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辽宁省大连市五校2013-2014学年高二下学期期末考试理科数学试卷(解析版)


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辽宁省大连市五校 2013-2014 学年高二下学期期末考试理科数学试卷 (解析版)
一、选择题 1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3} ,集合 B ? {x |1 ? log 2 x ? 2} ,则 A ? B ? ( ).

{x | 0

? x ? 3}
【答案】B 【解析】

B. {x | 2 ? x ? 3}

C. {x |1 ? x ? 3}

D. {x |1 ? x ? 4}

试题分析: 因为 A ? {x |1 ? x ? 3} ,B ? {x |1 ? log 2 x ? 2} ? ?x | 2 ? x ? 4? , 所以 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? . 考点:集合的运算. 2.若 z ?

1 ? 2i ,则 z 的共轭复数的虚部为( i
B.-i C.1

). D.-1

A.i 【答案】C 【解析】 试题分析:? z ?

1 ? 2i ? 2 ? i ,? z ? 2 ? i ,则 z 的共轭复数的虚部为 1. i

考点:复数的除法、共轭复数. 3.某一批花生种子,若每 1 粒发芽的概率为 A.

18 125

B.

36 125

3 ,则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为( ). 5 48 54 C. D. 125 125

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,发芽种子的粒数 X ~ B(n, p) ,其中 n ? 3, p ?
2 2 的概率 P( X ? 2) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) ?

3 ;则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽 5

3 5

3 5

54 . 125

考点:二项分布. 4.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切,则双曲线离心率为( 2 a b
B.2 C.

).

A.

3 2

5 2

D.3

【答案】B 【解析】 试题分析:双曲线

x2 y 2 b ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 y ? ? x ,即 bx ? ay ? 0 ;因为渐近线与圆 2 a a b

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x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切,所以
考点:双曲线的几何性质.

2a a ?b
2 2

? 1,即 b 2 ? 3a 2 ,则 c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,? c ? 2a, e ? 2 .

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? a3 ?

?

2

0

S 1 (2 x ? )dx ,则 9 ? ( 2 S5
D.

).

A. 9 【答案】A 【解析】 试题分析:?

B.

25 9

C.2

9 25

?

2

0

9(a1 ? a9 ) 1 1 2 ? 9a5 , (2 x ? )dx ? ( x 2 ? x) |0 ? 4 ? 1 ? 5 ,? a5 ? 5a3 ;? S9 ? 2 2 2

S5 ?

5(a1 ? a5 ) S 9a 9 ? 5a3 ? 5a3 ,? 9 ? 5 ? ?9. 2 S5 5a3 5a3

考点:定积分、等差数列. 6.已知函数 y ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,其图像与直线 y=0 的某两个交点 的横坐标分别为 x1 、 x 2 , x1 ? x2 的最小值为 ? ,则( A. ? ? 2, ? ? 【答案】D 【解析】 试题分析: 函数 y ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , 即 y ? 2c o ( s ).

?
4

B. ? ? 2, ? ?

?
2

C. ? ? 1, ? ?

?
4

D. ? ? 1, ? ?

?
2

?x ? ? ) 是奇函数,

?? ?

?
2

,即 y ? ?2 sin ?x ;因为其图像与直线 y=0 的某两个交点的横坐标分别为 x1 、 x 2 , x1 ? x2 的最

小值为 ? ,所以

T 2? ? ? ,即 T ? 2? ? ,? ? ? 1 . 2 ?

考点:三角函数的图像与性质. 7.给出如图的程序框图,则输出的数值是( ).

输出 a
是 开始

结束

a=0,n=1

n≥99 否

a=a+

1 n(n ? 1)

n=n+1

A.

98 99

B.

99 100

C.

100 101

D.

101 102

【答案】A

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【解析】

1 1 1 ? ? ??? ? 的值; 1? 2 2 ? 3 98 ? 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 ? ? ??? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 1 ? ? 因为 S ? 1? 2 2 ? 3 98 ? 99 2 2 3 98 99 99 99 98 所以输出的数值是 . 99
试题分析:该程序框图的功能是计算 S ? 考点:程序框图、裂项抵消法求和.

