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高考数学第一轮复习:计数原理、概率、随机变量及其分布


计数原理、概率、随机变量及其分布
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.袋中有大小相同的 10 个球,分别标有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个号码,在有放回抽取的 条件下依次取出两个球,设两个球号码之 和为随机变量 X,则 X 所有可能值的个数是( ) A.10 B.17

C.18 D.19 2.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A.81 B.64 C.12 D.14 3.在(x-y)10 的展开式中,系数最小的项是( ) A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项 4.生产某种产品出现次品的概率为 2%,生产这种产品 4 件,至多一件次品的概率为 ( ) A.(1-98%)4 B.(98%)4+(98%)3· 2% C.(98%)4 1 D.(98%)4+C4(98%)3· 2% 5.如图 D10-1 所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是 a 以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧.某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击 2 中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是( )

图 D10-1 π π A.1- B. 8 4 π C.1- D.与 a 的值有关联 4 6.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx+ 3cosx≤1”发生的概率为( ) 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3 7.直线 x=m,y=x 将圆面 x2+y2=4 分成若干块,现用 5 种颜色给这若干块涂色,每 块只涂一种颜色,且任意两块不同色,共有 120 种涂法,则 m 的取值范围是( ) A.(- 2, 2) B.(-2,2) C.(-2,- 2)∪( 2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 1 8.设 a 为函数 y=sinx+ 3cosx(x∈R)的最大值,则二项式?a x- ?6 的展开式中含 x2 x? ? 项的系数是( )

A.192 B.182 C.-192 D.-182 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置) 9. 学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序, 除第 1 个节目和最后 1 个节目已 确定外,4 个音乐节目要安排在 2,5,7,10 的位置上,3 个舞蹈节目要安排在 3,6,9 的位置,2 个曲艺节目要安排在 4,8 的位置,则不同安排的种数是________. 10.若随机变量 X~N(10,σ2),若 X 在(5,10)上的概率等于 a,a∈(0,0.5),则 X 在(-∞, 15)的概率等于________. 11.甲、乙两人从 1,2,3,?,15 中依次任取一个数(不放回),已知甲取到的数字是 5 的倍数,则甲取的数大于乙取的数的概率是________. 12.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随 机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于________. 13.甲、乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景 点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ________. 14. 正三角形 ABC 的内切圆为圆 O, 则△ABC 内的一点落在圆 O 外部的概率为________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不 合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合 格的概率分别为 0.9,0.8,0.7; 在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9, 所有考核是否合格 相互之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数).

16.(13 分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 5 0 名一线教师参加, 使用不同版本教材的教师人数如下表所示. 版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 20 15 5 10 人数 (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 X,求随机 变量 X 的分布列和数学期望.

17.(13 分)从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为: 甲:7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5; 乙:7 .6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5. (1)根据如图 D10-2 所示的茎叶图, 对甲、 乙运动员 的成绩作比较, 写出两个统计结论;

(2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一 个高于 8.5 分的概率. (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之 间,乙运动员成绩均匀分布在[7.0,10]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对 值小于 0.5 分的概率. 甲 乙 8 7 7 6 6 1 8 0 2 5 5 3 9 2 5 图 D10-2

18.(14 分)为征求个人所得税修改建议,某机构对当地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图 D10-3. (1)求居民月收入在[3000,4000]的频率; (2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这 10000 人中 用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[2500,3000)的这段 应抽多少人? (3)若将频率视为概率,对该地居民随机抽三人进行预测,记这三人月收入不低于 3000 元的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X).

图 D10-3

19.(14 分)一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、 4、5,现从盒子中随机抽取卡片. (1)从盒中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡片 的数字既不全是奇数,也不全是偶数的概率; (2)若从盒子中有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为 偶数的概率; (3)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当抽到记有奇数的卡 片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望.

20.(14 分)某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100 米处射击,如果命中记 3 分,且 停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150 米处,这时命中记 2 分,且停止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目标已在 200 米处, 若第三次命中则记 1 分.并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分.已知射手在 100 米处击 1 中 目标的概率为 ,他的命中率与目标距离的平方成反比,且各次射击都是独立的. 2 (1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率; (2)求这名射手比赛中得分的数学期望.

