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高中数学必修5教学设计:3.4 基本不等式 教案(新人教必修5).


§3.4 基本不等式
第 1 课时

ab ?

a?b 2

授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定 理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习

,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 【教学难点】 基本不等式 ab ? 【教学过程】

a?b 的证明过程; 2

a?b 等号成立条件 2

1.课题导入
基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面积的 和是 2ab,正方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们
2 2

就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。
2 2

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有

a 2 ? b2 ? 2ab 。
2.得到结论:一般的,如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)
2 2

3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为

a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2


a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0,
所以, (a ? b) ? 0 ,即 (a ? b ) ? 2ab.
2 2 2

共8页 第1页

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ?

a?b 2

特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ?

a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2 a?b ? ab 2
a+b ? a+b( (1) (2) (3) (4)

用分析法证明: 要证 只要证 要证(2),只要证 要证(3),只要证

?0

2

显然,(4)是成立的。当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立。

3)理解基本不等式 ab ?

a?b 的几何意义 2

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 即CD= ab . 这个圆的半径为
2

a?b 的几 2

a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等比中项, 2 a?b 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数.本 2

那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称

节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例 1 已知 x、y 都是正数,求证: (1)

y x ? ≥2; x y
2 2 3 3 3 3

(2)(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y .
共8页 第2页

分析:在运用定理:

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把 2
y x 2 2 3 3 >0, >0,x >0,y >0,x >0,y >0 x y

握好每条性质成立的条件),进行变形. 解:∵x,y 都是正数 ∴

(1)

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x

(2)x+y≥2 >0

xy >0

x2+y2≥2 x 2 y 2 >0

x3+y3≥2 x 3 y 3

∴(x+y)(x +y )(x +y )≥2 xy ·2 即(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y .
2 2 3 3 3 3

2

2

3

3

x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

3.随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
分析:对于此类题目,选择定理: 果. 解:∵a,b,c 都是正数 ∴a+b≥2 ab >0

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得结 2

b+c≥2 bc >0 c+a≥2 ac >0
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

4.课时小结
本节课,我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab;两正数 a、b 的算术平均数( 几何平均数( ab )及它们的关系(
2 2

a?b ), 2

a?b ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、 2

b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值
的重要工具(下一节我们将学习它们的应用 ).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问

a?b 2 a 2 ? b2 题:ab≤ ,ab≤( ). 2 2
5.评价设计
课本第 113 页习题[A]组的第 1 题
共8页 第3页

课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ? 能够解决一些简单的实际问题

a?b 2

a?b ;会应用此不等式求某些函数的最值; 2 a?b ,并会用此定 2

2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

理求某些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式 ab ? 【教学难点】 利用基本不等式 ab ? 【教学过程】

a?b 的应用 2 a?b 求最大值、最小值。 2

1.课题导入
1.重要不等式: 如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) 2.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 ??我们称

a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数? 2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

a 2 ? b 2 ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者

要求 a,b 都是正数。

2.讲授新课
例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少 时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解:(1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m。由
2

x? y ? xy , 2
可得

x ? y ? 2 100 ,

2( x ? y) ? 40 。 等号当且仅当 x=y 时成立, 此时 x=y=10.

共8页 第4页

因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是 40m. (2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2x)m,其中 0<x<

1 ,其 2

面积 S=x(36-2x)=

1 1 2 x ? 36 ? 2 x 2 362 ) ? ·2x(36-2x)≤ ( 2 2 2 8

当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大,即菜园长 9m,宽为 9 m 时菜园面积最 大为 81 m2 解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 。由
2

xy ?

x ? y 18 ? ? 9 ,可得 2 2

xy ? 81

当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面积是 81m


2

归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b∈R ,且 a+b=M,M

M2 为定值,则 ab≤ ,等号当且仅当 a=b 时成立. 4
2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b∈R ,且 ab=P,P 为 定值,则 a+b≥2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立. 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造 价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得


l ? 240000 ? 720 ( x ?

1600 ) x

? 240000? 720? 2 x ?

1600 x ? 240000? 720? 2 ? 40 ? 297600
1600 , 即x ? 40时, l有最小值 2976000 . x

当x ?

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,
共8页 第5页

又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

3.随堂练习
1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x + 2.课本第 113 页的练习 1、2、3、4
2

81 的值最小?最小值是多少? x2

4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值 问题。在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考 查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项 的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用均 值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。
王新敞
奎屯 新疆

5.评价设计
课本第 113 页习题[A]组的第 2、4 题 课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 3 课时 授课类型:习题课 【教学目标】 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b 2

a?b ;会用此不等式证明不等式,会应用此 2 a?b ,并会用此定理求 2

不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:通过例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

某些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 掌握基本不等式 ab ?

a?b ,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值 2

【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】

1.课题导入
1.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

共8页 第6页

2.用基本不等式 ab ?

a?b 求最大(小)值的步骤。 2

2.讲授新课
1)利用基本不等式证明不等式

24 ? 6m ? 24 。 m 24 [思维切入]因为 m>0,所以可把 和 6 m 分别看作基本不等式中的 a 和 b, 直接利用基本不 m
例 1 已知 m>0,求证 等式。 [证明]因为 m>0,,由基本不等式得

24 24 ? 6m ? 2 ? ? 6m ? 2 24 ? 6 ? 2 ?12 ? 24 m m
当且仅当

24 = 6 m ,即 m=2 时,取等号。 m 24 ? 6m =144 为定值的前提条件。 m

规律技巧总结 注意:m>0 这一前提条件和

3.随堂练习 1
[思维拓展 1] 已知 a,b,c,d 都是正数,求证 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd .

[思维拓展 2] 求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 .

例 2 求证:

4 ?a ? 7. a ?3

[思维切入] 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边

4 4 ?a ? ? (a ? 3) ? 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. a ?3 a ?3

[证明]

4 4 4 ?3? ? (a ? 3) ? 3 ? 2 ? (a ? 3) ? 3 ? 2 4 ? 3 ? 7 a ?3 a ?3 a ?3
4 =a-3 即 a=5 时,等号成立. a?3

当且仅当

规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例 3 (1) 若 x>0,求 f ( x ) ? 4 x ?

9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x ) ? 4 x ? 的最大值. x

共8页 第7页

[思维切入]本题(1)x>0 和 4 x ?

9 =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用-x>0 来转化. x

解?1) 因为 x>0 由基本不等式得

f ( x) ? 4 x ?

9 3 9 9 9 ? 2 4 x ? ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 4 x ? 即 x= 时, f ( x) ? 4 x ? 取 x 2 x x x

最小值 12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) ? ?(4 x ? ) ? (?4 x) ? (? ) ? 2 (?4 x) ? (? ) ? 2 36 ? 12 , x x x
所以

f ( x) ? 12 .
9 3 9 即 x=- 时, f ( x ) ? 4 x ? 取得最大-12. x 2 x

当且仅当 ?4 x ? ?

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习 2
[思维拓展 1] 求 f ( x) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x ?5

[思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

4.课时小结
用基本不等式 ab ?

a?b 证明不等式和求函数的最大、最小值。 2

5.评价设计
1.证明: a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

2.若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ?

1 有最小值,最小值为几? x ?1

共8页 第8页


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