?x ? y ? 2 ??? ? ???? ? ? 8.已知 O 为坐标原点,点 A(1,0) ,若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 内的一个动点,则 OA ? OM 的 ?y ? 2 ?
最小值为( A.3 【答案】C 【解析】 试题分析:作出可行域如图所示, OA ? OM ? ). B. 5 C.

3 2 2

D. 2

??? ? ???? ?

( x ? 1) 2 ? y 2 表示 B(?1,0) 到 M ( x, y) 的距离;由图可

知,所求最小值即是点 B 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

?1 ? 2 2

?

3 2 . 2

考点:二元一次不等式组与平面区域、平面向量的模长. 9.已知三个互不重合的平面 ?、?、? 且 ? ? ? ? a,? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,给出下列命题: ① a ? b, a ? c 则 b

?c

② a ? b ? p 则 a ? c ? p [Z ④若 a ? b 则 a ? c

③若 a ? b, a ? c 则 ? ? ? 其中正确命题的个数为( ). A.1 B.2

C.3

D.4

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【答案】C 【解析】 试题分析:①如图三棱锥中,底面是正三角形,侧棱 PA ? 平面ABC ,所以①错误;

②? a ? b ? P, ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,? P ?? , P ? ? , P ? ? ,? P ? ? ? ? ? c ,即 a ? c ? p ; ④? a // b, a ? ? , ? ? ? ? b ,? a // ? ,又 a ? ? , ? ? ? ? c ,? a // c ; ③由④得 b, c 一定相交,又? a ? b, a ? c 且 b ? ? , c ? ? ,? a ? ? ;又?a ? ? ,?? ? ? ; 故选 C. 考点:直线与平面的平行与垂直的判定. 10.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) , 有 ( x1 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ,则当 n∈N 时,有(


).

A. f (?n) < f (n ? 1) < f (n ? 1) C. f (n ? 1) < f (n ? 1) < f (?n) 【答案】D 【解析】

B. f (n ? 1) < f (?n) < f (n ? 1) D. f (n ? 1) < f (?n) < f (n ? 1)

试题分析:因为 f ( x) 对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) , 有 ( x1 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 所以 f ( x) 在

(??,0) 为 增 函 数 , 又 ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , ? f ( x) 在 (0,??) 为 减 函 数 ,

? n ? N * , n ?1 ? n ? n ? 1 ,所以 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ,即 f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) .
考点:函数的奇偶性、单调性. 11.斜率为 2 的直线 L 经过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线与 A、B 两点,若 AB 的中点到
2

抛物线准线的距离 1,则 P 的值为( A.1 B.

).

4 5

C.

3 5

D.

2 5

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【答案】B 【解析】 试题分析: 设斜率为 2 且经过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 L 的方程为 y ? 2( x ? 联立 ?

p ) ? 2x ? p , 2

? y ? 2x ? p ? y ? 2 px
2

,得 (2 x ? p) 2 ? 2 px ,即 4 x 2 ? 6 px ? p ? 0 ;设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ;

则 x1 ? x2 ?

3p 3p p 3p p 5p , x0 ? ? ? ?1, ;因为 AB 的中点到抛物线准线的距离为 1,所以 x0 ? ? 2 4 2 4 2 4

?p?

4 . 5

考点:直线与抛物线的位置关系.
2 12.若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) ,则 f (2011) 与 f (2009)e 的大

小关系为(

).
2

A、 f (2011) < f (2009)e C、 f (2011) > f (2009)e 【答案】C 【解析】

B、 f (2011) = f (2009)e D、不能确定

2

2

试题分析:构造函数 g ( x ) ? 数 g ( x) 在 R 上为增函数,则

f ' ( x) ? f ( x) f ( x) ' ' g ( x ) ? ,则 ,因为 f ?( x) ? f ( x) ,所以 g ( x) ? 0 ;即函 x x e e
f (2011) f (2009 ) ? ,即 f (2011 ) ? f (2009 )e2 . 2011 2009 e e

考点:利用导数研究函数的单调性.

二、填空题

1 9 ) 的展开式中含 x 9 的项的系数为________. 2x 21 【答案】 ? . 2
2 13. ( x ?

【解析】
2 试题分析: ( x ?

