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两角和与差正弦余弦正切学案(答案)


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化

积、半角公式,但 对这三组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β , cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β , tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2tan α sin 2α =2sin_α cos_α , tan 2α = . 2 1-tan α 2 2 2 2 cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α , 3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 2, 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) ,sin α ±cos α π? ? = 2sin?α ± ?. 4? ? 4.辅助角公式

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),其中 sin φ =

b a +b
2 2

,cos φ =

a a +b2
2

.

α 3 1.(2013?江西高考)若 sin = ,则 cos α =( 2 3 2 1 1 2 A.- B.- C. D. 3 3 3 3

)

α 3 ? 3?2 1 2 α 解析:选 C 因为 sin = ,所以 cos α =1-2sin =1-2?? ? = . 2 3 2 ?3? 3 2.(教材习题改编)sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是( ) 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 解析:选 C sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26° =-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°) 1 =-cos(34°+26°)=-cos 60°=- . 2 π? 3 ? ?π ? 2 3.已知 tan?α - ?= ,tan? +β ?= ,则 tan(α +β )的值为( ) 6? 7 ? ?6 ? 5 29 1 1 A. B. C. D.1 41 29 41
1

π ? ?π ?? ?? 解析:选 D tan(α +β )=tan??α - ?+? +β ?? 6? ?6 ?? ?? π π 3 2 ? ? ? ? + tan?α - ?+tan? +β ? 6? 7 5 ? ?6 ? = = =1. π? 3 2 ? ?π ? 1-tan?α - ??tan? +β ? 1- ? 6? 7 5 ? ?6 ? ?π ? 则 tan 2α 的值是________. 4. (2013?四川高考)设 sin 2α =-sin α , α ∈? ,π ?, ?2 ? 1 ?π ? 解析:∵sin 2α =2sin α cos α =-sin α ,∴cos α =- ,又 α ∈? ,π ?,∴ 2 ?2 ? sin α = 3 2tan α -2 3 ,tan α =- 3,∴tan 2α = = = 3.答案: 3 2 2 1-tan α 1-?- 3?2

5.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°?tan 40°=________. tan 20°+tan 40° 解析:∵tan (20°+40°)= , 1-tan 20°tan 40° ∴ 3- 3tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°, 即 tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3.答案: 3

考点一

三角函数的化简求值

[例 1] (1)(2013?重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( ) 2+ 3 A. 2 B. C. 3 D.2 2-1 2 θ ? ? θ ?1+sin θ +cos θ ??sin -cos ? 2 2? ? (2)化简: (0<θ <π ). 2+2cos θ sin 40° [自主解答] (1)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- cos 40° 4cos 40°sin 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = = cos 40° cos 40° = = 2sin?120°-40°?-sin 40° 3cos 40°+sin 40°-sin 40° = cos 40° cos 40°

3cos 40° = 3. cos 40° ?2sinθ cosθ +2cos2θ ??sinθ -cosθ ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ? (2)原式= 2θ 4cos 2 θ ? θ 2θ 2θ ? cos ?sin -cos ? -cos ?cos θ 2 2? 2? 2 = = . ?cosθ ? ?cosθ ? ? ? ? ? 2? 2? ? ? θ π θ 因为 0<θ <π ,所以 0< < ,所以 cos >0,故原式=-cos θ .[答案] (1)C 2 2 2 【方法规律】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二看名,三看式子结构与特征.
2

化简: (1)sin 50°(1+ 3tan 10°); 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2) . π π? ? ? 2? 2tan? -x?sin ?x+ ? 4? ?4 ? ?

解:(1)sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°tan 10°) cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10° =sin 50°? cos 60°cos 10° cos?60°-10°? 2sin 50°cos 50° sin 100° cos 10° =sin 50°? = = = =1. cos 60°cos 10° cos 10° cos 10° cos 10° 1 2 2 2cos x?cos x-1?+ 2 (2)原式= π π ? ? ? 2? 2tan? -x??cos ? -x? ?4 ? ?4 ? 2 2 2 2 -4cos xsin x+1 1-sin 2x cos 2x 1 = = = = cos 2x. ?π ? ?π ? ?π ? 2cos 2x 2 4cos? -x?sin? -x? 2sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 考点二 三角函数的条件求值 [例 2] (1)(2013?浙江高考)已知 α ∈R, sin α +2cos α = A. 4 3 3 B. 4 3 C.- 4 10 , 则 tan 2α =( 2

