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2014高考新课标数学考点总复习


2014 高考新课标数学考点总复习

一.专题综述
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识 交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题 中,其一主要考查平面向量的性质和运算法则,以及基本运算技能,考查考生掌握平面向量 的和、差、数乘和内积的运算法则,理解其几何意义,并能正确的进行计算;其二是考查向 量的坐标表示,向量的线性运算;其三是和其它数学知识结合在一起,如和曲线、数列等知 识结合.向量的平行与垂直,向量的夹角及距离,向量的物理、几何意义,平面向量基本定 理,向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合,始终是命题 的重点.

二.考纲解读
1. 理解平面向量的概念和向量相等的含义.理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运 算,并理解其几何意义. 2.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性 质及其几何意义. 3. 理解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表 示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌 握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 三.2014

年高考命题趋向

1. 对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考 中常考查的问题, 常以选择题的形式考查, 特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几 何意义, 以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中, 但是难度不大, 为中、低 档题. 2. 对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、 解析几何等知识相交汇的问题是每 年高考的必考内容, 并且均出现在解答题中, 所占分值较高. 其中向量与三角相结合的问题较 容易, 属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度, 为中、高档题. 3.在复习中要把知识点、训练目标有机结合.重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则 等. 明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份, 能够把向量的非坐标公式和坐标公 式进行有机结合,注意“数”与“形”的相互转换.在复习中要注意分层复习,既要复习基 本概念、基本运算,又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向 联系,以体现向量的工具性.

四.高频考点解读

考点一 向量的几何运算
→ → → 例 1 [四川卷] 如图 1-2,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( )

图 1-2 → → → A.0 B. BE C.AD D.CF 【答案】D → → → → → → → → → 【解析】 BA+CD+EF=BA+AF-BC=BF-BC=CF ,所以选 D. 【解题技巧点睛】 当向量以几何图形的形式出现时, 要把这个几何图形中的一个向量用其余 的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量

MN ? ON ? OM (其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向
量.

考点三 向量平行与垂直
例 4[广东卷] 已知向量 a=(1,2),b=(1, 0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 【答案】B 【解析】 因为 a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),又因为(a+λb)∥c, 1 所以(1+λ)×4-2×3=0,解得 λ= . 2 例 5[课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 k a -b 垂直,则 k =________. 【答案】1 【解析】 由题意, 得(a+b)· (k a-b)=k|a|2 -a· b+k a· b-|b|2 =k +(k -1)a· b-1=(k -1)(1+a· b) =0,因为 a 与 b 不共线,所以 a· b≠-1,所以 k -1=0,解得 k =1.

考点四 向量的数量积、夹角与模

例 6[广东卷] 若向量 a,b,c 满足 a∥ b 且 a⊥ c,则 c· (a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】D 【解析】 因为 a∥b 且 a⊥ c,所以 b⊥ c,所以 c· (a+2b)=c· a+2b· c=0. → → → → → → 例 7[湖南卷] 在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设BC=2BD, CA =3CE , 则AD· BE=________. 1 【答案】- 4 【解析】 由题知,D 为 BC 中点,E 为 CE 三等分点,以 BC 所在的直线为 x 轴,以 AD 所 1 ? 3? ?1 3? 在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,可得 A 0, ,D(0,0),B? - ,0? ? ?,E?3, 6 ?, ? ? 2 2 3 3 1 → → → → 故AD=?0,- 3?,BE=?5, 3?,所以AD· BE=- × =- . ? ? ? ? 2 6 4 2 6 6 例 8[江西卷] 已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. π 【答案】 3 【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ,由(a+2b)(a-b)=-2 得 1 π |a|2 +a· b-2|b|2 =4+2×2×cos θ-2×4=-2,解得 cos θ= ,∴θ= . 2 3 例 9[课标全国卷] 已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题: 2π 2π p1 :|a+b|>1?θ∈?0, ?;p2 :|a+b|>1?θ∈? ,π? ? 3? ?3 ? π π p3 :|a-b|>1?θ∈?0, ?;p4 :|a-b|>1?θ∈? ,π?. ? 3? ?3 ? 其中的真命题是( ) A.p1 ,p4 B.p1 ,p3 C.p2 ,p3 D.p2 ,p4 【答案】A 1 1 2π? 【解析】 因为|a+b|>1?|a|2 +2a· b+|b|2 >1?a· b>- ?|a||b|cos θ=cosθ>- ?θ∈ ? ?0, 3 ? , 2 2 1 2 2 所以 p1 为真命题,p2 为假命题.又因为 |a-b|>1?|a| -2a· b+|b| >1?a· b< ? |a||b| cos θ = 2 1 π ? ? cos θ< ?θ∈? ,π?,所以 p4 为真命题,p3 为假命题. 2 3 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式 a·b=|a||b|cos θ ;二是坐标 式 a· b=x1 x2 +y1 y2 .定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角 的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求 数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系, 明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.