1 9 1 1 ) 的展开式的通项为 Tk ?1 ? C9k ( x 2 ) 9? k (? ) k ? (? ) k C9k x18?3k ,令 18 ? 3k ? 9 ,得 2x 2x 2 1 21 3 k ? 3 ,所以含 x 9 的项的系数为 ( ? ) 3 C9 ?? . 2 2

考点:二项式定理. 14.如图水平放置的三棱柱的侧棱长为 1,且侧棱 AA1 ? 平面 A1B1C1 ,主视图是边长为 1 的正方形,俯视 图为一个等边三角形,则该三棱柱的左视图面积为________.

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C A B

C1 A1 B1

主视图

俯视图

【答案】

3 . 2

【解析】 试题分析:由题意得:该三棱柱是正三棱柱,底面是边长为 1 的正三角形,侧棱长为 1;该三棱柱的左视 图是一个矩形,边长分别为 1与

3 3 ,所以该三棱柱的左视图面积为 . 2 2

考点:空间几何体的三视图. 15.投两枚均匀的骰子,已知点数不同,则至少有一个是 6 点的概率为______. 【答案】 【解析】

1 . 3

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试题分析: 设 “投两枚均匀的骰子, 点数不同” 为事件 A, “至少有一个是 6 点” 为事件 B,则 P ( A) ?

6?5 5 ? ; 6? 6 6

P ( AB ) ?

P( AB) 1 1? 5 ? 5 ? 1 5 ? ,? P( B | A) ? ? . 6?6 18 P( A) 3

考点:条件概率. 16.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) 图象上任意一点处的切线的斜率都小于 1,则实数 a 的取值 范围是______. 【答案】 ? 3 ? a ? 3 . 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) ,所以 f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ;由题意得 ? 3x 2 ? 2ax ? 1恒 成立,即 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 ? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ,解得 ? 3 ? a ? 3 . 考点:导数的几何意义、一元二次不等式. 三、解答题 17.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长 L 的取值范围. 【答案】(1)

1 c ?b. 2

? ;(2) ?1,3?. 3

【解析】 试题分析: 解题思路:(1)先根据正弦定理将边角关系转化为三角关系,再进行求解;(2)利用正弦定理用角的正弦表 示边,进而表示三角形的周长,再恒等变形求周长的范围. 规律总结:解三角形问题,要注意利用正弦定理、余弦定理合理转化边角关系,若转化成边边关系,则需 要分解化简得到答案;若转化成角角关系,则需要利用三角恒等变形进行求解. 试题解析: (1)? a cos C ?

1 1 c ? b ? sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

1 ? sin A cos C ? sin C ? sin( A ? C ) 2
1 ? sin A cos C ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ? sin C ? cos A sin C 2 ? sin C ? 0 1 ? cos A ? 2

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?0 ? A ? ? ?A?

?
3

(2)? A ?

?
3

? sin A ?

3 ,由正弦定理得 2

b?

2 3 2 3 sin B, c ? sin C 3 3 2 3 2 3 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

L ? a ? b ? c ? 1?

? 1?

2 3 3 3 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? 2sin( B ? ) 3 2 2 6

?A?

?
3

? B ? (0,

2? ? ? 5? )? B ? ? ( , ) 3 6 6 6

1 ? ? ? sin( B ? ) ? 1 即 2 ? L ? 3 2 6
∴△ABC 的周长 L 的取值范围为 (1,3] . 考点:1.正弦定理;2.三角恒等变形. 18.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥平面 ABCD,其中 BC=2AB=2PA=6,M、N 为侧棱 PC 上 的两个三等分点 P

N A D

M

B

C

(1)求证:AN∥平面 MBD; (2)求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值; (3)求二面角 M-BD-C 的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析; (2)

