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专题18+立体几何中三视图及其应用-三年高考(2015-2017)数学(文)试题分项版解析


1.【2017 课标 II,文 6】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视 图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π

【答案】B

【考点】三视图

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状 并画出其直观图.
2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数 据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据. 2.【2017 北京,文 6】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A)60 (C)20

(B)30 (D)10

【答案】D 【解析】 试题分析:该几何体是三棱锥,如图:

图中红色线围成的几何体为所求几何体,该几何体的体积是 V ? 故选 D. 【考点】1.三视图;2.几何体的体积.

1 1 ? ? 5 ? 3 ? 4 ? 10 , 3 2

【名师点睛】本题考查了空间想象能力,由三视图还原几何体的方法:

如果我们死记硬背,不会具体问题具体分析,就会选错,实际上,这个题的俯视图不是几 何体的底面,因为顶点在底面的射影落在了底面的外面,否则中间的那条线就不会是虚 线.@网 3.【2015 高考陕西,文 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 )

【答案】 D

【考点定位】1.空间几何体的三视图;2.空间几何体的表面积. 【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积,意在考查考生的识图能力、 空间想象能力以及技术能力;2.先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出几何体各 个面的面积即可;3.本题属于基础题,是高考常考题型. 4.【2016 高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

【答案】B

考点:三视图

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状 并画出其直观图.
2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数

据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据. 5.【2015 北京文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. B. 2 C. 3 ) D.

【答案】C

【考点定位】三视图. 【名师点晴】本题主要考查的是三视图,属于容易题.解题时一定要抓住三视图的特点,否则 很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出几何体中最长棱的棱长 即可. 6.【2015 新课标 2 文 6】 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】

试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 正方体体积的

1 ,剩余部分体积是 6

5 1 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 6 5

【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 【名师点睛】 由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题 基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇 .由三视图 还原出原几何体,是解决此类问题的关键.学#

7. (2014 课标全国Ⅰ,文 8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一 个几何体的三视图,则这个几何体是( ).

A. 三棱锥 棱柱 答案:B

B. 三棱柱

C. 四棱锥

D. 四

名师点睛:本题考查根据三视图判断原几何体的形状,考查空间想象能力,容易题. 三视图的 长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即主视图和左视图一样高,主视图和俯视图一样长, 左视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中, 要注意实、虚线的画法. 8.【2015 高考安徽,文 9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

(A) 1 ? 3 【答案】C

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

【解析】由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图,如下图所示:

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,且 ?PAC ≌ ?ABC ,由三视图中所给数据可知:

PA ? PC ? AB ? BC ? 2 ,取 AC 中点 O, 连接 PO, BO ,则 Rt ?POB 中,
PO ? BO ? 1 ? PB ? 2 ∴ S ? 2 ?

3 1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ,故选 C. 4 2

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式. 【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时,一定要正确还原几何 体的直观图,然后再利用体积或表面积公式求之;本题主要考查了考生的空间想象力和基本运 算能力. 9. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 7】 在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④ 的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和② 【答案】D

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

考点:空间由已知条件,在空间坐标系中作出几何体的形状,正视图与俯视图的面积,容易题. 【名师点睛】将空间几何体的三视图与空间直角坐标系融合在一起,凸显了数学内知识间的内 在联系,充分体现了数学特点和知识间的内在联系,能较好的考查学生的综合知识运用能力 . 其解题突破口是正确地在空间直角坐标系中画出该几何体的原始图像. 10.【2015 高考重庆,文 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A)

1 ? 2? 3

(B)

13? 6

(C)

7? 3

(D)

5? 2

【答案】B

【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积. 【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算,采用三视图还原成直观图,再利用 简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题,注意运算的准确性. 11. 【2015 高考浙江, 文 2】 某几何体的三视图如图所示 (单位: , 则该几何体的体积是 ( cm ) A. D. )

cm3

3 B . 12 cm

C.

32 cm3 3

40 cm3 3

【答案】C

【解析】由三视图可知,该几何体是一个棱长为的正方体与一个底面边长为,高为的正四棱锥
3 2 的组合体,故其体积为 V ? 2 ? ? 2 ? 2 ?

