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2011年全国高中数学联赛试题


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1 . 设 集 合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成

的 集 合 为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?



2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为
1 a 1 b



3.设 a , b 为正实数, ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ?



4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个 项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 6. 在四面体 ABCD中, 已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? ,AD ? BD ? 3 , 则四面体 ABCD CD ? 2 , 的外接球的半径为 .

7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ?ACB ? 90? ,则 点 C 的坐标为
3 8.已知 a n ? C n 200?? 6 ? 200? n


? 1 ? ? ?? ? ? (n ? 1,2, ? ,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ? 2?
n



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.

b ?1 ), b?2

1

10 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t n ? 1
(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小.

11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :

1 3

x2 y2 ? ?1 36 4

y P O A x B

交于 A, B 两点(如图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB的面积.

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10

2

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实 数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分) 设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数 的最大值.

3


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