2 5 2 ; (3) . 15 3

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【解析】 试题分析: 解题思路: (1)构造三角形的中位线,出现线线平行,利用线面平行的判定即得线面平行; (2)建立空间 直角坐标系,利用空间向量求异面直线所成角的余弦值; (3)建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面 角的余弦值. 规律总结:对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定,要牢牢记住有关判定定理与性质定理并灵活进行 转化,线线关系是关键;涉及夹角、距离的求解问题以及开放性问题,要注意恰当建立空间直角坐标系, 利用空间向量进行求解. 试题解析: (1)证明:连结 AC 交 BD 于 O,连结 OM, ∵底面 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 中点, ∵M、N 为侧棱 PC 的三等分点,∴CM=MN, ∴OM∥AN, ∵ OM ? 平面 MBD,AN ? 平面 MBD ∴AN∥平面 MBD (2)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0) ,B(3,0,0), C(3,6,0),D(0,6,0) P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2) ∵ AN ? (1,2,2), PD ? (0,6, ?3),

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AN ? PD 0 ? 12 ? 6 2 5 cos ? AN , PD ?? ???? ??? ? ? ? 15 3? 3 5 AN ? PD
∴异面直线 AN 与 PD 所成的角的余弦值为 (3)∵侧棱 PA⊥底面 ABCD ∴平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0,0,3), 设平面 MBD 的法向量为 m ? ( x, y, z ),

2 5 15

??? ?

??

?? ??? ? ?? ???? ? ??? ? ???? ? ? BD ? (?3,6,0), BM ? (?1,4,1), 并且 m ? BD, m ? BM
??3x ? 6 y ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2 ?? ?? x ? 4 y ? z ? 0 ?? ∴平面 MBD 的一个法向量为 m ? (2,1, ?2), ??? ? ?? ??? ? ?? AP ? m 2 cos ? AP, m ?? ??? ? ?? ? ? 3 AP m
由图知二面角 M ? BD ? C 是锐角 ∴二面角 M ? BD ? C 的余弦值为

2 . 3

考点:1.线面平行的判定定理;2.空间向量的应用.

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19.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手在场上的区域位置有关系”的调查活动, 在所有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 有关系 无关系 不知道

40 岁以下

800

450 150

200 300

40 岁以上(含 40 岁) 100

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持有关系态度的人中抽取 45 人,求 n 的值. (2)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 10 人看作一个总体.①从这 10 人中选取 3 人, 求至少一人在 40 岁以下的概率;②从这 10 人中人选取 3 人,若设 40 岁以下的人数为 X,求 X 的分布列和 数学期望. 【答案】 (1)100; (2)①

5 6 ;② EX ? . 6 5

【解析】 试题分析: 解题思路: (1)根据分层抽样的特点“等比例抽样”求解即可; (2)①利用古典概型概率公式以及对立事 件概率公式求解;②利用超几何分布的概率公式求概率,再求期望即可. 规律总结:1.遇到“至少” 、 “至多” ,且正面情况较多时,可以考虑对立事件的概率; 2.利用概率或随机 变量的分布列以及期望、方差解决应用题时,要注意随机变量的实际意义. 试题解析: (1)由题意,得

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? 45 n

∴n=100 (2)设所选取的人中有 m 人在 40 岁以下 则

200 m ? ,解得 m=4 200 ? 300 10

①记“至少一人在 40 岁以下”为事件 A 则 P( A) ? 1 ?
3 C6 5 ? 3 C10 6

②X 的可能取值为 0,1,2,3

P( x ? 0) ?

3 C6 1 ? 3 C10 6 2 1 C4 C6 3 ? 3 C10 10

P( x ? 1) ?

1 2 C4 C6 1 ? 3 C10 2 3 C4 1 ? 3 C10 30

P( x ? 2) ?

P( x ? 3) ?

∴x 的分布列为 X P 0 1 2 3

1 6

1 2

3 10

1 30

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1 1 3 1 6 E ( x ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 2 10 30 5
考点:1.分层抽样;2.超几何分布;3.离散型随机变量的分布列与期望. 20.设椭圆 C

x2 y 2 x y 21 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? ,O 为坐 2 a b a b 7 2

标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A、B 两点,证明点 O 到直线 AB 的距离为定值, 并求弦 AB 长度的最小值. 【答案】(1)

4 21 x2 y 2 ? ? 1 ;(2) . 7 4 3

【解析】 试题分析: 解题思路:(1)利用离心率及点到直线的距离公式求解即可; (2)设出直线 AB 方程,联立直线与椭圆的 方程,整理成关于 x 的一元二次方程,利用 OA ? OB 求解. 规律总结:直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程,整 理得关于 x 的一元二次方程,常用“设而不求”的方法进行求解. 试题解析: (1)由 e ?