)

4 D.- 3 ? π? (2)(2013?广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? π? 3 ? π? ?3π ? ? ①求 f?- ?的值; ②若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ?. 3? 5 ? 6? ? 2 ? ? 2 2 [自主解答] (1)法一:(直接法)两边平方,再同时除以 cos α ,得 3tan α -8tan α 1 2tan α 3 -3=0,tan α =3 或 tan α =- ,代入 tan 2α = ,得 tan 2α =- . 2 3 1-tan α 4 3 1 法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α = ,cos α = ,这时 10 10 sin α +2cos α = 10 符合要求,此时 tan α =3,代入二倍角公式得到答案 C. 2 π ? π? ? π π? ? π? (2)①f?- ?= 2cos?- - ?= 2cos?- ?= 2cos =1. 6 6 12 4 4 ? ? ? ? ? ? π? π π? π? ? ? ? ②f?2θ + ?= 2 cos?2θ + - ?= 2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ . 3 3 12 4? ? ? ? ? ? 3 4 ?3π ? 因为 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,所以 sin θ =- . 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =- ,cos 2θ =cos θ -sin θ =- . 25 25 π 24 7 17 ? ? ? ? 所以 f?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= .[答案] (1)C 3? 25 ? 25? 25 ? π? ? 【互动探究】保持本例(2)②条件不变,求 f?θ - ?的值. 6? ?

3

解:因为 θ ∈?

?3π ,2π ?,cos θ =3, ? 5 ? 2 ?
2

所以 sin θ =- 1-cos θ =-

4 ?3?2 1-? ? =- . 5 ?5?

π? π π? π? ? ? ? 所以 f?θ - ?= 2cos?θ - - ?= 2cos?θ - ? 6 6 12 4? ? ? ? ? ? 3 4 1 2 ? 2 ? = 2?? cos θ + sin θ ?=cos θ +sin θ = - =- . 5 5 5 2 ?2 ? 【方法规律】 三角函数求值的两种类型 (1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角 函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.

π? 1 ? 1.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos 4? 2 ? θ =________. π? 1 π? 5 ? ? 解析:法一:由 θ 在第二象限,且 tan?θ + ?= ,因而 sin?θ + ?=- ,因而 4? 2 4? 5 ? ? π? 10 ? sin θ +cos θ = 2 sin?θ + ?=- . 4? 5 ? π? 1 tan θ +1 1 ? 法二:如果将 tan?θ + ?= 利用两角和的正切公式展开,则 = ,求得 tan 4 2 1-tan θ 2 ? ? 1 1 3 θ =- .又因为 θ 在第二象限,则 sin θ = ,cosθ =- ,从而 sin θ +cos θ 3 10 10 =- 2 10 =- 10 10 .答案:- 5 5

β ? π 1 ? ?α ? 2 2.已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α +β ) 2? 2 9 ? ?2 ? 3 的值. π π α π π β 解:∵0<β < <α <π ,∴- < -β < , <α - <π , 2 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?

1-sin ?
2

? α -β ? = 5 , ? 3 ?2 ?

β ? β ? 4 5 ? 2? sin?α - ?= 1-cos ?α - ?= , 2? 2? 9 ? ? β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β ? ?α β ? ?α 5 4 5 2 7 5 ? ? ? ? ? 1? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ?=?- ?? + ? = , 2 2 2 2 9 9 3 27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 49?5 239 2α +β ∴cos(α +β )=2cos -1=2? -1=- . 2 729 729

4

1 1 已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7 1 1 - 2 7 tan?α -β ?+tan β 1 解:∵tan α =tan[(α -β )+β ]= = = >0 1-tan?α -β ?tan β 1 1 3 1+ ? 2 7 π ∴0<α < . 2 1 2? 3 2tan α 3 π 又 tan 2α = = = >0,∴ 0<2α < . 2 1-tan α 2 ?1?2 4 1-? ? ?3? 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β ∴tan(2α -β )= = =1. 1+tan 2α tan β 3 1 1- ? 4 7 1 π ∵tan β =- <0,∴ <β <π ,-π <2α -β <0. 7 2

5


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