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新乐四中理科数学周考三


新乐四中理科数学周考一
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上. 1.设集合 M ? {x | x2 ? 2 x ?15 ? 0}, N ? {x | x2 ? 6x ? 7 ? 0} ,则 M A. (?5,1] B. [1

,3) C. [?7,3) D. (?5,3)

A.

1 3

B.3

C.

3 3
)

D. 3

8. 等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? a2 ? 10 ,S 4 ? 36 , 则过点 P (n, an ) 和 Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是( A. ? ?

N ?(



2. 已知 i 是虚数单位, m 和 n 都是实数,且 m(1 ? i) ? 7 ? ni ,则 A. ? 1 B. 1 C. ? i D. i

m ? ni ?( m ? ni



? 1 ? ? 1 ? ? 1? B. ?? 1,?1? C. ? ? ,?1? D. ? 2, ? ,?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2? 9. 函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 m x ? ny ? 2 ? 0 2 1 上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则 ? 的最小值为( ) m n 5 9 A. 2 2 B.4 C. D. 2 2
10. 在区间 ? ?1,5? ? 和? ? 2, 4 ? ? 上分别取一个数,记为 a,b , 则方程

lg x, x ? 0, ? ? 3.设若 f ( x) ? ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的值为 a x ? ? 3t 2 dt , x ? 0, ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. ? 1 D. ? 2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上 a2 b2

且离心率小于

4.设 a, b 为两个非零向量,则“ a ? b ?| a ? b | ”是“ a 与 b 共线”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立 评分, p 为该题的最终得分, 当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时,x3 等 于 A. 11 6.已知 B. 8.5 C. 8 D. 7

3 的椭圆的概率为 ( 2
B.



A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

11.多面体的三视图如图所示,则该多面体表面积为(单 位 cm ) A. 28 ? 4 5 C. 30 ? 4 10 B. 30 ? 4 5 D. 28 ? 4 10 )

? 2 ,则 tan 2? ? ? ? ? 0, ? ? ,且 sin(? ? ) ?
4 10
3 B. 4 24 C. ? 7 24 D. 7

4 A. 3

12.若曲线 C1 : y ? ax2 (a ? 0) 与曲线 C2 : y ? e x 存在公共切线,则 a 的取值范围为( A. ?

? 7 . 已 知 O A? 1 , O B

3, OA OB ? 0, 点 C 在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30? , 设
m 等于( n


? e2 ? , ?? ? ?8 ?

B. ? 0,

? ?

e2 ? ? 8?

C. ?

? e2 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

e2 ? ? 4?

O C? m O?A

, n? R n, O B ?m ? ,则



-1-

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡上. 13. x ? x ? 2 的展开式中 x 的系数为
2

(Ⅲ)从学校的高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学路上所需时间少于 20 分钟的人数 记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率) 19.已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O , M 为 OC 中点,若二 面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 ,求 a : b 的值.

?

?

5

3

* *



14.若双曲线

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双 2 a b 4


曲线的离心率为 * *

?x ? 0 ? 15.设点 P( x, y ) 满足条件 ? y ? 0 ,点 Q(a, b)(a ? 0, b ? 0) 满足 OP ? OQ ? 1 恒成立,其 ? y ? 2x ? 2 ?
中 O 是坐标原点,则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是 16.在 ?ABC 中, tan * * . * * .

20.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛 2

1 A? B ? 2 sin C , 若 AB ? 1 ,则 AC ? BC 的最大值 2 2

物线交于 A, B 两点. (Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) (Ⅰ)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 的单调区间并给予证明; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.已知数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求证数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

a n (a n ? 1) (n ? N * ), 2

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , 求 Tn . Sn

e ? f ( x1 ) ? ?1 . 2

18.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制 成频率分布直方图 (如图) , 其中上学路上所需时间的
频率 /组距

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) , [20, 40) ,
0.025

[40,60) , [60,80) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可 申请在学校住宿, 若招生 1200 名, 请估计新生中有多 少名学生可以申请住宿;

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . 4 ?y ? t 5 ?
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间



-2-

理科数学(答案)
一、选择题:BDADC 二、13. CBADB AC

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256
2 2 2 4

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
1 4 3

3

2 3 -200 .14. .15. 3

1 .16. 2
① S n ?1

21 . 3
a (a ? 1) ? n ?1 n ?1 (n ? 2) 2


27 ?1? ? 3? ?1? ? 3? 3 , P( X ? 3) ? C3 , P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? 4? ? ? ?? ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64
1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256
所以 X 的分布列为:
4

a (a ? 1) (n ? N * ) 17. 解: (Ⅰ) S n ? n n 2
2 2

10 分

a ? a n ? a n?1 ? a n?1 ①-②得: a n ? n ?n ? 2? 整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? ?an ? an?1 ? 2