考点五 向量的应用
→ → 例 10[山东卷] 设 A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1 A3=λA 1 A2(λ∈ 1 1 → → R),A 1 A4=μA 1 A2(μ∈R),且 + =2,则称 A 3 ,A 4 调和分割 A1 ,A 2 ,已知平面上的点 C,D λ μ 调和分割点 A ,B ,则下面说法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 1 1 → → → → 【解析】 若 C、D 调和分割点 A ;B ,则AC=λAB(λ∈R),AD=μAB(μ∈R),且 + =2. λ μ 1 1 → 1→ 对于 A:若 C 是线段 AB 的中点,则AC= AB?λ= ? =0,故 A 选项错误;同理 B 选项 2 2 μ

1 1 错误;对于 C:若 C、 A 同时在线段 AB 上, 则 0<λ<1,0<μ<1? + >2,C 选项错误;对于 D: λ μ 1 1 若 C、D 同时在线段 AB 的延长线上,则 λ>1,μ>1? + <2,故 C、D 不可能同时在线段 λ μ AB 的延长线上,D 选项正确. ?x+y≥2, 例 11[福建卷] 已知 O 是坐标原点,点 A (-1,1),若点 M(x,y)为平面区域? x≤1,

?

? ? y≤2



→ → 的一个动点,则OA · OM的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] 【答案】C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图 1-2), → → 又OA · OM=-x+y,取目标函数 z=-x+y,即 y=x+z,作斜率为 1 的一组平行线,

当它经过点 C(1,1)时,z 有最小值,即 zmin =-1+1=0; 当它经过点 B (0,2)时,z 有最大值,即 zma x=-0+2=2. → → ∴ z 的取值范围是[0,2],即OA · OM的取值范围是[0,2],故选 C. 例 12[陕西卷] 叙述并证明余弦定理. 【解答】 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A ,B ,C 的对边,有 a2 =b2 +c2 -2bccos A , b2 =c2 +a2 -2cacos B , c2 =a2 +b2 -2abcos C. 证法一:如图 1-9,

→ → a2 =BC· BC → → → → =(AC-AB)· (AC-AB) →2 → → →2 =AC -2AC· AB+AB →2 → → → =AC -2|AC|· |AB|cos A +AB2 2 2 =b -2bccosA +c , 2 2 2 即 a =b +c -2bccosA . 2 2 2 同理可证 b =c +a -2cacosB , c2 =a2 +b2 -2abcos C. 证法二:已知△ABC 中,角 A ,B ,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直 线为 x 轴建立直角坐标系(如图 1-10),

则 C(bcos A ,bsinA ),B (c, 0), 2 2 2 2 ∴a =|BC| =(bcos A -c) +(bsinA ) 2 2 2 2 2 =b cos A -2bccos A +c +b sin A 2 2 =b +c -2bccos A . 同理可证 b2 =c2 +a2 -2cacosB , 2 2 2 c =a +b -2abcos C. 【解题技巧点睛】 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中. 在三角函数 问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系,解题的关键还是三角函数问 题, 这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比; 解析几何中向量知识只要是给出一些 几何量的位置和数量关系, 在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关 系,最后的解题还得落实到解析几何方面.

