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2011届高三数学第一次模拟测试题9


广东江门市 2011 年高考模拟考试


1 3

学(文科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满

分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 M A. a
? ?2

? x|x

?

2

? 3

? ,下列实数 a 中,符合 a ? M
? ?1

的是
? 3

B. a

C. a

? 2

D. a
2i

⒉在复平面内,点 A 、 B 对应的复数分别是 ? 3 ? 对应的复数是 A. ? 2 ? 2 i ⒊已知 a A. a
? ( ) 2 1
3

、1 ?

4 i ,则线段 AB

的中点

B. 4 ? 6 i
1

C. ? 1 ? i

D. 2 ? 3 i

,b

? 32

,c

1 ? log 3 ( ) ,则 a 2

、 b 、 c 的大小关系是
? c ? b

? b ? c

B. b 、b

? a ? c

C. a

D. c

? a ? b

⒋设向量 a

? (?1 , 2)

? (1 , 3 )

,下列结论中,正确的是 D. a
? (a ? b )
5

A. a // b B. a ? b C. a //( a ? b ) ⒌某型号儿童蛋糕上半部分是半球,下半部分是圆锥, 三视图如图 1 ,则该型号蛋糕的表面积 S A. 115 ? C. 105 ? B. 110 ? D. 100 ?
?

12

⒍已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B 1 、 B 2 ,焦点 为 F 1 、 F 2 ,若四边形 B 1 F1 B 2 F 2 是正方形,则这个 椭圆的离心率 e A.
2 2

正视图
?

侧视图

?
1 2

B.

C.

3 2

10

图1

D.以上都不是
a n ? a n?2

俯视图

⒎已知数列 ?a n ?( n ? 的 A.充要条件 是

N ? , a n ? 0 ) ,则“ a n ? 1 ?

”是“ ?a n ? 是等比数列”

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.以上都不

?x ? 1 ? ⒏已知平面区域 D : ? y ? 1 ?x ? y ? 5 ?

, ? (a ,
4 27

b) ? D

, a ? 2b
1 12

? 0

的概率是

A.

1 3

B.

1 6

C.

D.

⒐曲线

f ( x ) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程是

A.2 x ?

y?2 ? 0

B.2 x ?

y?2 ? 0

C.x ?

y ?1 ? 0

D.x ?

y ?1 ? 0

⒑若正实数 x 、 y 满足 x ? A. xy 的最小值是 25 C. x
? y

4 y ? 5 ? xy

,则

B. xy 的最大值是 25
25 2

的最小值是

D. x

? y

的最大值是

25 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒若 ? ABC 的面积是 2 ,cos
A ? 3 5

开始

, AB 则

? AC ?

. .

输入 x ? R
g (x) ? x
2

⒓如图 2,程序框图输出的函数 ⒔观察下列各式:① ( x 3 ) / ③ (2
x

f (x) ?

,值域是
x ) ? cos x
/

? x

? 3x

2

;② (sin
/


x ? g (x)



?2

?x

) ? 2
/

x

? 2

?x

;④ ( x cos
/

x ) ? cos x ? x sin x



根据其中函数

f ( x ) 及其导函数 f ( x )

的奇偶性,运用 .

f (x) ? g (x)

f (x) ? x

归纳推理可得到的一个命题是: (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的参数方程是
1 ? x ? 2 (t ? ) ? ? t (t ? 1 ? y ? 3(t ? ) ? t ?

输出 f ( x ) 结束
B

图2

为参数)则曲线 C 的普通方程是 ,



⒖(几何证明选讲选做题)如图 3, PT 是圆 O 的切线,
PAB

?O

A

是圆 O 的割线,若 PT
?

? 2 , PA ? 1 , ? P ? 60

o


T

则圆 O 的半径 r



图3

P

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

⒗(本小题满分 14 分)春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度 y 随时间 x 变化近似满足函数 y
? A sin( ? x ? ? ) ? b( A ? 0

? ,

? 0, ? ?? ? ? ?