X
P

0

1

2

3

4

? 数列 ?an ? 的各项均为正数,? an ? an?1 ? 0, ? an ? an?1 ? 1(n ? 2)
n ? 1 时, a1 ? 1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 公差为 1 的等差数列
6分

81 27 27 1 3 256 64 128 256 64 81 27 27 3 1 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4 所以 X 的数学期望为 1 . 12 分

n2 ? n (Ⅱ)由第一问得 S n ? 2

2 2 1? ? 1 ? bn ? 2 ? ? 2? ? ? n ? n n ( ? n 1 ) ? n ?n ? 1

19.解: (Ⅰ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD………………2 分 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC………………4 分 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ……………6 分

? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? 1 ?1 ? ?1 n 2 12 分 ?Tn ? 2 ? ( 1 ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? (? ? ) ? 2 ? 1 ?? ? 2 ? 2 3 n n? ?1 ? n ? ? 1 ? n 1 ? ? 3 ?4 ?
18.解: (Ⅰ)由直方图可得: 20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . 3分 (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 1200 ? 0.12 ? 144 ,所以 1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿. (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4. 6分

(Ⅱ)方法 1. 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可 以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 O-PM-D 的平面角………………8 分 又
z P

OD ?
H ? M

3 a 3a a, OM ? , AM ? 2 4 4
………………10 分





O O

A P

P M

A O M x

D y C

1 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为 , 4

a ab 从而 OH ? ……11 分 ·? 2 2 9 2 4 1 6 b ? 9 a 2 b ? a 16

b

B



-3-

3(16b2 ? 9a 2 ) OD tan ?OHD ? ? ?2 6 OH 2b
所以 9a 2 ? 16b 2 ,即

1 ? ?y ? ? x ? b 2 20 解: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x
依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b ,
P

a 4 ? . b 3

………………………12 分

法二:如图,以 A 为原点, AD, AP 所在直线为 y 轴, z 轴建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 ,
A H O M D

P(0, 0, b), D(0, a, 0) , M (
…………8 分

3 3 3 3 1 a, a, 0) , O( a, a, 0) 8 8 4 4
B

又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) .

C

8 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,解得 b ? ? . 5
所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

3 3 3 3 3 从而 PD ? (0, a, ?b), PM ? ( a, a, ?b) OD ? (? a, a, 0) ………………9 分 4 4 8 8
因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 OD ? (? 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 PD ? n, PM ? n 得

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

3 3 a, a, 0) .……10 分 4 4

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5 (Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,
直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

3 3 3 PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ? ax ? ay ? bz ? 0 8 8
取x?

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 . 令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

5 3 3

b, y ? b, z ? a ,即 n ? (

5 3 3

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3
b

b, b, a ) ……………11 分
1 5

4 (?2, ? ) 3


?
0

4 3

4 (? ,0) 3


设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等从而 tan ? ? 2 6 ,得 cos ? ?

g ?(b) g (b)

极大

5 3 ? ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ? ? 从而 4b ? 3a ,即 a : b ? 4 : 3 . …………12 分 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27

4 32 4 32 3 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? .所以当 b ? ? 时, ?AOB 的面积取得最大值 . 3 27 3 9
2 x x x 21 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ? e , f ?( x) ? 2x ? e , f ??( x) ? 2 ? e , 易知

f ?( x)max ? f ?(ln 2) ? 2ln 2 ? 2 ? 0, 从而 f ( x) 为单调减函数.………………4分
、 -4-

(Ⅱ) f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,即 f ?( x) ? 2ax ? ex ? 0 有两个实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 所以 f ??( x) ? 2a ? e x ? 0 ,得 x ? ln 2 a .

f ?(ln 2a) ? 2a ln 2a ? 2a ? 0 ,得 ln 2a ? 1 ? 2a ? e .………………6 分
又 f ?(0) ? ?1 ? 0 , f ?(1) ? 2a ? e ? 0 所以 0 ? x1 ? 1 ? ln 2a ………………8 分

f ?( x1 ) ? 2ax1 ? ex 1 ? 0 ,得 ax1 ?
f ( x1 ) ? ax12 ? e x1 ?

ex 1 2

?x ? e x1 x1 ? e x1 ? e x1 ? 1 ? 1? (0 ? x1 ? 1) ………………10 分 2 ?2 ?
? e ? f (1) ? f ( x1 ) ? f (0) ? ?1 ………………12 分 2

? x ?1 ? f ?( x1 ) ? e x1 ? 1 ??0, ? 2 ?

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲 解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? ……………………………………………2 分 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,[ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 …………4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) … ………6 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 MC ? 5 … ……8 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ………………………10 分



-5-


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