1 3

32 3 cm .故选 C. 3

【考点定位】1.三视图;2.空间几何体的体积. 学¥ 【名师点睛】 本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结 构特征,并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题,重点考查空间想象 能力和基本的运算能力. 12.【2016 高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体 的体积为( )

(A) +

1 2 1 2 π π (B) + 3 3 3 3

(C)

1 2 2 + π (D) 1+ π 3 6 6

【答案】C

考点:1.三视图;2.几何体的体积. 【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算,本题涉及正四棱锥及球的体积计算, 综合性较强,较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. 13. 【2014 四川,文 4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

(锥体体积公式: V ? A、 B、

1 Sh ,其中 S 为底面面积,为高) 3
C、 3
2

D、

1 2 2 1 1 1 侧视图

2 俯视图

【答案】D

A

A

D C B
B O

D C

【考点定位】空间几何体的三视图和体积. 【名师点睛】 本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结 构特征,并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题,重点考查空间想象 能力和基本的运算能力. 14. 2016 高考新课标Ⅲ文数]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的表面积为( )

(A) 18 ? 36 5 【答案】B 【解析】

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

试题分析:由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积

S ? 2 ? 3? 6 ? 2 ? 3? 3 ? 2 ? 3? 3 5 ? 54 ? 18 5 ,故选 B.
考点:空间几何体的三视图及表面积.

【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题,关键是找到其中的特征图形,如棱 柱中的矩形,棱锥中的直角三角形,棱台中的直角梯形等,通过这些图形,找到几 何元素间的关系,建立未知量与已知量间的关系,进行求解.&网
15.【2015 高考湖南,文 10】某工作的三视图如图 3 所示,现将该工作通过切削,加工成一个 体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的 利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积) ( A、 )

8? 9

B、

8 27?

C、

24( 2 ? 1) 2

?

D、

8( 2 ? 1) 2

?

【答案】A

【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件,本题“和为定”是解决 问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键, 可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体 的体积,关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征,再结合分割法、补体法、转化 法等方法求体积. 16.【2016 高考新课标 1 文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相

28π 互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 ,则它的表面积是(



(A)17π 【答案】A

(B)18π

(C)20π

(D)28π

考点:三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】 由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题 基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇 .由三视图 还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 17.【2015 高考北京,文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. B. 2 C. 3 ) D.

【答案】C

【考点定位】三视图. 【名师点晴】本题主要考查的是三视图,属于容易题.解题时一定要抓住三视图的特点,否则 很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出几何体中最长棱的棱长 即可. 18.【2017 山东,文 13】由一个长方体和两个 的体积为 .

1 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体 4

【答案】 2 ?

π 2

【解析】试题分析:由三视图可知,长方体的长宽高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆半径为 1, 所以

V ? 2 ? 1? 1 ? 2 ?

π ?12 π ?1 ? 2 ? . 4 2

【考点】三视图及几何体体积的计算.

【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高 平齐、宽相等”的原则.

(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几 何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关 系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.
19.【2014 高考北京文第 11 题】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长 为 .
2

2 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

俯视图

【答案】 2 2

考点:本小题主要考查立体几何中的三视图,考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解 决问题的能力. 20.【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积 .

侧视图

俯视图

【答案】 【解析】

3 3

试题分析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为 S ? 所以该几何体的体积为 V ?

1 ? 2 3 ?1 ? 3 ,高为 1, 2

1 1 3 . Sh ? ? 3 ?1 ? 3 3 3

考点:1.三视图;2.几何体的体积.

【名师点睛】本题考查三视图,考查几何体体积,考查学生的识图能力.解题时要 求我们根据三视图想象出几何体的形状,由三视图得出几何体的尺寸,为此我们必 须掌握基本几何体(柱、锥、台、球)的三视图以及各种组合体的三视图.~网
21.【2015 高考天津,文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3 .

【答案】

8π 3

【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 【名师点睛】 由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题 基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇 .由三视图 还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

22.【2014 天津文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的 体积为
m3 .

【答案】

20 ?. 3

考点:三视图

考点定位:本题考点为利用三视图还原几何体及求组合体的体积 【名师点睛】本题考查三视图及求组合体的体积,本题属于基础题,正确利用三视图还原为原 几何体,特别是有关数据的还原,本题中的几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体,借助三视 图中的数据,求出圆锥和圆柱的体积,两体积相加得出组合体的体积,三视图问题为今年高考 热点,是必考题,是高考备考的重点,近几年出题难度逐年增加.


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