) (如图 4) ,

且在每天凌晨 2 时达到最低温度 ? 3 ℃,在下午 14 时达到最高温度 9 ℃. ⑴求这段时间气温随时间变化的函数解析式; ⑵这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为 0 ℃?
注:一昼夜指从凌晨 0 时(含)到午夜 24 时(不含) .
O

y 温度/℃

Q (14 , 9 )

x

时间/ h
P ( 2, ? 3)

图4

⒘(本小题满分 12 分)某地为了建立幸福指标体系,决定用分层抽样的方法从 公务员、 教师、 自由职业者三个群体的相关人员中, 抽取若干人组成研究小组, 有关数据见下表(单位:人) . ⑴求研究小组的总人数; ⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人来自公务员的概率. 公务员 教师 自由职 业者 ⒙(本小题满分 14 分)如图 5,
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是四棱柱, 底面 ABCD
o

相关人 员数 32 48 64

抽取 人数
x
y

4

是菱形,

AA 1 ?

底面 ABCD ,AB
D1

? 2,

? BAD ? 60

, E 是 AA 1 的中点.
?

C1 B1

⑴求证:平面 BD 1 E ⑵若四面体 D 1 求棱柱 ABCD
? ABE

平面 BB 1 D 1 D ; 的体积 V
? 1,

A1

? A1 B 1 C 1 D 1 的高.

E D
C

A

图5

B

⒚(本小题满分 12 分)已知直线 l : x 点,满足 PM
? PO

? 4

与 x 轴相交于点 M , P 是平面上的动

( O 是坐标原点) .

⑴求动点 P 的轨迹 C 的方程;

⑵过直线 若 DE
? 1 2

l

上一点 D ( D

? M ) 作曲线 C

的切线, 切点为 E , x 轴相交点为 F , 与

DF

,求切线 DE 的方程.

⒛(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, Pn ( n ,
y ? x
2

n )( n ? N ? )
2

是抛物线

上的点, ? OP n Pn ? 1 的面积为 S n .

⑴求 S n ; ⑵化简
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn
n ( n ? 1 )( n ? 2 ) 6

; .

⑶试证明 S 1

? S2 ?? ? Sn ?

21 本小题满分 14 分) D 是函数 y ( 设 使
f (x0 ) ? x0

? f ( x ) 定义域内的一个区间, 若存在 x 0 ? D



,则称 x 0 是
x

f ( x ) 的一个不动点,也称 f ( x )

在区间 D 上有不动点.

⑴证明

f (x) ? 2

? 2 x ? 3 在区间 (1 , 4 )
2

上有不动点;
4]

⑵若函数 围.

f ( x ) ? ax

? x? a ?

5 2

在区间 [1 ,

上有不动点,求常数 a 的取值范

文科数学评分参考
一、选择题 BCBDA ACCDA ⒒ ⒓
? x 2 ? x , x ? x 2 ? x, ? f (x) ? ? 2 ?x , x ? x ? x. ?

二 、 填 空 题

3



? x 2 ? x , x ? 2或 x ? 0, f (x) ? ? (3 0 ? x ? 2. ?x ,

分) [ 0 , ;

? ?)

(2 分)

⒔奇函数的导函数是

偶函数 ⒕ 三、解答题

x

2

?

y

2

?1



3

16

36

⒗⑴依题意,?
T ? 24

?A ? b ? 9 ?? A ? b ? ?3

??2 分, 解得 A
?
12
2? 3

? 6

b ,

? 3

??4 分;

T 2

? 14 ? 2 ? 12



??5 分, ?
?? ??

?

2? T

?

??6 分,由 6 sin( ??8 分,所以 y 得
?
12 x?

?
12

? 2 ? ? ) ? 3 ? ? 3 ??7

分, 分.

且? ? ⑵由
?
12 x? 2? 3

,解得 ?
?
12 x?

? ?

? 6 sin( 1

?
12

x?

2? 3

) ? 3 ??9

y ? 6 sin(

2? 3

)?3 ? 0 2? 3

sin(

2? 3

) ? ?

