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2014届高三数学辅导精讲精练26


2014 届高三数学辅导精讲精练 26
π π 1.函数 y=cos(x+6),x∈[0,2]的值域是 3 1 A.(- 2 ,2] 1 3 C.[2, 2 ] 答案 解析 B π π π 2 1 3 x∈[0,2],x+6∈[6,3π],∴y∈[-2, 2 ]. ) 1 3 B.[-2, 2 ] 3 1 D.[- 2 ,-2] ( )

πx π

2.(2012· 山东)函数 y=2sin( 6 -3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 C.-1 答案 解析 A B.0 D.-1- 3

π πx π 7π 3 πx π 当 0≤x≤9 时,-3≤ 6 -3≤ 6 ,- 2 ≤sin( 6 -3)≤1,所以函数的

最大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. π 3.(2012· 湖南)函数 f(x)=sinx-cos(x+6)的值域为 A.[-2,2] C.[-1,1] 答案 解析 B 3 1 3 1 π 因为 f(x)=sinx- 2 cosx+2sinx= 3( 2 sinx-2cosx)= 3sin(x-6), B.[- 3, 3] 3 3 D.[- 2 , 2 ] ( )

所以函数 f(x)的值域为[- 3, 3]. 4.函数 y=sinx+sin|x|的值域是 A.[-1,1] C.[0,2] 答案 解析 B 当 x>0 时,y=2sinx,y∈[-2,2],x≤0,时 y=0. B.[-2,2] D.[0,1] ( )

π 5.如果|x|≤4,那么函数 f(x)=cos2x+sinx 的最小值是 A. 2-1 2 B.- D. 2+1 2

(

)

C.-1 答案 解析 D

1- 2 2

1 5 2 f(x)=-sin2x+sinx+1=-(sinx-2)2+4,当 sinx=- 2 时,有最小

2 2 1- 2 值,ymin=4- 2 = 2 . π π 6.函数 y=12sin(2x+6)+5sin(3-2x)的最大值是 5 3 A.6+ 2 C.13 答案 解析 C π π π y=12sin(2x+6)+5cos[2-(3-2x)] B.17 D.12 ( )

π π =12sin(2x+6)+5cos(2x+6) π 5 =13sin(2x+6+φ)(φ=arctan12),故选 C. π 7.当 0<x<4时,函数 f(x)= 1 A.4 C.2 答案 解析 D f(x)= 1 = -tan x+tanx
2

cos2x 的最小值是 cosxsinx-sin2x 1 B.2 D.4

(

)

1 2 1, -?tanx-2? +4

1

1 当 tanx=2时,f(x)的最小值为 4,故选 D. sinx+1 8.已知 f(x)= sinx ,下列结论正确的是 ( )

A.有最大值无最小值 C.有最大值且有最小值 答案 解析 B

B.有最小值无最大值 D.既无最大值又无最小值

1 令 t=sinx,t∈(0,1],则 y=1+ t ,t∈(0,1]是一个减函数,则 f(x)只有

1 1 最小值而无最大值.另外还可通过 y=1+sinx,得出 sinx= ,由 sinx∈(0,1] y-1 也可求出,故选 B. π 9.函数 y=sinx+ 3cosx 在区间[0,2]上的最小值为______. 答案 解析 1 π π y=sinx+ 3cosx=2sin(x+3),x∈[0,2].

π π 5π 5π ∴x+3∈[3, 6 ],∴ymin=2sin 6 =1. 2 1 10.函数 y=sin2x+2cosx 在区间[-3π,α]上最小值为-4,则 α 的取值范围 是________. 答案 解析 2 2π π, 3 ]. 3 π π 11.(2011· 上海理)函数 y=sin(2+x)cos(6-x)的最大值为________. 答案 2+ 3 4 2 2π (-3π, 3 ] 2 1 y=2-(cosx-1)2,当 x=-3π 时,y=-4,根据函数的对称性 x∈(-

π 12.函数 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m 在[0,2]上有零点,则实数 m 的取 值范围是________. 答案 解析 =m 有解. [-1, 2] π f(x)=1+2sinxcosx-2cos2x-m=0 有解,x∈[0,2].即 sin2x-cos2x