考点六 与向量相关的最值问题
1 例 12[全国卷] 设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a· b=- , 〈a-c,b-c〉=60° ,则|c|的最 2 大值等于( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 【答案】A 【解析】 设向量 a, b, c 的起点为 O, 终点分别为 A , B, C, 由已知条件得, ∠AOB =120° , ∠ACB =60° ,则点 C 在△AOB 的外接圆上,当 OC 经过圆心时,|c|最大,在△AOB 中,求 3 得 AB = 3,由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是 =2,|c |的最大值是 2,故选 A. sin120° 例 13[辽宁卷] 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤ 0,则|a+b-c|的最大 值为( ) A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 【答案】 B 【解析】 |a+b-c|= ?a+b-c?2= a2 +b2 +c2 +2a· b-2a· c-2b· c,由于 a· b=0,所以上式 2 = 3-2c· ?a+b?, 又由于(a-c)· (b-c)≤0, 得(a+b)· c≥c =1, 所以|a+b-c|= 3-2c· ?a+b? ≤1,故选 B. 例 14[天津卷] 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 → → DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为________. 【答案】5 【解析】 建立如图 1-6 所示的坐标系,设 DC=h,则 A (2,0),B(1,h). 设 P (0,y),(0≤y≤h) → → 则PA=(2,-y),PB=(1,h-y), 2 → → ∴ PA +3PB = 25+?3h-4y? ≥ 25=5.

|

|

例 15[浙江卷] 若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的

1 面积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2 π 5π? 【答案】? ?6, 6 ? 1 1 1 【解析】 由题意得:|α||β| sinθ= ,∵|α|=1,|β| ≤1,∴sinθ= ≥ . 2 2|β| 2 π 5π 又∵θ∈(0,π),∴θ∈? , ?. ?6 6 ? 【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试 题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如一个向量模的最值、两个向量夹 角的范围等.最值和范围问题都是在变动的情况下,某个量在一个特殊情况上取得极端值, 也就是在动态的情况下确定一个静态的情况,使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最 大、最小、其余情况下都比这个量大等).在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目 标的函数关系,通过函数的值域解决问题,这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适 用的,但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解决平面向量最值、范围问题的另一个 基本思想是数形结合.

针对训练
一.选择题

3 1 1.设向量 a ? ( , cos ? ),向量b ? (sin ? , ), 且a / / b, 则锐角? 为 2 3
A.60° 答案:D . 解析: B.30° C.75°



) D .45°

3 1 a∥b,? ? ? cos ? ? sin ? ? 0,? sin 2? ? 1. ? ? (0,90 ),? 2? ? 90 ,?? ? 45 . 2 3 2.已知 a ? ?? 3,1?, b ? ?1,?2? ,若 ? 2a ? b ∥ a ? k b ,则实数 k 的值是( ) 19 5 1 A. -17 B. ? C. D. 3 18 2

?

? ?

?

答案:B 解析: 由已知得 ?2a ? b ? (7, ?4) , a ? kb ? (?3 ? k ,1 ? 2k ) ,又因为两向量平行,所以

7(1 ? 2k ) ? ?4(?3 ? k ) ,计算可得实数 k 的值是 ?

1 。 2
, 则向量 a 与

b, b, c, 3.已知非零向量 a, 满足 a ? b ? c ? 0 , 向量 a, 的夹角为 60 °, 且 c 的夹角为 (
A.600 B. 30° ) C. 120° D. 150°

答案:D 解析:.

a ? b ? c ? 0,?c ? ?(a ? b).?|c|2 ? (a ? b)2 ? 2+2cos60 ? 3.? | c|= 3.

3 c ? a = ? (a ? b) ? a ? ? | a |2 ?a b= ? . 设 c与a 的夹角为 ? , 2

3 ac 3 则 cos ? ? = 2 ?? , ? ? [0,180 ],?? =150 . 2 |a||c| 3 ?1 ?

4. 如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点. 那么 EF =
1 1 AB - AD 2 3 1 1 (C) AB + DA 3 2
(A) 答案:D 解析: 在 ?CEF 中,有 EF ? EC ? CF , 因 E 为 DC 的中点,故 EC ? 因点 F 为 BC 的一个三分点,故 CF ?

1 1 AB + AD 4 2 1 2 (D ) AB - AD 2 3
(B )

1 DC , 2

2 CB, 3 1 2 1 2 1 2 ? EF ? DC ? CB ? AB ? DA ? AB ? AD. 故选 D. 2 3 2 3 2 3

5.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BD ? xBA, CE ? yCA , x ? 0, y ? 0, 且x ? y ? 1 ,则

CD ? BE 的最大值为(
5 8 3 C. ? 2
A. ? 答案:D



3 8 3 D. ? 4
B. ?

解析:如图所示,建立直角坐标系,则 A(? , 0), B( , 0), C (0,

1 2

1 2

3 ), 设D( x1 , 0), E ( x2 , y2 ), 2

1 1 BD ? xBA,? ( x1 ? , 0 ? 0) ? x(?1, 0),? x1 ? ? x ? ; 2 2

CE ? yCA,? ( x2 , y2 ?