? ? 10 分 , 所 以
? x ? 24

2

? 2 k? ?

?
6



?
12

x?

? 2 k? ?

7? 6

,k

? Z

??12 分,由 0



解得 x

? 6 或 x ? 22

,即在每天的 6 时或 22 时的气温为 0 ℃??14 分.

⒘⑴依题意,

64 4

?

48 y

?

32 x

??2 分,解得 y

? 3

,x
64

? 2

??4 分,研究小组的 ??4 分, ? ??6

总人数为 2 ? 3 ? 分)

4 ? 9

(人)??6 分. (或 4 ?

64 ? 48 ? 32

9

⑵设研究小组中公务员为 a 1 、 a 2 ,教师为 b1 、 b 2 、 b 3 ,从中随机选 2 人,不 同的选取结果有:a 1
b2 b3 a2

、a 1

b 1 、a 1 b 2 、a 1 b 3

、a 2

b 1 、a 2 b 2 、a 2 b 3

、b1

b 2 、b 1 b 3



??8 分,共 10 种??9 分,其中恰好有 1 人来自公务员的结果有: a 1 、a2
b1 、 a 2 b 2 、 a 2 b 3
? 6 10 (? 3 5

b1 、

a1 b2 、 a1 b3

??10 分,共 6 种??11 分,所以恰好有 1
? 0 .6 )

人来自公务员的概率为 P ⒙⑴设平面 BD 1 E
? CC
1

??12 分.

? F ? BC

,连接 BF ,则 ? D 1 A1 E 与 ? BCF 的对应边互相平 ,所以 ? D 1 A1 E
? ? BCF ?

行??1 分,且 A1 D 1

??2 分, F 是 CC 1 的中
? A1 C 1

点??3 分,连接 A1 C 1 、 B 1 D 1 ,因为 AA 1

底面 ABCD ,所以 AA 1



A1 C 1 ? BB 1 A1 C 1 ?

??4 分, ABCD 是菱形, A1 C 1

? B 1 D 1 ,且 BB 1 ? B 1 D 1 ? B 1 ,所以
1

面 BB 1 D 1 D ??5 分, 因为 E 、 分别是 AA 1 、 CC 1 的中点, 所以 A1 EFC F
// A1 C 1 ,所以 EF ?

是矩形, EF 平面 BFD
1

平面 BB 1 D 1 D ??6 分, EF 面 BB 1 D 1 D ??7 分.

?

平面 BD 1 E (即

E

) ,所以,面 BD 1 E
?

?

⑵因为 AA 1
AA 1 ?

底面 ABCD ,所以 AA 1 是棱柱 ABCD
1

? A1 B 1 C 1 D 1 的高??8

分,

平面 ABB

A1 ,平面 ABB
F

1

A1 ?

底面 ABCD ??9 分,在底面 A1 B 1 C 1 D 1 上作 面
A1 B 1 C 1 D 1 ? A1 B 1

D 1 F ? A1 B 1 ABB 1 A1

,垂足为

,面

A B B1 A1 ?
V ? 1 3

,所以

D1 F ?



? ? 10
1 2 1 2

分 , 所 以
1 2

? S ? ABE ? D 1 F

? ? 11
o

分 , 其 中

S ? ABE ? 1 3

? AE ? AB ? AE ?

AA 1

, D1 F

? A1 D 1 ? sin 60

?

3

??12 分,所以
? A1 B 1 C 1 D 1 的高

V ?

?

AA 1 ? 3 ? 1 ??13

分,解得 AA 1 ?

2 3

,即棱柱 ABCD

为2

3

??14 分.
( 4 , 0 ) ??1

⒚⑴依题意,M 得 k PM

分, P ( x , 设
y x? 4 ? y x

y )( x ? 0 且 x ? 4 )
? ? 1 ??4

??2 分, PM 由

? PO

? k PO ? ? 1 ??3 2) ? y
2 2

分, 即
2

分, 整理得, 动点 P 的轨迹 C

的方程为 ( x ?