1 c 1 得 ? ,即 a ? 2c,?b ? 3c 2 a 2

由右焦点到直线

x y 21 ? ? 1 的距离为 d ? a b 7



bc ? ab a 2 ? b2

?

21 ,解得 a ? 2, b ? 3 , 7
x2 y 2 ? ?1. 4 3

所以椭圆 C 的方程为

(2)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 )

直线 AB 的方程为 y=kx+m 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 联立消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 4 3

x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∵OA⊥OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

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? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0
即?(1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0
2 2

? (1 ? k 2 )

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

整理得 7m2 ? 12(k 2 ? 1) 所以 O 到直线 AB 的距离 d ?

m k ?1
2

?

12 2 21 ? 7 7

∵OA⊥OB,∴ OA2 ? OB2 ? AB2 ? 2OA ? OB, 当且仅当 OA=OB 时取“=” 由 d ? AB ? OA ? OB 得 d ? AB ? OA ? OB ?

AB 2 2

AB ? 2d ?

4 21 . 7
4 21 . 7
a 1 在 (0, ) 内有极值. x ?1 e

即弦的长度最小值是

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系. 21.设函数 f ( x ) ? ln x ?

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若 x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) 求证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ? 【答案】 (1) a ? e ? 【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用 f ( x) 在 (0, ) 有极值 ? f ( x) ? 0 在 (0, ) 有解进行求解;
'

1 . e

1 ?2; (2)证明见解析. e

1 e

1 e

(2)要证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ?

1 ,即证 f ( x) 在 (1,??) 上是最小值与 f ( x) 在 (0,1) 的最大值之差大于 e

1 e?2? . e
规律总结:利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题,都体现了导数的重要性;此 类问题往往从求导入手,思路清晰;但综合性较强,需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

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试题解析: (1)0<x<1 或 x>1 时, f ?( x) ?

1 a ( x ? 1)2 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1) 2

由 f ?( x) ? 0 在 (0, ) 内有解,令 g ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? ? )( x ? ? ) ,

1 e

1 1 1 1 a?2 ?1 ? 0 , ( ) 1? 0 ? , ? ?? =1 不妨设 0 ? ? ? , 则 ? ? e, 因 g0 所以 g ( ) ? 2 ? 解得 a ? e ? ? 2 e e e e e
(2)证明:由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a 或 x ? ? ,由 f ?(x) ?0 ? a ? x ? 1 或 1 ? x ? ? ,得 f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减,在 (1, ? ) 上单调递减,在 ( ? , ??) 上单调递增 . 由 x1 ? (0,1) ,得

f ( x1 ) ? f (? )? ln ??

a , 由 x2 ? ( 1 ? ,)得 , ? a ?1

f ( 2x ? )

?f ( ?

? ) ? l n , 所 以 ? ?1

a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? ) ? f (? ) ,因为 ? ? ? ? 1, ? ? ? ? a ? 2 ,所以
f ( ? ) ? f (? ) ? ln ? ? ln 1

?

??(

?? ? ?? ? ? 2 ln ? ? ? ? ? 2 ln ? ? ? ? ( ? ? 1)(? ? 1) 2 ? (? ? 2)
? 2 ln ? ? ? ? 1

1 1 ? ) ? ?1 ? ?1 1

?
1 ( ? ? e)

记 h( ? ) ? 2ln ? ? ? ?

?

则 h?( ? ) ?

2

?

?1?

1

?2

? 0 , h( ? ) 在 (0, ??) 上单调递增,

所以 h( ? ) ? h(e) ? e ? 2 ?

1 e

故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ?

