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2013届高三第一次模拟考试(理科数学试卷)答案


林芝地区第二高级中学 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理)

第I卷
一、选择题: 题号 选项 1 A 2 B 3 C 4 B 5 B 6 A 7 A 8 D 9 D 10 A 11 A 12 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 13. -192 14.
17

/>15. 0.8

16.

三、解答题(6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x ? 2 sin( x ? (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中, A, C 的对边分别为 a,b, 已知 f ( A ) ? 角 B, c. 解:(1) f ( x ) ? 2 sin x ? 2 sin( x ?
?
3 ) ? 2 (sin x ?
3, a ? 3b , 证明: C ? 3 B .

?
3

).

1 2

sin x ?

3 cos x ) 2

? 2 3(

3 1 ? sin x ? cos x ) ? 2 3 sin( x ? ) 2 2 6

由 2 k? ?

?
2

? x?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得: 2 k ? ?

?
3

? x ? 2 k? ?

2? 3

,k ? Z .

所以 f(x)的单调递增区间为 [ 2 k ? ? (2)因为 f ( A ) ?
3 ,所以 sin( A ?

?
3

,2 k? ? ) ? 5 6 1 2

2? 3

]( k ? Z )

?
6


?
3

因为 0 ? A ? ? ,所以 ? 因为
a sin A ? b sin B

?
6

? A?

?
6

?

? .所以 A ?
1 2

,a ? ,B ?
?
6

3 b ,所以 sin B ?

.

因为 a>b, A ?

?
3

,C ?

?
2

.所以 C ? 3 B .

18. (本小题满分 12 分) 3 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为5,且各次射击的结果互不影响. (1)求射手在 3 次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);

试卷第 1 页,总 8 页

(2)求射手第 3 次击中目标时,恰好射击了 4 次的概率(用数字作答); (3)设随机变量ξ 表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数,求ξ 的分布列. [尝试解答] (1)记“射手射击 1 次,击中目标”为事件 A,则在 3 次射击中至少有两次连 续击中目标的概率

P1=P(AA A )+P( A AA)+P(AAA)
3 3 2 2 3 3 3 3 3 63 = × × + × × + × × = . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125

?3?2 2 3 162 2 (2)射手第 3 次击中目标时,恰好射击了 4 次的概率 P2=C3×? ? × × = . ?5? 5 5 625
(3)由题设,“ξ =k”的概率为

P(ξ =k)=C2-1×? ?2×? ?k-3× =C2-1×? ?k-3×? ?3(k∈N*且 k≥3). k k 5 5 5 5
所以,ξ 的分布列为: ξ 3 27 125 4 162 625 ? ?

?3? ? ?

?2? ? ?

3 5

?2? ? ?

?3? ? ?

k
2 ?2?k-3?3? 3 Ck-1? ? ? ? ?5? ?5?

? ?

P

19. (本小题满分 12 分) ? BD D C 如 图 , 在 四 棱 锥 P A C 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 A // B ,
1 A B C D A ? ? A 9,侧面 P D?底面 ABCD . 若 P ?A ?B ? A . A ? ?? B P C D 0 2 (Ⅰ)求证: CD ? 平面 P A C ; (Ⅱ)侧棱 P A 上是否存在点 E ,使得 B E // 平面 P C D ?若存在,指出点 E 的位置并

证明,若不存在,请说明理由; P ? DC (Ⅲ)求二面角 A P ? 的余弦值. 解法一: (Ⅰ)因为 ? P A D ? 9 0 ? ,所以 P A ? A D . 又因为侧面 P A D ? 底面 A B C D ,且侧面 P A D ? 底面 A B C D ? A D , A 所以 P A ? 底面 A B C D . 而 C D ? 底面 A B C D , 所以 P A ? C D . B 在 底 面 A B C D , 因 为 ? ABC ? ? BAD ? 90? , 中
AB ? BC ? 1 2 AD ,

D C

P
2 2 A D , 所以 A C ? C D .

所以 A C ? C D ?

? A? C ,A 又 因 为 P A 所 以 CD ? 平 面 ???????????4 分 (Ⅱ)在 P A 上存在中点 E ,使得 B E / / 平面 P C D , 证明如下:设 P D 的中点是 F , 连结 B E , E F , F C ,
PAC .

E A

F D

B

C

试卷第 2 页,总 8 页

则 E F // A D ,且 E F ?

AD . 2 由已知 ? A B C ? ? B A D ? 9 0 ? ,

1

所以 B C // A D . 又 B C ?

AD , 2 所以 B C // E F ,且 B C ? E F , 所以四边形 B E F C 为平行四边形,所以 B E // C F . 因为 B E ? 平面 P C D , C F ? 平面 P C D , 所以 B E // 平面 P C D . ?????8 分

1

P

(Ⅲ)设 G 为 A D 中点,连结 C G , 则 CG ? AD . 又因为平面 A B C D ? 平面 P A D , 所以 C G ? 平面 P A D . 过G 作GH ? PD 于 H , 连结 C H ,由三垂线定理可知 C H ? P D . 所以 ? G H C 是二面角 A ? P D ? C 的平面角. 设 A D ? 2 ,则 P A ? A B ? C G ? D G ? 1 , D P ? 在 ? P A D 中,
GH PA ? DG DP CG GH ?