单元能力检测(十) 1.D [解析] 每次抽取一个球后,又放回,故两球的数字之和的最小值为 0,最大值 为 18,且能取得之间的每一个整数值,所以选 D. 2.B [解析] 4×4×4=64. 3.C [解析] 展开式共有 11 项,中间一项的二项式系数最大,该项的系数为负,故第 6 项的系数最小. 4.D [解析] “至多一件次品”可以分拆为“全是正品”和“恰有一件次品”两个互 斥的基本事件,故所求的概率 P=(98%)4+C1(98%)3· 2%. 4 a 5.C [解析] 阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径为 的圆的面积,故所求 2 a?2 a2-π?2? ? π 的概率是 =1- . 2 a 4 π π 1 π 6.C [解析] sinx+ 3cosx=2sin?x+3?≤1,可得 sin?x+3?≤ ,解得 ≤x≤π,故事件 ? ? ? ? 2 2 π π- 2 1 sinx+ 3cosx≤1 的概率是 = . π-0 2 7. [解析] 只有当 m∈(- 2, 2)时, A 直线 x=m, y=x 才可能把圆面分成四块区域. 根 据涂法,其种数为 A4=120. 5 π 8.C [解析] 因为 sinx+ 3cosx=2sin?x+3?,由题设知 a=2,则二项展开式的通项公 ? ? 1 ?r -r ? -r 3-r 式为 Tr+1=Cr (a x)6 ·- =(-1)r· r ·6 · ,令 3-r=2,得 r=1,含 x2 项的系数是 C6 a x 6 x? ? -C125=-192. 6 9.288 [解析] 可以分三步完成:第一步,安排 4 个音乐节目,共有 A4种排法;第二 4 步,安排舞蹈节目,共有 A3种排法;第三步,安排曲艺节目,共有 A2种排法.所以不同排 3 2 3 法有 A4A3A2=288(种). 4 2 1 1 1 10. +a [解析] P(10<X<15)=a,故 P(X≤5)= (1-2a)= -a,所以 X 在(-∞,15) 2 2 2 1 1 的概率等于 -a+a+a= +a. 2 2 9 P?AB? 11. [解析] 记 A=“甲数是 5 的倍数”,B=“甲数大于乙数”, P(B|A)= = 14 P?A? 4+9+14 15×14 9 = . 14 3×14 15×14 3 12. [解析] 从盒中随机取出 2 个球, C2种取法; 有 5 所取出的 2 个球颜色不同, C1C1 有 3 2 5 C1C1 6 3 3 2 种取法,则所取出的 2 个球颜色不同的概率是 P= 2 = = . C5 10 5 1 13. [解析] 对本题我们只看甲、乙二人游览的最后一个景点,最后一个景点的选法有 6 1 1 C6×C6=36(种),若两个人最后选同一个景点选法共有 C1=6(种),所以最后一小时他们在 6 C1 1 6 同一个景点游览的概率为 P= 1 = . C6×C1 6 6 9- 3π a 3a 14. [解析] 设正三角形 ABC 的边长为 a, 则其内切圆的半径是 ×tan30 ° = , 9 2 6

内切圆面积是 π?

2 3 3a?2 πa = ,正三角形 ABC 的面积是 a2, 12 4 ? 6 ? πa2 12 3π 故所求的概率是 1- =1- . 9 3 2 a 4 15.[解答] 记“甲理论考核合格”为事件 A1;“乙理论考核合格”为事件 A2;“丙理

论考核合格”为事件 A3;记 Ai 为 Ai 的对立事件,i=1,2,3;记“甲实验考核合格”为事件 B1;“乙实验考核合格”为事件 B2;“丙实验考核合格”为事件 B3; (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C, P(C)=P(A1A2 A3 +A1 A2 A3+ A1 A2A3+A1A2A3) =P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)+P(A1A2A3) =0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902. (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D,则 P(D)=P[(A1· 1)· 2· 2)· 3· 3)] B (A B (A B =P(A1· 1)· 2· 2)· 3· 3) B P(A B P(A B =P(A1)· 1)· 2)· 2)· 3)· 3) P(B P(A P(B P(A P(B =0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.9=0.254016≈0.254. 所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0.254. 16.[解答] (1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 2 C50=1225, 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C2 +C2 +C2+C2 =350. 20 15 5 10 350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P= = . 1225 7 2 C15 3 (2)∵P(X=0)= 2 = , C35 17 C1 C1 60 20 15 P(X=1)= 2 = , C35 119 C2 38 20 P(X=2)= 2 = . C35 119 ∴X 的分布列为 0 1 3 60 P 17 119 3 60 38 136 8 ∴EX= ×0+ ×1+ ×2= = . 17 119 119 119 7 X 2 38 119