1 . e

考点:利用导数研究函数的极值与最值. 22.如图⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于点 N,过点 N 的切线交 CA 的 延长线于 P.
2 (1)求证: PM ? PA ? PC ;

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(2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM,求 MN 的长. B

C

O

M

A

P

N

【答案】 (1)证明见解析; (2)2. 【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用等腰三角形与切割线定理进行证明; (2)利用三角形的相似性进行求解. 规律总结:直线与圆的位置关系,是平面几何问题的常见题型,常考知识由:圆内接四边形、切割线定理、 相似三角形、全等三角形等. 试题解析: (1)连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形, 0 0 则∠OBN=∠ONB,∵∠PMN=∠OMB=90 -∠OBN,∠PNM=90 -∠ONB ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN 由条件,根据切割线定理,有 PN ? PA ? PC
2

所以 PM ? PA ? PC
2

(2)OM=2,在 Rt△BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 延长 BO 交⊙O 于点 D,连接 DN 由条件易知△BOM∽△BND,于是

BO BM ? BN BD



2 3 4 ,得 BN=6 ? BN 4 3

所以 MN=BN-BM=6-4=2. 考点:1.切割线定理;2.相似三角形. 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平

? ?x ? ? 面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t?m 2 (t 是参数). 2 t 2

(1)将曲线 C 的极坐标方程和直线 L 参数方程转化为普通方程;

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(2)若直线 L 与曲线 C 相交于 M、N 两点,且 MN ? 2 2 ,求实数 m 的值. 【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , x ? y ? m ? 0 ; (2) m ? 0或m ? 4 . 【解析】 试题分析:
2 2 2 解题思路: (1)利用极坐标方程、参数方程、普通方程的互化公式化简即可; (2)利用 ( ) ? d ? r ,

l 2

求得圆心到直线的距离 d ,再利用点到直线的距离公式求 m 值. 规律总结:涉及直线与曲线的极坐标方程、参数方程的问题,要注意先将极坐标方程、参数方程与直角坐 标方程的相互转化,再利用有关知识进行求解. 试题解析: (1)曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 直线 L 的普通方程为 x ? y ? m ? 0 (2)因为曲线 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所以,圆心到直线的距离是

d ? 4 ? ( 2)2 ? 2 ?

2?0?m 2

所以 m ? 0或m ? 4 . 考点:1.极坐标方程、参数方程、普通方程的互化;2.弦长公式. 24.设全集 U ? R . (1)解关于 x 的不等式 x ?1 ? a ?1 ? 0(a ? R) ; (2)记 A 为(1)中不等式的解集,集合 B ? ? x | sin(? x ? 3 个元素,求 a 的取值范围. 【答案】 (1)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 R ;当 a ? 1 时,原不等式的解集为 (2 ? a, ??) ? ? ??, a ? ; (2) (?1,0] . 【解析】 试题分析: 解题思路:(1)讨论 a 的范围,分情况求 x ?1 ? 1 ? a 的解集即可; (2)先化简集合 B ,再利用题意得出 A 的限制条件,进而求 a 的范围. 规律总结:解绝对值不等式的题型主要有: x ? a(a ? 0) ? x ? a或x ? ?a , x ? a ? ?a ? x ? a ;主 要思路从去掉绝对值符号入手,往往讨论变量的范围去掉绝对值符号,变成分段函数求解问题. 试题解析: (1)∵ x ?1 ? a ?1 ? 0 ∴ x ?1 ? 1 ? a

? ?

?

? ? ) ? 3 cos(? x ? ) ? 0? ,若 (CU A) ? B 恰有 3 3 ?

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ⅰ当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,原不等式的解集为 R ⅱ当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, x ? 1 ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ? 1 ∴x ? 2?a或x?a 此时原不等式的解集为 (2 ? a, ??) ? ? ??, a ? .

? ? ? ? B ? ? x | sin(? x ? ) ? 3 cos(? x ? ) ? 0? ? ? x | 2sin(? x) ? 0? 3 3 (2) ? ? ? ?x | x ? k , k ? Z ?
∵ (CU A) ? B 恰有 3 个元素,∴ a ? 1 , CU A ? ?x | a ? x ? 2 ? a? ∵a ?1 ∴2? a ?1 ∴ 1? CU A

∵ (CU A) ? B 恰有 3 个元素 ∴?

??1 ? a ? 0 ?0 ? a ? 1 ??2 ? a ? ?1 或? 或? ?2 ? 2 ? a ? 3 ?3 ? 2 ? a ? 4 ?1 ? 2 ? a ? 2

解得: ?1 ? a ? 0 所以 a 的取值范围为 (?1,0] . 考点:1.绝对值不等式;2.集合间的运算.


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