3 1 3 1 3 3 ) ? y(? , ? ),? x2 ? ? y, y2 ? ? y; 2 2 2 2 2 2

1 1 3 x 3 1 CD ? BE ? (? x ? , ? ) ? (?1 ? , x) ? ? ( x 2 ? x ? 1) ,因 0 ? x ? 1,?当x ? 时 2 2 2 2 2 2
函数取得最大值 ? . 故答案为 C.

3 8

6.在 ?ABC 中,若对任意 k ? R ,有 BA ? k BC ? AC ,则 ?ABC 一定是(
A.直角三角形 答案 A B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定



解析:如图所示,设 k BC ? BD , 则 D 为 BC 所在的直线上动点,又 BA ? k BC ? BA ? BD ? DA ? CA 恒成立, 故在三角形 ACD 中,唯有 ?C ? 90 才能满足不等式恒成立,故答案为 A。 7. 在 △ ABC 中 , P 是 B C 边 中 点 , 角 A 、 B 、 C的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c, 若 ,则△ ABC 的形状为 c A C ? a P A ? b P B ? 0 A. 直角三角形 C. 等边三角形 答案:C B. 钝角三角形 D. 等腰三角形但不是等边三角形.

1 1 2 2 a ? b a ? b a ? b a ? b ∴( ,∴ ( , c ? ) A C ? A B ? 0 c ? ) A C ? A B 2 2 2 2 ?a ?b ? 0 ? ? 2 又 A B 、 A C 不共线,∴ ? ,∴ a ? b? c . a ? b ?c ? ? 0 ? ? 2
解析:由题意知 c , A Ca ?( A B ? A C ) ? b ( A B ? A C ) ? 0

8.已知 a ? (5,12), a ? b ? 3, 则 b 的取值范围是(
(A) ?9, 15? 答案:B (B) ?10, 16?

) (D) ?12, 18?

(C) ? 11, 17?

解 析 : 因为 b ? a ? (a ? b) , 由 向 量 的 三角 形 不等 式 | a | ? | a ? b |?| b |?| a | ? | a ? b | 及

| a |? 13 得: 13 ? 3 ?| b |? 13 ? 3,即 b 的取值范围是 ?10, 16? 。

9.下列命题:①若向量 a 与向量 b 共线,向量 b 与向量 c 共线,则向量 a 与向量 c 共线;②
若向量 a 与向量 b 共线,则存在唯一实数 ? ,使 b ? ? a ;③若 A, B, C 三点不共线,O 是平 面 ABC 外一点,且 OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC ,则点 M 一定在平面 ABC 上,且在 3 3 3
D. ?

?ABC 的内部。上述命题中的真命题个数为 A. ? B. ? C. ?
【答案】B

【解析】 ①②若 考虑零 向量均 不成立 ;对于 ③,由 OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC 得 3 3 3

uuur uuu r uuu r r AM ? BM ? CM ? ? ,因此 M 是 ?ABC 的重心.
10、设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,若实数 x、y、z 满足 xOA ? yOB ? zOC ? 0 ,

( x2 ? y 2 ? z 2 ? 0), 则“ xyz ? 0 ”是“ O 为 ?ABC 的边所在直线上”的(



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:C 解析: 若 x ? 0, y ? 0,z ? 0 中有两个成立,此时 O 为三角形的顶点;若其中一个为零, 例如 x ? 0, y ? 0,z ? 0 , yOB ? zOC ? 0 , ? yOB ? ? zOC,?O, B, C 三点共线,总是可 知“ xyz ? 0 ”是“ O 为 ?ABC 的边所在直线上”的充分不必要条件,显然,反之也成立, 故答案为 C。

BC 的值是 11.主题(9) 如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 AO ·
(A) -8 (B) -1 答案 D 解析: 取 BC 中点 D,则 OD⊥BC, (C) 1 (D) 8

所以 DO ? BC ? 0, AO ? BC ? ( AD ? DO) ? BC= AD ? BC ? DO ? BC= AD ? BC

AB ? AC AC ? AB 25 ? 9 = ? ( AC ? AB ) ? ? ? 8. 2 2 2
12. 量 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 在向量 方向上的射影的数量为( ) ,且 ,则向

2

2

(A).