H A G D

B
5 .

C

,所以 G H ?

1 5

.
6 6

所以 ta n ? G H C ?

5 , cos ? G H C ?
6 6

.

即二面角 A ? P D ? C 的余弦值为 解法二: 因为 ? P A D ? 9 0 ? , 所以 P A ? A D . 又因为侧面 P A D ? 底面 A B C D , 且侧面 P A D ? 底面 A B C D ? A D , 所以 P A ? 底面 A B C D . 又因为 ? B A D ? 9 0 ? , 所以 A B , A D , A P 两两垂直. 分别以 A B , A D , A P 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图.

.

????????????12 分 z P

A B x C

D

y

设 A D ? 2 ,则 A (0, 0, 0 ) , B (1, 0, 0 ) , C (1, 1, 0 ) , D (0, 2, 0 ) , P (0, 0, 1) . (Ⅰ) A P ? (0, 0, 1) , A C ? (1, 1, 0 ) , C D ? ( ? 1, 1, 0 ) , 所以 A P ? C D ? 0 , A C ? C D ? 0 ,所以 A P ? C D , A C ? C D . 又因为 A P ? A C ? A , 所以 C D ? 平面 P A C . ????????????4 分 (Ⅱ)设侧棱 P A 的中点是 E , 则 E ( 0 , 0 ,
??? ? 1 ) , B E ? ( ? 1, 0 , ). 2 2 ???? ? n ? C D ? 0, ? 设平面 P C D 的一个法向量是 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ???? ? n ? PD ? 0. ? ???? ???? 因为 C D ? ( ? 1, 1, 0 ) , P D ? (0 , 2 , ? 1) , 1

??? ?

????

????

??? ???? ?

???? ????

试卷第 3 页,总 8 页

取 x ? 1 ,则 n ? (1, 1, 2 ) . ? 2 y ? z ? 0. ??? ? ??? ? 1 所以 n ? B E ? (1, 1, 2 ) ? ( ? 1, 0 , ) ? 0 , 所以 n ? B E . 2 因为 B E ? 平面 P C D ,所以 B E ? 平面 P C D . ????????????8 分 ??? ? (Ⅲ)由已知, A B ? 平面 P A D ,所以 A B ? (1, 0 , 0 ) 为平面 P A D 的一个法向量. 所以 ? 由(Ⅱ)知, n ? (1, 1, 2 ) 为平面 P C D 的一个法向量. 设二面角 A ? P D ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角,
??? ? n ? AB (1, 1, 2 ) ? (1, 0 , 0 ) ? 所以 c o s ? ? ??? ? ? 6 ?1 n AB 6 6

? ? x ? y ? 0,

.

即二面角 A ? P D ? C 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 E:
x a
2 2

6 6

.

????????????12 分

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交 A,B 且
??? ? ??? ? O A ? O B ?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。
x
2

(1)

?

y

2

?1
8 3

8

4

(2)存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? A,B,且 O A ? O B . 【解析】 试题分析: (1)因为椭圆 E:
x a
2 2

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点

??? ?

??? ?

?

y b

2 2

,N( 6 ,1)两点, ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 )

2 1 ? 1 ? 4 ? ? 2 ?1 2 2 2 ? a2 ? a2 ?a ? 8 x y ? ? 8 b 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 4 ?b ? 4 ? 1 ? 1 ? 6 ? 1 ?1 2 ?b2 ? a2 4 b ? ?

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 2 O A ? O B ,设该圆的切线方程为 y ? k x ? m 解方程组 ? x 2 得 x 2 ? 2(kx ? m ) 2 ? 8 , y ? ?1 ? 4 ? 8

高 考 学 习 网 ( w w w . g k x x . c o m )

即 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 4 k m x ? 2 m 2 ? 8 ? 0 ,

试卷第 4 页,总 8 页

则△= 1 6 k 2 m 2 ? 4 (1 ? 2 k 2 )( 2 m 2 ? 8 ) ? 8 (8 k 2 ? m 2 ? 4 ) ? 0 ,即 8 k 2 ? m 2 ? 4 ? 0
4 km ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2k , ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 2 ? 1 ? 2k ?
y 1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m
2 2 2

?

k ( 2 m ? 8)
2 2

1 ? 2k

2

?

4k m 1 ? 2k

2

2 2

?m

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m

?

k (2 m ? 8)
2 2

1 ? 2k

2

?

4k m 1 ? 2k

2

2 2

?m

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

要使 O A ? O B ,需使 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即
3m ? 8
2

??? ?