π 2sin(2x-4)=m 有解. π π π 3π ∵x∈[0,2],2x-4∈[-4, 4 ], π ∴ 2sin(2x-4)∈[-1, 2]. 1 2 13.函数 y=sin2x+cos2x的最小值是________. 答案 解析 +2 2, ∴ymin=3+2 2. π 14.(2013· 东城区)已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+a,且 f(6)=4. (1)求 a 的值; π π (2)当-4≤x≤3时,求函数 f(x)的值域. 答案 解析 (1)a=1 (2)[2- 3,4] 3+2 2 y= sin2x+cos2x 2sin2x+2cos2x 1 2 cos2x 2sin2x + =3+ 2 + ≥3 2 + 2 = 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos2x

π (1)由 f(6)=4,可得

3 1 3 2×( 2 )2+2 3×2× 2 +a=4. ∴a=1. (2)f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+1 =cos2x+ 3sin2x+2 π =2sin(2x+6)+2, π π π π 5π ∵-4≤x≤3,∴-3≤2x+6≤ 6 . 3 π ∴- 2 ≤sin(2x+6)≤1. ∴2- 3≤f(x)≤4. ∴函数 f(x)的值域为[2- 3,4].

x x x 1 15.(2012· 四川文)已知函数 f(x)=cos22-sin2cos2-2. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α)= 10 ,求 sin2α 的值. 解析 x x x 1 (1)由已知,f(x)=cos22-sin2cos2-2

1 1 1 =2(1+cosx)-2sinx-2 = 2 π cos(x+ ). 2 4

2 2 所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为[- 2 , 2 ]. 2 π 3 2 (2)由(1)知,f(α)= 2 cos(α+4)= 10 , π 3 所以 cos(α+4)=5. π π 所以 sin2α=-cos(2+2α)=-cos2(α+4) π 18 7 =1-2cos2(α+4)=1-25=25. π 16.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<2)的部分图像如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; π π π (2)设 g(x)=[f(x-12)]2,求函数 g(x)在 x∈[-6,3]上的最大值,并确定此时 x 的值. 答案 3 π (1)f(x)=2sin(2x+4)

π (2)x=4时,g(x)max=4 解析 (1)由图知 A=2,

T π 2π π 3 =3,则 ω =4×3,∴ω=2. 4 π 3 π π 又 f(-6)=2sin[2×(-6)+φ]=2sin(-4+φ)=0, π ∴sin(φ-4)=0. π π π π ∵0<φ<2,∴-4<φ-4<4. π π ∴φ-4=0,即 φ=4. 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+4). π 3 π π (2)由(1)可得 f(x-12)=2sin[2(x-12)+4] 3 π =2sin(2x+8), π 1-cos?3x+4? π ∴g(x)=[f(x-12)]2=4× 2 π =2-2cos(3x+4). π π π π 5π ∵x∈[-6,3],∴-4≤3x+4≤ 4 . π π ∴当 3x+4=π,即 x=4时,g(x)max=4. A 17.(2012· 山东理)已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx,2 cos2x)(A>0),函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位,再将所得图像上各点的横坐标 1 5π 缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)在[0,24]上的 值域. 解析 A (1)f(x)=m· n= 3Asinxcosx+ 2 cos2x

3 1 π =A( 2 sin2x+2cos2x)=Asin(2x+6).

因为 A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)f(x)=6sin(2x+6). π 将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位后得到 π π π y=6sin[2(x+12)+6]=6sin(2x+3)的图像; 1 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的2倍, 纵坐标不变, 得到 y=6sin(4x π +3)的图像. π 因此 g(x)=6sin(4x+3). 5π π π 7π 因为 x∈[0,24],所以 4x+3∈[3, 6 ]. 5π 故 g(x)在[0,24]上的值域为[-3,6]. 18.(2012· 重庆文)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,-π<φ≤π)在 x π π =6处取得最大值 2,其图像与 x 轴的相邻两个交点的距离为2. (1)求 f(x)的解析式; 6cos4x-sin2x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. π f?x+6? 解析 2π (1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π,即 ω =π,解得 ω=2.

π 因 f(x)在 x=6处取得最大值 2,所以 A=2. π π π 从而 sin(2×6+φ)=1,所以3+φ=2+2kπ,k∈Z. π 又由-π<φ≤π,得 φ=6. π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6). 6cos4x-sin2x-1 6cos4x+cos2x-2 (2)g(x)= π = 2cos2x 2sin?2x+2?