(B).

(C).

3

(D).

【答 案 】A 【解析】由已知可以知道, ?ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,因此 ?ABC 是 直角三角形。且 ? A=

? ,又因为 2
, ?B ?
?

|OA| ?|CA|??C ?

?

?

?
3

?
6

,

? AB ? 3, AC ? 1,故BA 在BC 上
?

?

的射影 |BA|cos
因此答案为 A

?
6

?

3 2

二.填空题 13.
在 ?ABC 中,已知 AB ? (2k ? 3,3k ? 1) , AC ? (3, k ) (k ? R) ,则 BC =__;?B ? 90? ,

则 k =__ _. 答案: (?2k , ?2k ? 1) ; k ? ?1 或 ?

1 10

解析: BC ? BA ? AC ? (?2k ? 3, ?3k ?1) ? (3, k ) ? (?2k , ?2k ?1), 因 ?B ? 90? ,所以

BC ? BA ? 0,? (?2k , ?2k ? 1) (?2k ? 3, ?3k ? 1) ? 0,?10k 2 ? 11k ? 1 ? 0,? k ? ?1或14. 已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于

1 . 10

x 的函数 f ( x) ? x3 ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围为_______.
答案 ?

1 3

1 2

?? ? ,? ?3 ? ?
2 2

解析: f ( x)' ? x2 ? a x ? a ? b ,因为函数 f ( x ) 在 R 上有极值,所以 ? ? a ? 4a ? b ? 0 , 得 ? ? a ? 4a ? b ? 0 , 解 得 a ? b ?
2

a

2

4

, 又 因 为

a ?2b ?0 , 所 以

c oa s b ?,
围是 ?

a ?b a?b

?

a

2

4a?b

?

1 ,因为向量夹角的范围是 ? 0, ? ? ,所以向量 a, b 的夹角范 2

?? ? ,? 。 ?3 ? ?

15.已知向量 a ? ( x ?1,1), b ? (1, y) ,且 a ? b ,则 x 2 ? y 2 的最小值为
答案:

1 2
2 2 2 2

解析:因为 a ? b ,所以 x ? 1 ? y ? 0 ,代入得 x ? y ? x ? ( x ? 1) ? 2( x ? ) ?
2

1 2

1 ,所 2

以当 x ?

1 1 时, x 2 ? y 2 取得最小值 2 2

16. 已 知 平 面 向 量 ? , ? ( ? ? ? ) 满 足
( 1? t ? ) + t?
答案 : 解析 :

? ? 2,

且 ?与? ? ? 的 夹 角 为 120 ° , 则

t ( ? R)

的最小值是

3

1 ?? ? ? ? 1 cos ? ? , ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 | ? | | ? ?? | 2 | ? | | ? ?? |
? ? ?

? (? ? ? )

?

?

?

?2

? ?

?

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? | ? ? ? | ? 4 ? | ? ? ? | ? 4 ? ? ? 两边平方 ? ? =9 ? ? + 12 + ( ? ?) ( *) ? ? 2 2 |?? ? | ? ? ? ? ?2 ?2 ? ?

? ??4

? ?

| (1 ? t ) ? ? t ? | ? [(1 ? t ) ? ? t ? ]2 ? (1 ? t ) 2 ? ? t 2 ? ? 2t (1 ? t ) ? ? ? 4(1 ? t ) 2 ? t 2 ? ? 2t (1 ? t ) ? ?
?2 ? ? ? ?

把(*)代入上式,可以得到关于? ? 二次函数,利用性质可得。
三.解答题 17 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? (?1,1) ,
n ? (cos B cos C ,sin B sin C ?
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再选 择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积. 解析:(I)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ? 即: cos B cos C ? sin B sin C ? ?

3 ) ,且 m ? n . 2

3 ? 0 ……………2 分 2

3 3 ,所以 cos( B ? C ) ? ? …………4 分 2 2

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 所以 cos A ?

3 , A ? 30 ……………………………………6 分 2

(Ⅱ)方案一:选择①②,可确定 ?ABC , 因为 A ? 30 , a ? 1, 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 由余弦定理,得: 1 ? b ? (
2 2

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 ……………10 分 2

整理得: b ? 2, b ?
2

2, c ?

所以 S?ABC ?