17.[解答] (1)①由样本数据得 x 甲=8.5, x 乙=8.5,可知甲、乙运动员平均水平相同; ②由样本数据得,s2 =0.49,s2 =0.44,乙运动 员比甲运动员发挥更稳定. 甲 乙 (2)设甲、乙成绩至少有一个高于 8.5 分为件 A,则 3×4 2 P(A)=1- = . 6×6 3

?7.5≤x≤9.5, ? (3)设甲运动员成绩为 x, x∈[7.5,9.5], 则 乙运动员成绩为 y, y∈[7,10], 7≤y≤10, ? ?|x-y|<0.5. ?
把 x,y 同时减去 7,不改变问题所求的概率,区域如图. 1×2 设甲、乙运动员成绩之差的绝对值小于 0.5 的事件为 B,则利用几何概型得 P(B)= 2×3 1 = . 3 18.[解答] (1)月收入在[3000,4000]的频率为 0.0003×(3500-3000)+0.0001×(4000-3500)=0.2. (2)居民月收入在[2500,3000)的频率为 0.0005×(3000-2500)=0.25,所以 10000 人中月 收入在[2500,3000)的人数为 0.25×10000=2500(人),再从 10000 人中用分层抽样方法抽出 2500 100 人,则月收入在[2500,3000)的这段应抽取 100× =25(人). 10000 (3)记“在一次抽取中月收入不低于 3000 元”为事件 A, 则 P(A)=0 .2. 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3, - ∴P(X=k)=Ck (0.2)k· (1-0.2)3 k,k=0,1,2,3. 3 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 ∴E(X)=0×0.512+1×0.384+2×0.096+3×0.008=0.6. 19.[解答] (1)因为 1,3,5 是奇数,2、4 是偶数, 设事件 A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数,也不全是偶数”. C1C1+C1C1 3 3 2 2 3 P(A)= = . 1 C 1· 4 5 5C (2)设 B 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数 字为偶数”, 2 由已知,每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 , 5 2?2 ? 2? 36 2? 则 P(B)=C3·5? ·1-5?= . ? ? 125 (3)依题意,X 的可能取值为 1,2,3. 2×3 3 2×1×3 1 3 P(X=1)= ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = . 5 10 5×4 5×4×3 10 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10 3 3 1 3 E(X)=1× +2× +3× = . 5 10 10 2 20.[解答] 记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 A,B,C,三次都未击中目标 1 k 为事件 D,依题意 P(A)= ,设在 x 米处击中目标的概率为 P(x),则 P(x)= 2. 2 x 1 1 k 由 x=100 m 时,P(A)= 得 = 2,解得 k=5000, 2 2 100 5000 5000 2 5000 1 所以 P(x)= 2 ,P(B)= = ,P(C)= = , x 1502 9 2002 8 1 7 7 49 P(D)=P( A )P( B )P( C )= × × = . 2 9 8 144 (1)由于各次射击都是相互独立的,所以该射手在三次射击中击中目标的概率为 P(A)+

1 1 2 1 7 1 95 B C)= + × + × × = . 2 2 9 2 9 8 144 1 1 2 1 1 7 1 7 (2)设射手得分为 X,则 P(X=3)= ,P(X=2)= × = ,P(X=1)= × × = ,P(X 2 2 9 9 2 9 8 144 49 =0)= ,X 的分布列为 144 P( A B)+P( A X P 3 1 2 2 1 9 1 7 144 0 49 144

1 1 7 49 85 所以 E(X)=3× +2× +1× +0× = . 2 9 144 144 48


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