确 成解答过程, (1) 求 解 函 数

(2)可以列表观察 h(x)在(-∞,2]上的变化情况,然后确定 k 的取值 然 后 利 用 投 的最值时,要 范围. 例3 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. 影展示,纠正 先求函数 y = 错误,规范书 f(x)在[a,b]内 所有使 f′(x) =0 的点,再 计算函数 y = f(x) 在 区 间 内 所有使 f′(x) =0 的点和区 间端点处的函 数值,最后比 较即得. (2) 可 以 利用列表法研 究函数在一个 (1,2) + ↗ 2 + 3 区间上的变化 情况.

(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线,写。 求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围. 解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.

因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 所以 f(1)=g(1)且 f′(1)=g′(1),即 a+1=1+b 且 2a=3+b, 解得 a=3,b=3. (2)记 h(x)=f(x)+g(x),当 a=3,b=-9 时, h(x)=x3+3x2-9x+1,所以 h′(x)=3x2+6x-9. 令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. h′(x),h(x)在(-∞,2]上的变化情况如下表所示: x h′(x) h(x) (-∞,-3) + ?↗ -3 0 28 (-3,1) - ↘ 1 0 -4

由表可知当 k≤-3 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 28; 当-3<k<2 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28. 因此 k 的取值范围是(-∞,-3].

冲一冲:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

学生小组合 使 学生明 确 作学习,展示 (1) 本 题 考 查 成果,其他组 求函数的单调

思维启迪 (1)解方程 f′(x)=0 列表求单调区间;(2)根据(1)中表格,点评,然后利 区间,求函数 讨论 k-1 和区间[0,1]的关系求最值. 规范解答 解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)ex. 用投影展示, 在 给 定 区 间 纠正错误,规 [0,1] 上 的 最 范书写。 值,属常规题 型. (2) 本 题 的 难 k-1 0 -ek
-1

令 f′(x)=0,得 x=k-1.[2 分] f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ↘ (k-1,+∞) + ↗

点是分类讨 论.考生在分 类时易出现不 全面,不准确 的情况. (3) 思 维 不 流 畅,答题不规 范,是解答中 的突出问题.

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1, +∞).[6 分] (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k;[8 分] 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.[10 分] 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 1<k<2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k≥2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.[12 分]

七、教学评价设计
学生自我评价表

评 价 内 容

评 价 等 级 优(5) 良(4) 中(3)

评价目的

我能认真听老师讲,听同学发言。

能否认真专注

遇到会答的问题都主动举手了。 发言时声音响亮 我能积极参与小组讨论活动, 能与 他人合作? 善于思考, 并能有条理地表达自己 不同的看法。 我会指出同学错误的解答 我能常得到老师的表扬、 同学的赞 赏。 我已养成良好的写批注的学习习 惯 我在学习的过程中感到快乐。 最欣赏哪个同学的表现呢?为什 么? 我还有与这节课的内容相关的问 题问老师 得分

能否主动参与 能否自由表达 能否善于合作

能否独立思考

是否敢于否定 是否欣赏自我

能否独立思考

是否兴趣浓厚

八、板书设计 例1 - -- -- -- - - - - 例2 - - - - - - - - 例3 - - - - 典例 - - - - -

直击高考 1

直击高考 2

(解答过程略)

答题模板
用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以 下几步答题: 第一步:求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较, 确定 f(x)的最大值与最小值; 第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范.

九.教学反思 可以从如下角度进行反思(不少于 200 字) : 这节课通过三个题型 1、利用导数研究函数的单调性 2、利用导数求函数的极值

3、利用导数求函数的最值的训练,使学生达到能够利用导数求函数的单调区间、求函数 的极大(小)值、求函数在连续区间上的最大值和最小值的目的。例题后直击高考,针对 性训练更好地让学生把握高考要求,小组合作探究让成绩落后的学生参与进来,投影展示 成果,畅所欲言,找错纠错,很好培养了全体学生自主学习的意识,对学生的要求基本达 到。 但对于题型三, 学生利用数形结合简化思维过程和运算过程的意识还有待加强, 另外, 当函数 f(x)是增函数(或减函数)时,f′(x)≥0 恒成立(f′(x) ≤0 恒成立) ,学生还不能真正 理解,经常丢掉等号,如果以后再上这方面在加强一些。


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