1 1 6? 2 1 3 ?1 bc sin A ? ? 2 ? ? ? ……………………12 分 2 2 2 2 4

方案二:选择①③,可确定 ?ABC , 因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105 又 sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?

6? 2 4

由正弦定理 c ?

a sin C 1? sin105 6? 2 ……………10 分 ? ? sin A sin 30 2

所以 S?ABC ?

1 1 6? 2 2 3 ?1 ……………12 分 ac sin B ? ?1? ? ? 2 2 2 2 4

(注意;选择②③不能确定三角形)

18. 已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? (cosB, sin B) , m ? n ? sin 2C,且A,B,C 分别
为△ABC 的三边 a , b, c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA, sinC, sinB 成等比数列, 且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 , 求 c 的值 解析: (Ⅰ) ∵ m ? (sin A, cos A), n ? (cosB, sin B) , m ? n ? sin 2C , ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? sin 2C ∴ cos C ? 即 sin C ? sin 2C

? 1 ,又 C 为三角形的内角, ∴ C ? ??????6 分 3 2 2 (Ⅱ) ∵ sin A, sin C , sin B 成等比数列, ∴ c ? ab
又 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,即 CA ? CB ? 18 , ∴ c ? ab ? 36 即 c ? 6
2

∴ ab cos C ? 18

??????12 分

1 19 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? , x ? R . 2
(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

、 c ,且 c ? 3, f (C )? 0,若向量 (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b

m ? (1, sinA )与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.
解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

? 1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 2 2
????????????5 分

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵ ∵

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 即 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? ? 11? ? ? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ??7 分 3 6 6 6 6 2

?

?



m 与 n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a b , 得 b ? 2a, ? sin A sin B
①?????????????9 分

由正弦定理

∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3



②????????11 分

解方程组①②,得 ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

????????????????13 分

20.已知点 P 是圆 F1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称。线段 PF2 的
中垂线 m 分别与 PF1、PF2 交于 M 、N 两点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 P, Q 两点,若 OP ? OQ ? 0 ( O 为坐标原点) ,试求直 线 l 在 y 轴上截距的取值范围. 解: (1)由题意得, F1 (?1,0), F2 (1,0), 圆 F1 的半径为 2 2 ,且 | MF2 |?| MP | 从而 | MF 1 | ? | MF 2 |?| MF 1 | ? | MP |?| PF 1 |? 2 2 ?| F 1F 2 | ∴ 点 M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆, 5分 其中长轴 2a ? 2 2 ,得到 a ? 2 ,焦距 2c ? 2 , 则短半轴 b ? 1 椭圆方程为: ???? ???? 3 分 ??? 1 分

x2 ? y2 ? 1 2

???? 6 分

? y ? kx ? n ? (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? n ,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2
可得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4knx ? 2n2 ? 2 ? 0
2 2 则 ? ? 16k 2 n2 ? 8(n2 ? 1)(2k 2 ? 1) ? 0 ,即 2k ? n ? 1 ? 0



???? 8 分

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?4kn 2n 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
????10 分

由 OP ? OQ ? 0 可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (kx1 ? n)(kx2 ? n) ? 0 整理可得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? kn( x1 ? x2 ) ? n2 ? 0 ????12 分



(k 2 ? 1)(2n 2 ? 2) ?4kn ? kn ? ( 2 ) ? n 2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1

1 , 2 2 2 故直线 l 在 y 轴上截距的取值范围是 ( ??, ? )?( , ?? ) . 2 2
化简可得 3n 2 ? 2k 2 ? 2 ,代入①整理可得 n2 ?

????14 分

21. 设 ?ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且 满 足

(2a ? c)BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,试求 AB ? CB 的最小值. 解: (Ⅰ)因为 (2a ? c) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 , 所以 (2a ? c)ac cos B ? cab cos C ? 0 ,

C s i n B ? ) c oB s s C ?i所 n 以c o s 1 2? 2 s iAn c B ? o s C ? s iB n? (,即 cos )B? 0? ,所以 B ? 2 3 2? 2 2 2 2 2 (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos ,所以 12 ? a ? c ? ac ? 3ac ,即 ac ? 4 3
当且仅当 a ? c 时取等号,此时 ac 最大值为 4 所以 AB ? CB = ac cos

即 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 , 则 ( 2 s A i? n

0

2? 1 ? ? ac ? ?2 ,即 AB ? CB 的最小值为 ?2 3 2


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