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2.4.1二次函数的性质


复习 1.二次函数的定义是什么? 2.二次函数的解析式有几种 形式? 3.二次函数的图像是什么形 状?如何快速画出其草图?

1.一般地,函数y=ax2+bx+c(a,b,c为 常数,且a≠0)叫做二次函数. 2.三种形式为: 1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2)顶点式: y=a(x+h)2 +k(a≠0); 3) 零点式:y=a(x-x

1)(x-x2) (a≠0).

3.二次函数的图像是抛物线, 画草图时,通常根据“三点 一线一开口”来画.

练习
说出下列函数的开口方向、 顶点、对称轴:

(1) (2) (3)

2-1; y=(x+2) 2+2 y=-(x-2)

;
.

2+k y=a(x+h)

问题提出
2和 2(a?0)的 像 (1)y=x y=a x 图

之 有 么 系 间 什 关 ?

探索

实践探究 1

在 一 标 下 同 坐 系 , 画 下 函 的 像 出 列 数 图 2 ; (1)y=x (2)y=2x2 ; 1 2 (3)y= x . 2

表2-7
x … -2 -1 0 1 2 …

x2



4 8

1 2

0 0

1 2

4 8
探索

… …

2x2 …

抽象概括

1.二次函数y=ax2(a?0)的图像 2图像各点纵坐标 可由的y=x 变为原来的a倍得到 2.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上,a<0开口向下 3.a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小: |a|越小图像开口 就越大

巩固性训练一

.下列二次函数图像开口,按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
1 2 1 2 (1)f(x)= x ; (2)f(x)= x 4 2

1 2 (3)f(x)=- x ; (4) f(x)=-3x2 3

问题提出
2和 2+k(a?0)的 (2)y=ax y=a(x+h)

图 之 有 么 系 像 间 什 关 ?

探索

实践探究 2
  同 坐 系 , 在 一 标 中 画 下 函 的 像 出 列 数 图 : 2 ; (1) y=2x 2 ; (2) y=2(x+1) 2-3 . (3) y=2(x+1)

抽象概括
二次函数y=a(x+h)2+k (a?0),

a决定了二次函数图像的开口大小及方向;

而且“a正开口向上,a负开口向下”; |a|越大开口越小; h决定了二次函数图像的左右平移, 而且“h正左移,h负右移”; k决定了二次函数图像的上下平移, 而且“k正上移,k负下移”。

动手实践

由y=-3x2的图像,画出y= -3(x -1)2 +1的图像.

问题提出

(3)y=ax2和 y=ax 2+bx+c(a?0)的   图 之 有 么 系 像 间 什 关 ?

探索

在同一坐标系下,画出下列函 数的图像: (1)y=2x2

(2)

2 +4x-1 y=2x

抽象概括
一般地,二次函数
2+bx+c(a≠0),通过配方可 y=ax

以得到它的恒等形式y=a(x+h)2 +k, 从而知道可以由y=ax2 的图像 通过平移得到y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像.

巩固性训练二

1.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到(-3,2) Y=3(x+3) 2+2 ,则它的解析式为

2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同,开口方向也相同,已知函数 g(x)=x2+1,f(x)图像的顶点为(3,2),则 Y=(x-3) 2+2 f(x)的表达式为

思考交流
1.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,

h,k对函数图像有何影响? 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中, 确定函数图像开口大小及方向的参 数是什么?确定函数图像位置的参 数是什么?

3.写出一个开口向下,顶点为 (-3,1)的二次函数的解析 式,并画出其图像.

例1

巩固性训练三
1.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的 顶点为(2,-1),且与y轴交于(0,11),则 a= ,b= ,c= 2.已知二次函数f(x)的顶点为(1,-2),且图 像过点(2,4),则f(x)=

发展性训练 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 可以得到y=3x2的图像 右移2单位,下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移2个单 位,再向下平移3个单位所得图像对应 的函数解析式为
Y=(x-2) 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4

小结

1.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的 影响 2.y=x2 与y=a(x+h)2+k 的图像变换规 律。

作业
P46 ---47页A 2,3,4


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