??? ?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

? 0 ,所以 3 m ? 8 k ? 8 ? 0 ,
2 2

所以 k 2 ?

? 0 又8k ? m ? 4 ? 0 ,
2 2

8
? m
2 2

所以 ?

? 2 ?8

,所以 m 2 ?

8 3

,即 m ?

2 6 3

或m ? ?

2 3

6

,

?3m

因为直线 y ? k x ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r ?
m 1? k
2

,r2 ?

m

2 2

1? k

? 1?

m

2 2

3m ? 8 8

?

8 3

,r ?

2 3

6

,

所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

8 3

,此时圆的切线 y ? k x ? m 都满足 m ?

2 6 3

或m ? ?

2 3

6

,

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?
??? ?

2 3

6

与椭圆

x

2

?

y

2

?1 的两个交点为

8

4

(

2 3

6

,?

2 3

6

) 或 (?

2 3

6

,?

2 3

6

) 满足 O A ? O B ,

??? ?

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? A,B,且 O A ? O B .
??? ? ??? ?

8 3

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点

考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系。 点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。存在性问题, 往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。 (2)小题解答中,集合 韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性。 (21) (本小题满分 12 分)

试卷第 5 页,总 8 页

已 知 函 数 f (x) ?
x ? 2y ?3 ? 0。

a ln x x ?1

?

b x

, 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 ( 1 ,f

( 1处 的 切 线 方 程 为 ))

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
x ?1
ln x x ?1 ? k x

,求 k 的取值范围。

?(

(21)解: (Ⅰ) f '( x ) ?

? ln x ) b 1 x ? 2 ,由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且 2 ( x ? 1) x 2

过点 (1,1) ,
? f (1) ? 1, ? b ? 1, ? ? 故? 1 即? a 1 ? f '(1) ? ? , ? ?b ? ? , ? 2 ?2 2
ln x x ?1 1 x
2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ) (Ⅰ) f ( x ) ? 由 知

?

, 所以 f ( x ) ? (

ln x x ?1

?

k x

)?

1 1? x
2

( 2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1)
2

)。

x
2

考虑函数 h ( x ) ? 2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1) x

( x ? 0 ) ,则 h '( x ) ?

( k ? 1)( x ? 1) ? 2 x x
2



(i)设 k ? 0 ,由 h '( x ) ?

k ( x ? 1) ? ( x ? 1)
2

2

x

2

知,当 x ? 1 时, h '( x ) ? 0 。而 h (1) ? 0 ,故

当 x ? (0 ,1) 时, h ( x ) ? 0 ,可得

1 1? x
2

h(x) ? 0 ; 1 1? x
2

当 x ? (1,+ ? )时,h (x)<0,可得 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, h(1)=0,故当 x ? (1,
1 1? k
'

h(x)>0
ln x x ?1

ln x x ?1

+

k x

)>0,即 f(x)>
2

+

k x
'

.

1 1? k

)时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0,而
1 1? x
2

)时,h(x)>0,可得

h(x)<0,与题设矛盾。

(iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得
1 1? x
2

h(x)<0,与题设矛盾。综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

。 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

试卷第 6 页,总 8 页

如图, D , E 分别为 ? A B C 边 A B , A C 的中点,直线 D E 交
? A B C 的外接圆于 F , G 两点,若 C F / / A B ,证明:

(1) C D ? B C ; (2) ? B C D ? ? G B D 【解析】 (1) C F / / A B , D F / / B C ? C F / / B D / / A D ? C D ? B F
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD

(2) B C / / G F ? B G ? F C ? B D
BC / /G F ? ? G D E ? ? BG D ? ? D BC ? ? BD C ? ? B C D ? ?G B D

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 的参数方程是 ?
? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ? (? 为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 A B C D 的顶点都在 C 2 上, 且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2 , (1)求点 A , B , C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 P A ? P B 【解析】 (1)点 A , B , C , D 的极坐标为 ( 2 ,
?
3
2 2

?
3

)

? PC

2

? PD

2

的取值范围。
), ( 2 , 1 1? 6 )

), ( 2 ,

5? 6

), ( 2 ,

4? 3

点 A , B , C , D 的直角坐标为 (1, 3 ), ( ? 3 ,1), ( ? 1, ? 3 ), ( 3 , ? 1)
? x0 ? 2 co s? ? y 0 ? 3 sin ?
2

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) ;则 ?
t ? PA
2

(? 为 参 数 )

? PB
2

2

? PC

? PD

2

? 4 x ? 4 y ? 40
2 2

? 5 6 ? 2 0 sin ? ? [5 6, 7 6 ] (lfxlby)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2 ] ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

试卷第 7 页,总 8 页

x?2 ? 或? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3

2? x?3 x?3 ? ? 或? ? ? ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ? 1或 x ? 4

(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立
? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?3 ? a ? 0

试卷第 8 页,总 8 页

试卷第 9 页,总 1 页


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