? 2 ( x ? 0 且 x ? 4 ) ??5 2) ? y
2 2

分.
? DM

⑵ DE 、 DM 都是圆 ( x ?
DE ? 1 2 DF

? 2

2

的切线,所以 DE
?

??6 分,因为
0)

,所以 DF

? 2 DE ? 2 DM

,所以 ? DFM
?

?
6

??7 分,设 C ( 2 ,

, ,

在 ? CEF 中 , ? C E F
F (?2 , 0)

?

?
2

, ? CFE

?
6

, CE
?

? 2

? ? 8 分 , 所 以 CF

? 4

??9 分, 切线 DE 的倾斜角 ? 或?
3 3
( n ? 1) )
2

?
6



5? 6

??10 分, 所以切线 DE 的斜
3 3

率k

?

3 3

??11 分,切线 DE 的方程为 y

? ?

( x ? 2)
2

??12 分.
( n ? 1) ? n
2 2

⒛⑴依题意,Pn ? 1 ( n ? 1 , 2 分 , 即
2

,直线 Pn Pn ? 1 的方程为

y ? n

x? n

?

( n ? 1) ? n

?? ,

( 2 n ? 1) x ? y ? n ( n ? 1) ? 0
2 2 2

?

?

3



Pn Pn ? 1 ?

[( n ? 1) ? n ] ? [( n ? 1) ? n ]

?

4n

2

? 4n ? 2
1 2

??4 分,点 O 到直线 Pn Pn ? 1 的距离 d
? Pn Pn ? 1 ? d ? n ( n ? 1) 2

?

n ( n ? 1) 4n
2

??5

? 4n ? 2

分,所以 S n ⑵ 分 ⑶因为 从而
1? 2 ? 3 6

?

??6 分.
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 2 1 ? 2 n ?1 ? 2n n ?1

1 Sn

?

2 n ( n ? 1)

?

2 n

?

2 n ?1

??8 分,

??10

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

?

( n ? 1) n ( n ? 1) 6

?

3 n ( n ? 1) 6

?

n ( n ? 1) 2

? S n ??12 ?

分,
? S2

( n ? 1) n ( n ? 1) 6 ? 0 ?1? 2 6 ? S1

?

( n ? 2 )( n ? 1) n 6

? S n ?1

,??, , 以

2?3? 4 6

1? 2 ? 3 6

, 得

?

?

13













S1 ? S 2 ? ? ? S n ?

n ( n ? 1 )( n ? 2 ) 6

??14 分.

21.⑴依题意, “

f ( x ) 在区间 D

上有不动点”当且仅当“ F ( x )
? f (x) ? x ? 2
x

? f (x) ? x

在区间 D

上有零点”??2 分, F ( x )

? 3x ? 3

在区间 [1 ,

4 ] 上是一条连续

F 不断的曲线??3 分, (1) ? F ( 4 )

? ? 4 ? 1 ? 0 ??4
x

分, 所以函数 F ( x )

? f (x) ? x

在区间 (1 ,

4)

内有零点,

f (x) ? 2

? 2 x ? 3 在区间 (1 , 4 )
2

上有不动点??5 分.
5 2 ? 0

⑵依题意,存在 x ? [1 , 当x
? 1 时,使 F (1 ) ?

4 ] ,使 F ( x ) ? f ( x ) ? x ? ax

? 2x ? a ?

1 2

? 0 ??6

分;当 x

? 1 时,解得 a ?

4x ? 5 2( x
2

? 1)

??8 分,

由a ?
'

? 2x (x

2 2

? 5x ? 2 ? 1)
2

? 0

??9 分,得 x
(2 , 4)

? 2

或x

?

1 2



1 2

? 1 ,舍去)??10
4x ? 5 2( x
2

分,

x

(1 , 2 )
2

??12 分,当 x

? 2

时, a 最大

?

? 1)
1 2

?

1 2

??

a

'

?

0



13 分,所以常数 a 的取值范围是 ( ?? 分.

,

]

??14

a



最 大值




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