?2cos2x-1??3cos2x+2? 3 2 1 = =2cos x+1(cos2x≠2). 2?2cos2x-1? 1 7 7 5 因 cos2x∈[0,1],且 cos2x≠2,故 g(x)的值域为[1,4)∪(4,2].

1.已知函数 f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在 x=3 时取得最小值,则 θ 的一个 值可以是 π A.-2 π C.4 答案 解析 B 1 ∵f(x)=2sin(2πx+2θ), π B.-4 π D.2 ( )

1 1 ∴f(3)=2sin(6π+2θ)=2sin2θ. π 此时 sin2θ=-1,2θ=2kπ-2. π ∴θ=kπ-4(k∈Z). 1 2.(2012· 烟台模拟)已知向量 a=(-2cosx,-x),b=(1,t),若函数 f(x)=a· b π 在区间(0,2)上存在增区间,则 t 的取值范围为________. 答案 解析 1 (-∞,2) 1 f(x)=a· b=-2cosx-tx.

1 f′(x)=2sinx-t,由 f′(x)≥0,得 1 1 sinx-t≥0,∴t≤2sinx. 2 π ∵f(x)在区间(0,2)上存在增区间, 1 π 1 ∴t 应小于2sinx 在(0,2)上最大值,即 t<2.

3.(2012· 湖北文)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sinωx· cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的 1 图像关于直线 x=π 对称.其中 ω,λ 为常数,且 ω∈(2,1). (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 y=f(x)的图像经过点(4,0),求函数 f(x)的值域. 解析 (1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ=-cos2ωx+ 3

π sin2ωx+λ=2sin(2ωx-6)+λ, π 由直线 x=π 是 y=f(x)图像的一条对称轴,可得 sin(2ωπ-6)=± 1.所以 2ωπ π π k 1 -6=kπ+2(k∈Z),即 ω=2+3(k∈Z). 1 5 又 ω∈(2,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y=f(x)的图像过点(4,0),得 f(4)=0. 5 π π π 即 λ=-2sin(6×2-6)=-2sin4=- 2,即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin(3x-6)- 2,函数 f(x)的值域为 [-2- 2,2- 2]. ωx 4. (2012· 四川理)函数 f(x)=6cos2 2 + 3sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图像 如图所示,A 为图像的最高点,B、C 为 图像与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.

(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 10 2 (2)若 f(x0)= 5 ,且 x0∈(- 3 ,3),求 f(x0+1)的值.

解析

π (1)由已知可得,f(x)=3cosωx+ 3sinωx=2 3sin(ωx+3).

又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ω =8,ω=4. 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= 5 ,由(1)有 πx0 π 8 3 πx0 π 4 f(x0)=2 3sin( 4 +3)= 5 ,即 sin( 4 +3)=5. 10 2 πx0 π π π 由 x0∈(- 3 ,3),知 4 +3∈(-2,2). πx0 π 所以 cos( 4 +3)= 4 3 1-?5?2=5.

πx0 π π 故 f(x0+1)=2 3sin( 4 +4+3) πx0 π π =2 3sin[( 4 +3)+4] πx0 π π πx0 π π =2 3[sin( 4 +3)cos4+cos( 4 +3)sin4] 4 2 3 2 7 6 =2 3×(5× 2 +5× 2 )= 5 . 2π → BC → 5.已知△ABC 中,AC=1,∠ABC= 3 ,∠BAC=x,记 f(x)=AB· . (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0,3),是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域 5 为(1,4]?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解析 BC 1 AB (1)由正弦定理,得sinx= 2π= . π sin 3 sin?3-x?

π sin?3-x? 1 ∴BC= sinx,AB= . 2π 2π sin 3 sin 3

π 4 π 1 2 3 1 1 → → ∴f(x)=AB · =AB· cos 3 = 3 sinx· 3 -x)· = 3 ( 2 cosx- 2 sinx)· BC BC· sin( sinx= 3 2 π 1 π sin(2x+6)-6(0<x<3). π π (2)g(x)=6m· f(x)+1=2msin(2x+6)-m+1(0<x<3). π 假设存在正实数 m 符合题意,∵x∈(0,3), π π 5π π 1 ∴6<2x+6< 6 ,∴sin(2x+6)∈(2,1]. ∵m>0, π ∴函数 g(x)=2msin(2x+6)-m+1 的值域为(1,m+1]. 5 5 1 又函数 g(x)的值域为(1,4],∴m+1=4,解得 m=4.∴存在.


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